10mo Guía para Docente Sin Solucionario de Pruebas

Décimo grado
Guía para Docentes

Educación Secundaria
10mo
COORDINACIÓN GENERAL
Profesora Melba López Montenegro

Profesor Julio César Canelo Castillo
AUTORES
Marlon José Espinoza Espinoza Domingo Felipe Aráuz Chévez
Primitivo Herrera Herrera Anastacio Benito González Funes
Orlando Antonio Ruiz Álvarez
COLECTIVO DE AUTORES
MINED UNAN - MANAGUA UNAN - LEÓN
Francisco Emilio Díaz Vega Nubia Aracelly Barreda Rodríguez Anastacio Benito González Funes
Humberto Antonio Jarquín López Melissa Lizbeth Velásquez Castillo Domingo Felipe Aráuz Chévez
Gregorio Isabel Ortiz Hernández Armando José Huete Fuentes Célfida del Rosario López Sánchez
Juan Carlos Caballero López Primitivo Herrera Herrera Orlando Antonio Ruiz Álvarez
Alberto Leonardo García Acevedo Marlon José Espinoza Espinoza Hilario Ernesto Gallo Cajina
INSTITUTOS QUE PARTICIPARON EN LA VALIDACIÓN
Colegio Clementina Cabezas, Managua, Managua Instituto Juan José Rodriguez, Jinotepe, Carazo
Colegio Fernando Gordillo, Managua, Managua San Benito #1, Chinandega, Chinandega
Colegio Tomas Borge, Mateare, Managua Instituto Nacional Rubén Darío, Posoltega, Chinandega
Colegio San Cayetano, San Rafael del Sur, Managua Jhon F. Kenedy, León, León
Instituto Nacional La Salle, Diriamba, Carazo Salomón de la Selva, León, León
EQUIPO DE DIAGRAMACIÓN
María José López Samqui
Primera Edición, 2019.
Derechos reservados. Prohibida su venta y/o reproducción con fines comerciales por cualquier medio, sin
previa autorización del Ministerio de Educación (MINED), de la República de Nicaragua.
La presente publicación ha sido reproducida con el apoyo de la Agencia de Cooperación Internacional del
Japón (JICA) a través del Proyecto para el Aprendizaje Amigable de matemática en Educación Secundaria
(NICAMATE).
Índice
Introducción.................................................................................................................... I
Estructura del Libro de Texto para estudiantes......................................................... II
Estructura de la Guía para Docentes......................................................................... III

1. Propuesta de programación anual de 10mo grado..................................................................... III
2. Elementos de una página de la Guía para Docentes..................................................................IV
3. Prueba de la Unidad.....................................................................................................................V
4. Solucionarios................................................................................................................................V
Orientaciones metodológicas para el mejoramiento de los

aprendizajes del área de Matemática..........................................................................V
Recomendaciones para el desarrollo de una clase según los momentos

P, S, C, EJ, E..................................................................................................................VI
Puntos importantes a considerar en la facilitación del aprendizaje.....................VIII
Uso de las Pruebas de Unidad.....................................................................................X

1. Propuesta sobre el uso de las Pruebas de Unidad......................................................................X
2. Opciones sobre el uso de las Pruebas de Unidad para evaluación.............................................X
Unidad 1: Conjuntos e intervalos numéricos............................................................. 1

Sección 1: Conjuntos........................................................................................................................ 2
Sección 2: Intervalos numéricos....................................................................................................... 7
Prueba de Unidad 1........................................................................................................................ 10
Unidad 2: Inecuaciones de Primer y Segundo Grado.............................................. 13

Sección 1: Inecuaciones de primer grado...................................................................................... 14
Sección 2: Inecuaciones de primer grado con valor absoluto........................................................ 23
Sección 3: Inecuaciones de segundo grado................................................................................... 27
Prueba de Unidad 2........................................................................................................................ 35
Unidad 3: Fracciones Algebraicas............................................................................. 37

Sección 1: Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas............................... 38
Sección 2: Adición y sustracción de fracciones algebraicas.......................................................... 45
Prueba de Unidad 3........................................................................................................................ 54
Unidad 4: Ecuaciones de Tercer Grado..................................................................... 57
Sección 1: División sintética........................................................................................................... 58
Sección 2: Teorema del residuo y teorema del factor.................................................................... 63
Sección 3: Factorización de polinomios de tercer grado y resolución de ecuaciones de
tercer grado................................................................................................................... 66
Prueba de Unidad 4........................................................................................................................ 71
Unidad 5: Introducción a la Trigonometría............................................................... 73

Sección 1: Funciones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos..................... 74
Sección 2: Valores de las funciones trigonométricas de ángulos agudos........................................ 79
Sección 3: Resolución de triángulos rectángulos............................................................................. 81
Sección 4: Relaciones entre seno, coseno y tangente..................................................................... 85
Prueba de Unidad 5..................................................................................................... 88

Unidad 6: Funciones Trigonométricas.............................................................................................. 91
Sección 1: Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera....................................................... 92
Sección 2: Relación entre seno, coseno y tangente....................................................................... 100
Sección 3: Relación entre las funciones trigonométricas............................................................... 103
Sección 4: Gráficas de las funciones trigonométricas.................................................................... 106
Prueba de Unidad 6................................................................................................... 114

Unidad 7: Trigonometría Analítica................................................................................................... 117
Sección 1: Ley del seno.................................................................................................................. 118
Sección 2: Ley del coseno.............................................................................................................. 122
Prueba de Unidad 7........................................................................................................................ 125
Unidad 8: Estadística................................................................................................ 127

Sección 1: Medidas de tendencia central y representación gráfica de datos................................. 128
Sección 2: Medidas de posición y dispersión................................................................................. 137
Prueba de Unidad 8........................................................................................................................ 141
ANEXOS
Anexo 1: Solucionarios de las pruebas de cada unidad................................................................. 144
Anexo 2: Solucionarios del libro de texto........................................................................................ 148
Anexo 3: Diferencias del LT entre la versión para docentes y para estudiantes............................ 161
I.Introducción
Introducción
Este documento es un material educativo llamado “Guía para Docentes”, que está dirigido a los
docentes de matemática de Nicaragua, y tiene como objetivos:
• Brindar una propuesta de programación anual estándar de enseñanza.
• Brindar sugerencias sobre el uso de los Libros de Texto y el tiempo de trabajo independiente
del estudiante.
• Mostrar la secuencialidad que existe entre los contenidos del currículo de matemática en
Educación Secundaria.
• Indicar los aspectos esenciales de cada clase (pre saberes, posibles errores, aspectos del
nuevo contenido en que se debe hacer énfasis, etc.).
• Promover el uso adecuado de la pizarra.
• Ofrecer los solucionarios de los ejercicios con sus procedimientos.
• Fomentar la evaluación formativa a través de las pruebas de unidad.
La Guía para Docentes se elaboró atendiendo al análisis de las observaciones de clase que se
realizó en los centros educativos de validación, concluyendo que es importante:
• Tener claro el aprendizaje esperado en cada clase y la secuencialidad entre los contenidos
del currículo.
• Hacer uso adecuado de la pizarra, escribiendo lo necesario para que el estudiante
comprenda.
• Dar tiempo para que los estudiantes trabajen de forma independiente.
El Ministerio de Educación (MINED) pone a disposición de los docentes este recurso, considerando
que la implementación del mismo y el uso del Libro de Texto, cambiará la experiencia de los
estudiantes al aprender matemática en la escuela, y promoverá la creatividad en la búsqueda de
soluciones y la argumentación cuando se enfrenten a un problema. Para dicha implementación
es necesario considerar algunos aspectos esenciales:
Enseñanza basada en el aprendizaje de los estudiantes. Para enseñar matemática se deben
utilizar situaciones problemáticas que despierten el interés de los estudiantes y los inviten a
reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver problemas y a argumentar sus respuestas.
En estas situaciones se deben considerar los conocimientos y habilidades que se pretenden
desarrollar.
Rol del estudiante en el aprendizaje. Los estudiantes deben utilizar los conocimientos previos
que le permitan reorganizar lo que ya sabe, y aplicarlos en una nueva situación. Este proceso de
estudio se apoya más en la reflexión del estudiante, que en la simple memorización tradicional.
Rol del docente en el aula. La acción del docente es un factor clave, porque es el encargado de
generar ambientes propicios para el aprendizaje e involucrarlos en actividades que permitan el
logro de los aprendizajes esperados. Ante esto, el verdadero desafío para los docentes consiste
en ayudar a sus estudiantes a analizar y socializar sus resultados.
Retos de los estudiantes y docentes en las clases de matemática. Cambio de actitud frente
a ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender matemática. No se trata de que
el docente busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino que ayude a formarles la
capacidad de pensar y aprender por sí mismos, para que ellos sientan la satisfacción de poder
resolver problemas.
I
II.Estructura delLibro
Estructura del Librodede Texto
Texto para
para estudiantes
estudiantes
El Libro de Texto consta de introducción y unidades. En la introducción se detallan los momentos
del desarrollo de un contenido, los cuales son: problema de la clase, solución del problema,
conclusión y ejercicios. En algunos contenidos, por sus características, se han agregado ejemplos
después de la conclusión.
Cada unidad del Libro de Texto se ha estructurado por sección, estas contienen una secuencia
de contenidos contemplados en la malla curricular de matemática para Educación Secundaria.
Representa
el problema
inicial, el cual se ( x+ )+ ( x- )
debe leer y analizar
identificando las
condiciones que a (b+c)=ab+ac
Ejemplo
plantea y lo que se ( x+ )+ ( x- ) = ( )( x)+( )( )+( )( x)+( )(- )
= x+ + x-
Los ejemplos
pregunta. = x+ x+ -
= x+ que se presentan
son variantes del
Representa la problema inicial.
solución del
problema inicial
explicada paso a Ejemplo
paso. ( x+ )- (x- ) (x- )- (- x- )
( x+ )- (x- ) = ( )( x)+( )( )-( )(x)-( )(- )

= x+ - x+ Representa
Representa = x- x+ +
los ejercicios
la conclusión = x+
propuestos, es
de la clase, donde (x- )- (- x- ) =( )(x )+( )(- )-( )(- x)-( )(- )
= x- + x+ importante que
se propone el
los estudiantes
= x+ x- +
esquema de solución = x-
los intenten
del problema
resolver por sí
inicial, en algunos
mismos.
casos también se ( x+ )+ ( x- ) (x+ )+ ( x- ) ( x- )+ (x- )
presentan conceptos (x+ )- ( x+ ) ( x- )- (x- ) (x- )- (- x+ )

importantes usados
en el problema. 71
En Comprobemos lo aprendido se presentan una serie de ejercicios representativos de contenidos

anteriores, el objetivo de estas clases es asegurar un tiempo de ejercitación que permita afianzar los
conocimientos adquiridos y aclarar cualquier duda que puedan tener de los contenidos estudiados.
En algunos grados hay un contenido denominado Desafío en el que se presentan casos

especiales o contenidos más complejos. El desafío se puede tratar en su clase si tiene suficiente
horas de clase y sus estudiantes tienen una buena capacidad para entenderlo. De lo contrario, es
mejor omitir este contenido para dedicar más tiempo a los contenidos básicos.
II
III.Estructura delala
Estructura de Guía
Guía para
para Docentes
Docentes
1. Propuesta de programación anual de 10mo grado
Semestre Mes Unidad (Horas) Pág. del LT Sección
1. Conjuntos e
1. Conjuntos
Febrero Intervalos Numéricos 2 ~ 12
2. Intervalos numéricos
(11 H/C)
1. Inecuaciones de primer grado

Marzo 2. Inecuaciones de
Primer y Segundo 2. Inecuaciones de primer grado con
13 ~ 38
grado valor absoluto
(26 H/C)
I 3. Inecuaciones de segundo grado
Abril
Abril 1. Simplificación, multiplicación y división

3. Fracciones de fracciones algebraicas
Algebraicas 39 ~ 58
(19 H/C) 2. Adición y sustracción de fracciones
Mayo algebraicas
Mayo 1. División sintética

2. Teorema del residuo y teorema del
4. Ecuaciones de
factor
Junio Tercer Grado 59 ~ 76
(18 H/C) 3. Factorización de polinomios de tercer
grado y resolución de ecuación de
Julio tercer grado
1. Funciones trigonométricas de ángulos
Julio agudos en triángulos rectángulos
5. Introducción a la
2. Valores de las funciones
Trigonometría 77 ~ 94
trigonométricas de ángulos agudos
(17 H/C)
Agosto 3. Resolución de triángulos rectángulos
4. Relaciones entre seno y coseno
Agosto 1. Funciones trigonométricas de un

ángulo cualquiera
2. Relación entre seno, coseno y
II 6. Funciones tangente
Septiembre Trigonométricas 95 ~ 125
(25 H/C) 3. Relación entre las funciones
trigonométricas.
4. Gráfica de las funciones
Octubre trigonométricas
Octubre 7. Trigonometría 1. Ley del seno

Analítica 126 ~ 136
(13 H/C) 2. Ley del coseno
Noviembre
1. Medidas de tendencia central y
8. Estadística representación gráfica de datos
Noviembre 137 ~ 153
1. Propuesta de programación anual de
(11 H/C)
2. 10mo grado
Medidas de posición y dispersión
III
2.2.Elementos
Elementos depágina
de una una página depara
de la Guía la Guía para
Docentes Docentes
Unidad 3: Álgebra
Aprendizajes esperados:
Contenido
7
Es el elemento que define lo Aprendizajes esperados Sección 2: Operaciones con expresiones algebraicas
que se espera que logren los algebraicas en la solución de ejercicios.

Contenido 7:
estudiantes en cada clase, Secuencia:

(2x+6)+5(2x-1).
expresado en forma concreta,

Se eliminan los paréntesis haciendo uso de la propiedad Propiedad distributiva
Estudiadas las operaciones básicas con distributiva: a(b+c)=ab+ac
expresiones algebraicas, en esta clase se
precisa y visualizable. algebraicas como consolidación de los
3(2x+6)+5(2x-1) =(3)(2x)+(3)(6)+(5)(2x)+(5)(-1)
= 6x+18+10x-5
=6x+10x+18-5
contenidos anteriores. = 16x+13
Secuencia: Puntos esenciales:

Recordar cómo: 1. Se efectúan las multiplicaciones indicadas usando la propiedad distributiva.
Se indican los conocimientos

2. Se reducen términos semejantes.
 Se multiplica un número por una expresión
algebraica.
previos que el estudiante
Ejemplo
 a) 4(3x+5)-2(x-8) b) 4(x-6)-3(-5x-7)
posee para la comprensión Tener presente la ley de los signos para la

a) 4(3x+5)-2(x-8) =(4)(3x)+(4)(5)-(2)(x)-(2)(-8)
=12x+20-2x+16
multiplicación.
del nuevo contenido y la
=12x-2x+20+16
=10x+36
relación con contenidos

b) 4(x- 6)-3(-5x-7) =(4)(x)+(4)(-6)-(3)(-5x )-(3)(-7)
=4x-24+15x+ 21
=4x+15x-24+21
posteriores. =19x-3
a) 4(6x+3)+5(2x-1) b) 6(x+4)+2(5x-7) c) 3(2x-7)+5(x-4)
Puntos esenciales: d) 6(x+4)-2(5x+7) e) 2(8x-6)-4(x-2) f) 3(x-1)-7(-2x+3)
Se orienta sobre 71
procedimientos o conceptos
en los que se debe enfatizar, C7: Simplificación de expresiones algebraicas
E Simplifique:
así como las posibles P Simplifique 3(2 + 6) + 5(2 − 1).
a) 4(6 + 3) + 5(2 − 1)
Propiedad distributiva
dificultades y errores que S ( + )= + = (4)(6 ) + (4)(3) + (5)(2 ) + (5)(−1)
= 24 + 12 + 10 − 5
podrían presentarse.
3(2 + 6) + 5(2 − 1) = (3)(2 ) + (3)(6) + (5)(2 ) + (5)(−1)
= 34 + 7
= 6 + 18 + 10 − 5
= 6 + 10 + 18 − 5
b) 6( + 4) + 2(5 − 7)
= 16 + 13
= (6)( ) + (6)(4) + (2)(5 ) + (2)(−7)
C 1. Multiplicar usando la propiedad distributiva. = 6 + 24 + 10 − 14
2. Reducir términos semejantes. = 6 + 10 + 24 − 14
Página del Libro de Texto: Ej Simplifique:
= 16 + 10
Tiene como propósito ubicar a) 4(3 + 5) − 2( − 8)

= (4)(3 ) + (4)(5) − (2)( ) − (2)(−8)
= 12 + 20 − 2 + 16
c) 3(2 − 7) + 5( − 4)
= (3)(2 ) + (3)(−7) + (5)( ) + (5)(−4)
y relacionar el contenido de
= 6 − 21 + 5 − 20
= 12 − 2 + 20 + 16
= 11 − 41
= 10 + 36
aprendizaje con el proceso b) 4( − 6) − 3(−5 − 7)

= (4)( ) + (4)(−6) − (3)(−5 ) − (3)(−7)
de la clase.
= 4 − 24 + 15 + 21
= 4 + 15 − 24 + 21
= 19 − 3
70 LT 71
Plan de Pizarra
En la pizarra se presenta de forma ordenada el problema de la clase, el proceso de solución, la
conclusión central de la clase derivada del problema central y la indicación del ítem de evaluación,
con su correspondiente solución. En algunas clases se presenta un ejemplo después de la
conclusión y previo al ítem de evaluación. Este tiene como propósito consolidar el aprendizaje
o ampliar el contenido en desarrollo. Lo que se plasma en la pizarra permitirá a los estudiantes
llevar un registro ordenado de sus apuntes para estudiarlos posteriormente.
IV
3.3. Prueba
Prueba dede
cada
la Unidad
Unidad
Se presenta una propuesta de la prueba por unidad para evaluar el nivel de comprensión de los
estudiantes. Los docentes deben orientar con anticipación la fecha de aplicación de la prueba
de la unidad a los estudiantes para que ellos repasen y consoliden lo que aprendieron en la
unidad. Si el rendimiento es bajo en algunos problemas, los docentes deben tomar medidas para
mejorarlo y a la vez asegurar que este bajo rendimiento no obstaculice el siguiente aprendizaje.
De esta manera, los docentes pueden utilizar esta prueba para discusión sobre los resultados
obtenidos y posibles estrategias didácticas a implementar con sus colegas de la misma institución
o en los Encuentros Pedagógicos de Interaprendizaje (EPI).
* Vea “1. Uso de las pruebas de unidad” en la página X, para una descripción más detallada
sobre la evaluación.
4.4. Solucionarios
Solucionarios
Se presentan las soluciones de los ejercicios del Libro de Texto de acuerdo a la unidad, sección
y contenido. En este se muestran más detalles en el proceso de solución que los brindados en el
solucionario del Libro de Texto.
Orientaciones metodológicas
IV. Orientaciones paraelelmejoramiento
metodológicas para mejoramiento de
de los
los aprendizajes
aprendizajes del área de Matemática
del área de Matemática
Enseñar matemática en base a actividades de aprendizaje que desarrollen en los estudiantes
formas de pensar y que permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas,
argumentando sus resultados, significa que ellos deben:
(1) Leer y analizar los enunciados del problema.
(2) Pensar por sí mismos la solución al problema.
(3) Expresar sus soluciones.
(4) Comparar sus ideas unos con otros.
(5) Comprender las ideas de los demás.
(6) Aprender unos de otros.
V
Recomendaciones
Recomendaciones para
para el desarrollo
el desarrollo de unade unasegún
clase claselos
momentossegún
P, S, C,los
EJ,momentos
E P, S, C, EJ, E
Para lograr los aprendizajes esperados de una clase, se debe tener en cuenta que el centro del
proceso de aprendizaje es el estudiante, por lo que deben participar de forma activa en cada
momento de la clase. En este proceso, el rol principal del docente es asistir en su aprendizaje
a los estudiantes. A continuación, se presentan algunas recomendaciones a considerar en los
diferentes momentos de la clase:
Momentos
Actividades del Docente Actividades del Estudiante
de la clase
Indicar que lean el problema. Leer el problema.
Escribir el problema en la pizarra,

mientras los estudiantes leen.
Indicar a los estudiantes que copien el Escribir el problema en su cuaderno.

problema en su cuaderno.
Explicar el problema de forma clara, si Comprender el problema.

es necesario.
Orientar que resuelvan el problema en Intentar dar solución al problema,

su cuaderno. No dar mucho tiempo si escribiendo sus apuntes en el
los estudiantes no muestran posibles cuaderno.
respuestas al problema planteado.
Monitorear el avance de los

estudiantes identificando soluciones
interesantes, errores, etc., mientras
se recorre el salón de clase.
Indicar a los estudiantes que atiendan

a las explicaciones que hará.
Explicar la solución del texto en la Hacer silencio y poner atención al

pizarra, cuando todos los estudiantes docente.
estén poniendo atención.
Indicar a los estudiantes que copien la Observar la explicación del docente y

solución en su cuaderno y revisar que hacer preguntas si es necesario.
lo hagan.
Escribir la solución en su cuaderno.
VI
Momentos
Actividades del Docente Actividades del Estudiante
de la clase
Orientar lectura de la conclusión. Leer la conclusión planteada en el

Libro de Texto.
Explicar la conclusión a partir del Relacionar la conclusión con el

proceso de solución del problema. proceso de solución del problema.
Anotar la conclusión en su cuaderno.
Indicar que lean el ejemplo. Analizar la solución del ejemplo, de

forma conjunta con el docente.
(En el Indicar que copien el ejemplo en su

caso de cuaderno.
presentarse
un ejemplo) Explicar el ejemplo, haciendo hincapié Aplicar la conclusión en la solución
en la aplicación de la conclusión. del ejemplo.
Orientar el o los ejercicios a ser Resolver de forma individual cada

resueltos. ejercicio.
Asignar tiempo prudencial para que los Aplicar la conclusión aprendida.

estudiantes resuelvan los ejercicios.
Recorrer el salón mientras los Si termina todos los ejercicios

estudiantes resuelven el ítem. propuestos, brindar apoyo a aquellos
que no han concluido.
Monitorear cuántos estudiantes
resuelven al menos el primer ejercicio
propuesto.
Si hay muchos estudiantes que no

han resuelto el ítem de evaluación,
explicar este en la pizarra sin esperar
mucho tiempo y dar la oportunidad de
resolver el siguiente ítem.
Brindar oportunidad de que algunos Socializar la solución de ejercicios.

estudiantes expliquen la solución de
al menos el primer ejercicio.
Revisar y explicar el procedimiento y

respuesta en la pizarra.
VII
Puntos
Puntos importantes
importantes a considerar
a considerar en la del
en la facilitación
aprendizajefacilitación del aprendizaje
a) Usar adecuadamente el tiempo
Alcanzar el aprendizaje esperado no es una tarea sencilla, por lo que, a continuación, se
sugieren algunas técnicas para asegurar el aprendizaje en el tiempo establecido:
• Ubicación de los pupitres de los estudiantes en filas, todos los estudiantes dirigidos hacia la
pizarra.
• Disposición del LT antes de iniciar la clase: orientar a los estudiantes tener preparados los
recursos o materiales antes del inicio de la clase.
• Tiempo a dedicar para el recordatorio o repaso: Si se destina más de 3 minutos en la parte
inicial donde se recuerdan los presaberes, en la mayoría de los casos se produce un desfase
que afectará las clases posteriores.
b) Evaluar y brindar orientación necesaria desplazándose en el aula

Mientras los estudiantes resuelven el problema o el ítem de evaluación, el docente debe
desplazarse en el aula para evaluar el nivel de comprensión del contenido, revisando el trabajo
de los estudiantes y observando si han comprendido el enunciado.
c) Dar explicaciones claras a los estudiantes

Las instrucciones y explicaciones a los estudiantes deben ser claras y concretas, en este sentido
es importante hablar cuando se capte la atención de los estudiantes. Para captar la atención
el docente debe llamar a los estudiantes con frases como “Miren a la pizarra”, “Atención por
favor”, entre otras. En caso de que en el aula persista la indisciplina, el docente puede dejar de
explicar o bajar el volumen de la voz.
Es importante durante la explicación observar a los estudiantes para suponer su nivel de
comprensión, esto significa que en ocasiones es necesario repetir la explicación cambiando
expresiones, hablar más despacio, invitar a estudiantes para que expliquen con sus palabras,
etc.
d) Aprovechar el rendimiento de los estudiantes que resuelven rápido los ejercicios

Para aprovechar el rendimiento de los estudiantes que resuelven los ejercicios más rápido,
el docente puede establecer el siguiente compromiso: cuando terminen todos los problemas
y los hayan revisado, entonces ellos pueden orientar a los demás compañeros. Así mismo, el
docente puede preparar otra serie de problemas para la fijación del contenido u otro tipo de
problemas que tienen carácter de desafío.
e) Revisar los cuadernos de apunte

Si no se brinda un monitoreo continuo sobre el uso del cuaderno, eventualmente se puede utilizar
de manera desordenada, por lo que es necesario que se revise periódicamente, de modo que
los estudiantes sientan que están siendo monitoreados. Y también es recomendable chequear
cuadernos de los estudiantes durante la etapa de ejercicio para animar a los estudiantes
(marcar { , firmar o sellar)
VIII
f) Formar el hábito de estudio en el hogar
Formar el hábito de estudio de los estudiantes en el hogar es tarea no solamente del docente, sino
también de los padres de familia y no es nada fácil. Por lo que, al inicio, se podría formar el hábito
de estudio a través de la asignación de tareas y orientar que estas se revisarán periódicamente.
g) Usar adecuadamente la pizarra

La pizarra tiene la función de un cuaderno común entre el docente y los estudiantes, por lo cual
debe ordenarse el desarrollo del aprendizaje del contenido en ella. En esta Guía se propone utilizar
la siguiente estructura en la pizarra, de acuerdo con el proceso de aprendizaje de matemática
establecido en este mismo documento:
Se escribe el problema Se resuelve, como mínimo, el primero

inicial de forma resumida. de cada serie de ejercicios propuestos.
C7: Simplificación de expresiones algebraicas

E Simplifique:
Se presenta P Simplifique 3(2 + 6) + 5(2 − 1).
la solución Propiedad distributiva a) 4(6 + 3) + 5(2 − 1)
S ( + )= + = (4)(6 ) + (4)(3) + (5)(2 ) + (5)(−1)
del = 24 + 12 + 10 − 5
3(2 + 6) + 5(2 − 1) = (3)(2 ) + (3)(6) + (5)(2 ) + (5)(−1)
problema = 6 + 18 + 10 − 5
= 34 + 7
= 6 + 10 + 18 − 5
b) 6( + 4) + 2(5 − 7)
= 16 + 13
Se = (6)( ) + (6)(4) + (2)(5 ) + (2)(−7)
C 1. Multiplicar usando la propiedad distributiva. = 6 + 24 + 10 − 14
establece 2. Reducir términos semejantes. = 6 + 10 + 24 − 14
en forma Ej Simplifique:
= 16 + 10
resumida la a) 4(3 + 5) − 2( − 8) c) 3(2 − 7) + 5( − 4)
conclusión = (4)(3 ) + (4)(5) − (2)( ) − (2)(−8)
= 12 + 20 − 2 + 16
= (3)(2 ) + (3)(−7) + (5)( ) + (5)(−4)
= 6 − 21 + 5 − 20
a partir = 12 − 2 + 20 + 16
= 11 − 41
= 10 + 36
de la b) 4( − 6) − 3(−5 − 7)
solución del = (4)( ) + (4)(−6) − (3)(−5 ) − (3)(−7)
problema. = 4 − 24 + 15 + 21
= 4 + 15 − 24 + 21
= 19 − 3
Se resuelve el ejemplo para consolidación o ampliación del contenido.
En este documento se propone el uso de la pizarra de forma ordenada:

• En caso de que el problema sea de enunciado extenso, se debe escribir un resumen
comprensible de dicho enunciado.
• En el proceso de solución no debe repetirse cada palabra de la solución planteada en el Libro
de Texto, pero sí debe escribirse cada paso imprescindible del proceso.
• La conclusión también puede mostrarse de forma resumida (cuando esta es extensa).
• Debe brindarse espacio suficiente para resolver al menos el primero de cada serie de ejercicios
propuestos.
• Si no puede seguir escribiendo en la pizarra debido a su pequeño tamaño, puede borrar los
contenidos que los estudiantes ya han terminado de copiar y escribir la continuación. Debe
procurarse dividir la pizarra en dos columnas con el mismo espacio en cada una.
IX
Uso de las pruebas Uso dedeunidad
las Pruebas de Unidad
1.1. Propuesta
Propuesta sobre
sobre el usoel
de uso de lasdepruebas
las Pruebas Unidad de unidad
2. ElOpciones
propósito desobre el usoesde
esta propuesta laselpruebas
sugerir uso efectivode
de unidad
las pruebas de unidad que están
incluidas en los Libros de Texto y Guías para Docentes desarrolladas por NICAMATE, y cómo
para evaluación
estas podrían usarse para evaluar a los estudiantes en la asignatura de Matemática.
Se espera que las pruebas se realicen después de terminar cada unidad del Libro de Texto para
que los docentes puedan conocer el alcance de los aprendizajes esperados en los contenidos
de la unidad y, lo que es más importante, darles retroalimentación. En este sentido, el enfoque
principal de las pruebas de unidad es brindar a los docentes una herramienta para administrar
y mejorar efectivamente el aprendizaje de sus estudiantes. Dado que las pruebas se insertan
en la parte de anexo al final de los Libros de Texto, los docentes podrían preguntarse si los
estudiantes pueden ver las pruebas con anticipación y esto arruinaría el propósito de las
pruebas. Sin embargo, las pruebas se incorporan en los Libros de Texto basándose en la idea
de que estas contribuirán a mejorar el aprendizaje de los estudiantes siempre que las pruebas
los alienten a estudiar y prepararse.
Las pruebas, además de eso, también podrían usarse para evaluar el desempeño de los
estudiantes. Se espera que un sistema de evaluación eficaz, junto con los nuevos Libros de
Texto y Guías para Docentes, contribuyan a mejorar aún más el aprendizaje de los estudiantes
en matemática. Es en este contexto que, siguiendo la solicitud del MINED, el Proyecto
NICAMATE sugiere 2 opciones sobre el uso de las pruebas individuales para la evaluación.
Al hacer esta sugerencia, el Proyecto consideró el “Manual de Planeamiento Didáctico y
Evaluación de los Aprendizajes en Educación Secundaria” escrito por el MINED.
2. Opciones sobre el uso de las Pruebas de Unidad para evaluación

(1) Opción 1
Total: 100 Puntos
Pruebas de Unidades (PU): 50 Puntos
Prueba Escrita o Trabajo Escrito Durante el Corte de Evaluación: 50 Puntos
Tabla de Ejemplo para la Opción 1 en Caso de 7mo Grado
Total de PU [A] Puntos [B] Prueba Valoración Valoración

Prueba de Unidad Acumulado de PU Escrita o Cuantitativa Cualitativa
No. Nombre (20 Puntos para Cada Unidad) (140 Ajustados Trabajo (100
Puntos) (50 Escrito Puntos)
Puntos)* (50 Puntos) A+B
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7
1 María 10 5 10 8 14 13 10 70 25 40 65 AE
2 Juan 18 16 20 15 12 16 20 117 42 40 82 AS
* [A] Puntos de PU Ajustados (50 Puntos) = Total de PU Acumulado × 50/140
La primera opción es tener dos criterios principales para la evaluación, las pruebas de unidad
(50 puntos) y Prueba o Trabajo Escrito Durante el Corte de Evaluación (50 puntos). Los puntos
asignados a cada criterio podrían ajustarse teniendo en cuenta la situación de cada centro
educativo. La tabla anterior toma el caso del 7mo grado como ejemplo y, por lo tanto, tiene 7
pruebas de unidad, cada una de las cuales toma hasta 20 puntos. El total de puntos de las
pruebas acumuladas, en este caso máximo 140 puntos, debe ajustarse a unos 50 puntos. La
fórmula para este ajuste será Puntos de PU Ajustados = Total de PU Acumulado # 50/140.
X
La suma de la Evaluación de Puntos de PU Ajustados y Prueba o Trabajo Escrito Durante el
Corte será la marca cuantitativa final para los estudiantes. La calificación cualitativa se otorga
en base a la marca cuantitativa. Los criterios para el grado cualitativo en el ejemplo son los
mismos que en el manual:
Aprendizaje Avanzado (AA): 90-100 puntos
Aprendizaje Satisfactorio (AS): 76-89 puntos
Aprendizaje Elemental (AE): 60-75 puntos
Aprendizaje Inicial (AI): Menos de 60.
También es posible asignar menos puntos a las pruebas de unidad para la evaluación. Es
importante que al revisar las pruebas se dé retroalimentación en la solución de los ejercicios
en lo que los estudiantes cometieron errores. Después de recibir los comentarios, los
estudiantes pueden volver a realizar los ejercicios en los que fallaron. Es en este proceso
donde los estudiantes aprenden matemáticas cada vez mejor.
(2) Opción 2
Total: 100 Puntos
Pruebas de Unidades: 30 Puntos
Evaluación de Actitud: 30 Puntos
Prueba o Trabajo Escrito Durante Corte Evaluación: 40 Puntos
Tabla de Ejemplo para Opción 2 en Caso de 7mo Grado
Evaluación de Actitud
Pruebas de Unidad (20 Puntos para Cada Unidad) (10 Puntos para Cada
Indicador)
[A] [B] [C] Valoración Valoración

Total de
No. Nombre Puntos Total de Prueba Cuantitativa Cualitativa
PU
de PU EA Escrita o (100
Acumu- EA EA EA
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 Ajusta- Acumu- Trabajo Puntos)
lado 1 2 3
dos lado Escrito A+B+C
(140
(30 (30 Pun- (50
Puntos)
Puntos)* tos) Puntos)
1 María 10 5 10 8 14 13 10 70 15 10 9 8 27 30 72 AE
2 Juan 18 16 10 8 12 16 10 90 19 2 1 2 5 40 64 AE
* [A] Puntos de PU Ajustados (30 Puntos) = Total de PU Acumulado × 30/140
En esta opción, además de la evaluación mediante pruebas o trabajos escritos durante el

corte, los docentes también deben considerar los resultados de las pruebas de unidad y
las actitudes de los estudiantes hacia el aprendizaje de la matemática. Si bien los docentes
podrían seleccionar los indicadores para evaluar las actitudes de los estudiantes, el Proyecto
sugiere que se incluyan los siguientes indicadores:
• Entrega de tareas • Trabaja en el aula de clases
• Puntualidad • Atiende las explicaciones del docente
• Asistencia
La ventaja de la Opción 2 es que, como lo muestra el ejemplo en la tabla, incluso si un
estudiante no pudo obtener una buena calificación en las pruebas de unidad y en las pruebas
o trabajos escritos durante el corte, puede obtener una buena calificación, siempre y cuando
demuestre una buena actitud hacia el estudio de la matemática. Esto requiere que los
docentes observen cuidadosamente a cada estudiante.
* Si el MINED emite una nueva instrucción sobre la evaluación, deben seguirla.
XI
Unidad 1
Conjuntos e Intervalos
Numéricos
Sección 1 Conjuntos
Sección 2 Intervalos numéricos
Unidad 1: Conjuntos e intervalos numéricos

Unidad 1: Conjuntos e Intervalos Numéricos
Contenido
1 Conjunto, elemento, notación por extensión, pertenencia, cardinalidad de conjunto
Aprendizajes esperados Sección 1: Conjuntos

Aplica los conceptos de pertenencia y Contenido 1: Conjunto, elemento, notación por extensión, pertenencia,
cardinalidad de un conjunto en la resolución cardinalidad de conjunto
de ejercicios. Conjunto es la colección de objetos con un determinado criterio de pertenencia.
Ejemplo: el conjunto de números naturales, el conjunto de libros de una biblioteca, el
Secuencia: conjunto de lagos de Nicaragua, etc.
Los conjuntos se denotan por las letras mayúsculas A, B, C, etc.
Esta unidad aborda temas básicos de la
Elemento de un conjunto es un objeto que se encuentra en el conjunto.
teoría de conjuntos necesarios para la
comprensión de ciertos contenidos que se Notación por extensión. Para denotar el conjunto A, luego de la letra se escriben llaves que
contienen cada elemento del conjunto, separados por coma. Ejemplo: si se quiere describir el
estudian más adelante, en especial en el conjunto de vocales, se escribe B = "a, e, i, o, u , .
estudio de probabilidades en 11mo grado. La pertenencia de un elemento respecto a un conjunto se expresa con el símbolo ∈. Si un
elemento no pertenece a un conjunto, se usa el símbolo ∉. Por ejemplo, si A = "1, 2, 3, 4 , ,
entonces 1 ∈ A y 6 ∉ A.
Se comienza con el estudio de los conceptos
de: conjunto, elemento y cardinalidad. A su La cardinalidad del conjunto A, denotada por n (A), es la cantidad de elementos que posee.
Ejemplo: El conjunto B = "a, e, i, o, u , tiene 5 elementos; así que n (B) = 5.
vez, se establece la relación de pertenencia
entre un elemento y un conjunto, así como la Dados los conjuntos:
Ejemplo
notación que se utiliza. A B C
2 8 1 7
Puntos esenciales: 4
6
10 3
5
8
9
2
Presentar ideas intuitivas sobre los conceptos 1. Escríbalos utilizando la notación por extensión.
2. Escriba el símbolo de pertenencia ∈ o no pertenencia ∉ en el espacio en blanco.
de conjunto, elemento y cardinalidad.
a) 4___A b) 5___B c) 2___C d) 3___C
Indicar la notación que se utiliza para denotar 3. Encuentre la cardinalidad de cada uno.
conjuntos, la relación de pertenencia y la 1. A = "2, 4, 6, 8, 10 , B = "1, 3, 5, 7, 8, 9 , C = {2}

cardinalidad de un conjunto. 2. a) 4 ∈ A b) 5 ∈ B c) 2 ∈ C d) 3 ∉ C
3. n(A) = 5 El conjunto A posee 5 elementos.
Determinar cuándo un elemento pertenece o n(B) = 6 El conjunto B posee 6 elementos.
no a un conjunto. n(C) = 1 El conjunto C posee 1 elemento.
Destacar que la cardinalidad de un conjunto Dado los conjuntos A = {-2, -1, 0, 2, 3} B = {-1, 2, 3} y C = {-2, 0, 3, 4}
finito siempre es un número entero no 1. Escriba el símbolo ∈ o ∉ en cada espacio en blanco según convenga.
negativo. a) 3 _____ A b) 5 _____ B c) -2 _____ B d) 4 _____ C
e) 0 _____ A f) -1_____ B g) 2 _____ B h) 2 _____ C
Encontrar la cardinalidad de los conjuntos 2. Encuentre la cardinalidad de cada conjunto dado.
a) n(A) b) n(B) c) n(C)
dados.
2
U1: Conjuntos e Intervalos Numéricos 1. Escríbalos utilizando la notación por extensión.

S1: Conjuntos A= {2, 4, 6, 8, 10} B= {1, 3, 5, 7, 8, 9} C= {2}
C1: Conjunto, elemento, notación por
extensión, pertenencia, cardinalidad de conjunto 2. Escriba el símbolo pertenencia ∈ o no pertenencia ∉
Sección 1: Conjuntos
Conjunto: La colección de objetos con un determinado
a) 4 ∈ A b) 5 ∈ B c) 2 ∈ C d) 3 ∉ C
criterio de pertenencia.
Elemento de un conjunto: Un objeto que se encuentra en el 3. Encuentre la cardinalidad de cada uno.
conjunto. a) ) = 5 El conjunto A posee 5 elementos.
Notación por extensión Ej. B = {a,e,i,o,u} b) (B = 6 El conjunto B posee 6 elementos.
c) (C = 1 El conjunto C posee 1 elemento.
∈ Pertenencia
∉ No pertenencia Dados los conjuntos:
La cardinalidad de conjunto A, denota por ), es la A={ -2, -1, 0, 2, 3} B={ -1, 2, 3} C={ -2, 0, 3, 4}
cantidad de elementos que posee.
Dados los conjuntos: 1. Escriba el símbolo ∈ o ∉ según convenga.

A B C a) 3 ∈ A b) 5 ∉ B c) -2 ∉ B d) 4 ∈ C
e) 0 ∈ A f) -1∈ B g) 2 ∈ B h) 2 ∉ C
2 8 1 7
4 10 3 8 2 2. Encuentre la cardinalidad de cada conjunto dado.
6 5 9
a) A) = 5 b) ( B = 3 c) ( C = 4
2 LT 2
Contenido
2 Diagrama de Venn, operaciones con conjuntos
Sección 1: Conjuntos (unión e intersección), conjunto vacío
Contenido 2: Diagrama de Venn, operaciones con conjuntos (unión e Aprendizajes esperados

intersección), conjunto vacío Aplica la definición de conjunto vacío y
Conceptos efectúa las operaciones unión e intersección
Diagrama de Venn: Es una representación gráfica de conjuntos y sus A B de conjuntos, representándolas en diagramas
operaciones mediante círculos, en cuyos interiores se escriben los de Venn.
elementos.
Secuencia:
Operaciones con conjuntos:
• Unión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B, denotada por

A B
En la clase anterior se estudiaron los conceptos
A B, es el conjunto formado con los elementos de A y B, escribiendo de conjunto, elemento y cardinalidad. Ahora
una única vez los comunes.
se estudian los diagramas de Venn como
• Intersección de conjuntos: La intersección de los conjuntos A y B,
A B representaciones gráficas de conjuntos y sus
denotada por A B, es el conjunto formado por los elementos comunes operaciones. Estos diagramas se utilizarán en
de A y B.
clases posteriores.
Conjunto vacío: Es aquel que no posee elementos y se denota por z o " , .
Por ejemplo, el conjunto A formado por las letras del alfabeto que son vocales y consonantes Puntos esenciales:
a la vez es vacío porque ninguna letra cumple esta condición, luego n(A) = 0.
Mostrar que los diagramas de Venn son
Ejemplo Sean los conjuntos A = {4, 6, 8, 10}, B = {2, 8, 10}, C = {4, 6, 12}, representaciones gráficas de conjuntos y sus
1. Encuentre: a) A , B b) A + C c) B , C d) B + C operaciones.
2. Represente en diagrama de Venn los conjuntos que resultan en 1., y encuentre sus
cardinalidades. Aplicar correctamente la definición de unión
e intersección de conjuntos.
a) A , B = {2, 4, 6, 8, 10} b) A + C = {4, 6} c) B , C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} d) B + C = z
A B A C B C B C Dar ejemplos de conjunto vacío e indicar la
4 8
2
4 2
8
4
6
notación que se usa para este conjunto.
6 10 6 10 12
Destacar que:
n(A , B) = 5 n(A + C) = 2 n(B , C) = 6 n(B + C) = 0 { El conjunto vacío se denota por { } o z ,
no por "z , .
Sean los conjuntos A = {-1, 0, 2, 3}, B = {-2, 0, 3}, C = {-1, 1, 2 }, D = {-2, 1, 2 }
{ La cardinalidad del conjunto vacío es 0.
1. Encuentre: a) A , B b) A + D c) A , C d) B + C
{ La unión de dos conjuntos puede
ser disjunta y la intersección de dos
2. Represente en diagramas de Venn los conjuntos que resultan en 1., además encuentre
sus cardinalidades. conjuntos puede ser el conjunto vacío.
Representar en diagramas de Venn la unión
3 e intersección de conjuntos.
C2: Diagrama de Venn, operaciones con conjuntos c) B ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} d)

(unión e intersección), conjunto vacío
A B 2 4 2 4
8 6 8 6
Diagrama de Venn: 12 12
10 10
B∪ C =6 B ∩ C =0
Unión de conjuntosˢ A∪B
Sean los conjuntos A = {−1,0, 2, 3},
Intersección de conjuntosˢ A∩B B = {−2, 0, 3}, C = {−1, 1, 2 },
Conjunto vacío: Es aquel que no posee elementos y se
denota por o { }. 1. Encuentre y diga la cardinalidad de:
Sean los conjuntos
A = {4, 6, 8, 10} a) A ∪ B = {−2, −1, 0, 2, 3} (A ∪ B) = 5
B , C
1. Encuentre: a) A ∪ B b) A ∩ C c) B ∪ C d) B ∩ C b) A ∩ D = {2} (A ∩ B ) = 1
2. Represente en diagrama de Venn y encuentre sus
cardinalidades. c) A ∪ C = {−1, 0, 1, 2, 3} (A ∪ B) = 5
a) A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10} b) A ∩ C = {4, 6}
C d) B ∩ C = (B ∩ C) = 0
4 8 4
6 10 A ∪ B =5 6 A ∩ C =2
LT 3
3
Contenido
3 Conjunto Universal. RelacionesUnidad
entre conjuntos (inclusión e igualdad)
1: Conjuntos e Intervalos Numéricos
Aprendizajes esperados
Contenido 3: Conjunto Universal. Relaciones entre conjuntos (inclusión
Aplica la definición de conjunto universal y e igualdad)
establece relaciones de igualdad o inclusión
entre conjuntos. Conceptos
Conjunto Universal: es el conjunto de todos los elementos que están siendo considerados
Secuencia: en una situación en particular y se representa por U.
En la clase anterior se estudió el concepto de Subconjunto: El conjunto A es subconjunto del conjunto B si todo elemento B
conjunto vacío y se definieron las operaciones: de A es también elemento de B. Esta relación entre A y B se escribe A 1 B
y se lee "A es subconjunto de B".
unión e intersección de conjuntos; así como A
En el caso de que algún elemento de A no esté en B, se dice que A no es
su representación a través de diagramas subconjunto de B, se escribe A Y
1 B.
de Venn. Aquí se estudia el concepto de
Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, se
conjunto universal (requerido en la definición denota por A = B y se lee "El conjunto A es igual al conjunto B".
de complemento de un conjunto) y las
relaciones entre conjuntos. Ejemplo Dados los conjuntos:
U = {1, 4, 9, 16, 25}, A = {12, 22, 32, 42}, B = {1, 4, 9, 16}, C = {4, 16},
Puntos esenciales: escriba uno de los símbolos 1 , Y 1 o =, en el espacio en blanco, dé el significado de la

expresión resultante y justifique su veracidad con un ejemplo.
Definir conjunto universal y mostrar la a) C ___ B b) A ___ C c) B ___ A d) C ___ U
notación que se utiliza para este.
a) C Todos los elementos de C están en B, 4 y 16 pertenecen a B.
Definir las relaciones de inclusión e igualdad 1 B
de conjuntos. b) A Y
1 C Algunos elementos de A no están en C, por ejemplo 32zC.
c) B = A Los elementos de B son los mismos de A.

Resaltar que todo conjunto es subconjunto
d) C Todos los elementos de C están en U, por ser U el conjunto universal.
de sí mismo. 1 U
Establecer la igualdad o la inclusión entre Dados los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 7}, B = {1, 4}, C = {12, 22},
conjuntos dados, comparando los elementos 1 o = en el espacio en blanco.
escriba uno de los símbolos 1 , Y
pertenecientes a estos. a) C _____ A b) A _____ B c) B _____ A
Notar que con al menos un elemento de d) C _____ U e) C _____ C f) U _____ A

un conjunto que no pertenezca a otro, se
g) B _____ U h) C _____ B
concluye que el primero no es subconjunto
del segundo.
C3: Conjunto Universal. a) C ⊂ B Todos los elementos de C están en B.

Relaciones entre conjuntos (inclusión e
igualdad) b) A ⊄ C Algunos elementos de A no están en C .
Conjunto Universal: El conjunto de todos los elementos c) B = A Los elementos de B son los mismos de A.
que están siendo considerados en una situación en particular
y se representa por U. d) C ⊂ U Todos los elementos de C están en U.
Subconjunto: El conjunto A es B Dados los conjuntos:
subconjunto del conjunto B si
U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 7},
todo elemento de A es también
elemento de B.(A ⊂ B) B {1, 4} C ,2 }
A
Si algún elemento de A no está Escriba uno de los símbolos ⊂ , ⊄ o = en el
en B, se dice que A no es espacio en blanco.
subconjunto de B. (A ⊄ B)
Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si a) C ⊄ A b) A ⊄ B c) B ⊄ A
tienen los mismos elementos. (A = B)
Dados los conjuntos: d) C ⊂ U e) C = C f) U ⊄ A
U A = {1 , 2 , 3 , 4 }
g) B ⊂ U h) C = B
B C
Escriba uno de los símbolos ⊂, ⊄ o = en el
espacio en blanco y justifique su veracidad con
un ejemplo.
4 LT 4
Contenido
4 Operaciones con conjuntos (diferencia y complemento)
Sección 1: Conjuntos Aprendizajes esperados
Aplica las operaciones de complemento y
Contenido 4: Operaciones con conjuntos (diferencia y complemento) diferencia de conjuntos y las representa en
Conceptos diagramas de Venn.
• Diferencia de conjuntos: La diferencia A - B entre dos conjuntos A y B es el conjunto Secuencia:

formado por los elementos que están en A y no están en B. La expresión A - B se lee
“A menos B”. En la clase anterior se estudió el concepto de
A B conjunto universal y las relaciones de inclusión
e igualdad de conjuntos. Ahora, siguiendo con
el estudio de las operaciones entre conjuntos
se estudia la diferencia y el complemento.
• Complemento de un conjunto: El complemento de un conjunto A es otro conjunto
formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A; se denota
por A y se lee “complemento de A”.
U En el diagrama de Puntos esenciales:
Venn se considera el
rectángulo como el Recordar la definición de conjunto universal.
A A
conjunto universal (U).
Definir la diferencia entre conjuntos y el
Ejemplo Sean los conjuntos U = {2, 4, 6, 8, 10}, A = {2, 8, 10}, B = {6, 10}, complemento de un conjunto.
1. Encuentre: a) A-B b) A
2. Represente en diagrama de Venn los conjuntos que resultan en 1. y encuentre su Representar en diagramas de Venn la
cardinalidad. diferencia entre conjuntos y el complemento
de un conjunto.
1. a) A-B = {2, 8} b) A = {4, 6}
2. A B U A Destacar que:
2 A 6
8
{ A-B ! B-A
4
2 y 8 están en A, pero no en B 4 y 6 son elementos de { El complemento del conjunto vacío es el

U que no están en A universal y viceversa.
n (A - B) = 2 n ( A )=2
{ A-B es subconjunto de A.
Sean los conjuntos U = {-2, -1, 0, 1, 2}, A = {-2, 0}, B = {-1, 0, 1, 2 }, C = {-2, 1, 2 } { A+A = z
1. Encuentre:
a) A - B b) A c) A - C d) B - C e) C { n Â h = 1 - n Â h
2. Represente en diagrama de Venn los conjuntos que resultan en 1. y encuentre su
cardinalidad.
C4: Operaciones con conjuntos (diferencia y complemento) Sean los conjuntos

A B
U {−2, −1, 0, 1, 2, }, A = {−2, 0},
Diferencia de conjuntos→ B {−1, 0, 1, 2} C
1. Encuentre: a) A B b) A̅ c) A C
2. Represéntelas con diagrama de Venn y
Complemento de un conjunto→ U encuentre sus cardinalidades.
A A
A B
Sean los conjuntos
a) A B = {-2}
U {2, 4, 6, 8, 10}, A = {2, 8, 10} B -2
n (A -B) = 1
1. Encuentre: a) A B b) A̅ .
2. Represéntelas con diagrama de Venn y encuentre
sus cardinalidades.
U
b) A̅ = {-1, 1, 2} A̅
1. a) A B = {2, 8} b) A = {4, 6} -1
n ( A̅ ) = 3 A
A B 1 2
U A
22 4
88 A A C
c) A C = {0}
0
n (A B) = 2 n (A C) = 1
n (A) = 2
LT 5
5
Contenido
5 Conjunto (notación por comprensión)
Contenido 5: Conjunto (notación por comprensión)
Describe conjuntos de notación por Conceptos
comprensión a extensión o viceversa. Notación de conjuntos:
• Notación por comprensión: Para expresar un conjunto por comprensión se escribe una
Secuencia: letra mayúscula del alfabeto, el signo igual y las llaves { }, y dentro de estas una expresión
que condiciona la pertenencia de los elementos.
En todos los conjuntos que se han presentado Ejemplo: A = " x d N ; 1 # x # 5 ,
Conjuntos numéricos:
hasta este momento se han enumerado Se lee: “El conjunto A lo conforman las x que
Naturales: N Enteros: Z
son números naturales mayores o iguales a 1, pero
cada uno de sus elementos. En esta clase menores o iguales a 5”. Racionales: Q Reales: R
se describen conjuntos caracterizando sus
elementos mediante alguna propiedad.
Ejemplo Describa los siguientes conjuntos por comprensión a extensión:
Puntos esenciales: a) B = " x d N ; x impar, 1 1 x # 9 ,
b) C = " x d Z ; - 3 # x 1 2 ,
Recordar que un conjunto está expresado
por extensión cuando se enumeran cada uno a) Contiene los números naturales impares mayores que 1 y menores o iguales que 9.
de sus elementos. Extensión: B = "3, 5, 7, 9 ,
Definir cuándo un conjunto está expresado b) Contiene números enteros mayores o iguales que -3 y menores que 2.
por comprensión. Extensión: C = "- 3, - 2, - 1, 0, 1 ,
Describir conjuntos dados por comprensión a

extensión o viceversa. Describa los siguientes conjuntos de notación por comprensión a extensión:
a) C = " x d N ; x par, 2 # x 1 6 ,
Explicar la notación a utilizar para los
b) D = " x d Z ; - 3 # x 1 0 ,
conjuntos numéricos ( N, Z, Q, R )
c) F = " x d N ; x impar, 2 1 x 1 6 ,
C5: Conjunto (notación por comprensión)

Describa los siguientes conjuntos de notación
Notación por comprensión:
por comprensión a extensión.
{ }.
a) C |
Expresión que condiciona la
pertenencia de los elementos
C
Notación de un conjunto de números

Naturales: Enteros:
b) D
Racionales: Reales:
D
Describa los siguientes conjuntos de
notación por comprensión a extensión
a) B |
c) F |
B { 3, 5, 7, 9}
b) C F
6 LT 6
Sección 2: Intervalos numéricos
Contenido
1 Intervalos numéricos en la recta numérica
Sección 2: Intervalos numéricos Aprendizajes esperados

Determina intervalos numéricos de
Contenido 1: Intervalos numéricos en la recta numérica
su descripción por comprensión a su
Conceptos representación gráfica en la recta numérica
Un intervalo puede describirse como un conjunto cuyos Vacío: < o >
elementos satisfacen una desigualdad. Por ejemplo, el y viceversa.
conjunto Sombreado: ≤ o ≥
A = "x d R | x 2 1,
es el intervalo formado por todos los números reales que son mayores que 1, el cual es el Secuencia:
extremo del intervalo, mientras que En séptimo grado se dio el concepto de
B = "x d R | 0 # x # 1,
intervalo numérico.
indica que los elementos de B están comprendidos entre 0 y 1, incluyendo a estos, que son
los extremos del intervalo.
En las clases anteriores se han estudiado
Ejemplo 1. Ubique los intervalos siguientes en la recta numérica.
algunos conceptos básicos de la teoría de
a) A = " x d R | x 2 2 , b) B = " x d R | x # 3 , conjuntos. Ahora se estudian los intervalos
x 2 2 significa que se sitúan todos x # 3 indica ubicar todos los numéricos como conjuntos.
los números mayores que 2 números menores o iguales que 3
x x
Se comienza con la representación de intervalos
-2 -1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4 en la recta numérica. En las siguientes clases
c) C = " x d R |- 2 1 x # 1 , se efectuará unión e intersección de intervalos
Todos los números mayores que -2 y menores o iguales a 1. numéricos.
x
-3 -2 -1 0 1 2
Puntos esenciales:
2. De acuerdo con las siguientes gráficas, exprese los intervalos numéricos que se
presentan como conjuntos A y B descritos por comprensión. Recordar cuándo un conjunto está expresado
a)
x
b) x por comprensión.
-4 -2 0 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
A = "x d R | x #- 2, B = " x d R |- 2 # x 1 1 , Describir un intervalo como un conjunto cuyos

elementos satisfacen una desigualdad.
1. Ubique los intervalos siguientes en la recta numérica:
Representar geométricamente intervalos en
a) A = " x d R | x 2 4 , b) B = " x d R | x # - 3 , c) C = " x d R |- 1 1 x # 4 ,
la recta numérica.
d) B = " x d R |- 4 # x 1 3 , e) D = " x d R |- 2 # x # 3 ,
2. De acuerdo con las siguientes gráficas, exprese los intervalos que se presentan como Expresar intervalos por comprensión.
conjuntos A y B descritos por comprensión:
a) A b) B
Recordar que en la recta numérica a la
x x
derecha de un número se ubican números
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 mayores a este, y a su izquierda menores.
8
S2: Intervalos numéricos b) B { | }

C1: Intervalos numéricos en la recta numérica x
Un intervalo puede describirse como un -2 1
conjunto cuyos elementos satisfacen 1. Ubique los intervalos siguientes en la recta
una desigualdad. Vacío: < o >
numérica.
Ej A { | } es el intervalo Sombreado: o
formado por todos los números reales a) A { | } x
que son mayores que 1, el cual es el 4
extremo del intervalo.
1. Ubique los intervalos siguientes en la recta
b) B { | }
numérica. x
a) A b) B
-3
{ | } { | }
x x c) C { | }
2 3 x
c) C { | } x -1 4
-2 1 2. De acuerdo a las gráficas, exprese los
2. De acuerdo a las gráficas, exprese los intervalos
intervalos numéricos por comprensión.
numéricos por comprensión.
a) A { | } a) x A { | }
x
-2 -5
LT 8
7
Contenido
2 Unión de intervalos numéricos
Contenido 2: Unión de intervalos numéricos
Efectúa la unión de intervalos numéricos
y su correspondiente representación en la Grafique en una recta los pares de intervalos dados en cada inciso y encuentre su unión.
recta numérica. a) A = " x d R ; x 2 2 ,, B = " x d R ; x 1 - 1 ,
b) C = " x d R ; x $ - 2 ,, D = " x d R ; x 1 4 ,
Secuencia: c) E = " x d R ; x 2 2 ,, F = "x d R ; x $ 4,
En la clase anterior se estudiaron los intervalos

como conjuntos descritos por extensión o a) Habiendo ubicado los dos intervalos, se observa
comprensión. Ahora a partir de la unión de que no tienen elementos en común, así que A , B x
es la reunión de todos los elementos menores que 0 1 2 3
conjuntos se estudia la unión de intervalos.
-2 -1
-1 con todos los mayores que 2:

A , B = "x d R ; x 2 2 o x 1- 1, .
Puntos esenciales: b) Se observa que los dos intervalos se extienden
indefinidamente, uno hacia la izquierda y el otro hacia la
Recordar cómo se definió la unión de conjuntos. derecha, compartiendo elementos. Entonces queda cubierta
x
-2 0 2 4
toda la recta, es decir
Representar geométricamente la unión de C,D = R.
intervalos en la recta numérica.
c) En la gráfica puede verse que E contiene
Destacar en qué casos la unión de intervalos completamente a F, lo cual lleva a concluir que x
E , F = E = "x d R ; x 2 2, .
numéricos es disjunta, todos los números 1 2 3 4 5 6 7
reales o uno de los intervalos involucrados.

Insistir que en la representación gráfica de La unión de dos intervalos A y B es un conjunto que se obtiene de acuerdo con las siguientes
la unión de intervalos, esta se constituye condiciones:
• Si los intervalos no tienen elementos comunes, A , B es la reunión de los elementos de
coloreando ambos intervalos. ambos conjuntos A y B.
• Si los dos intervalos se extienden indefinidamente en ambos sentidos y tienen elementos
comunes, entonces A , B es toda la recta numérica.
• Si uno de los intervalos contiene al otro, entonces la unión de ambos es el primer intervalo.
Grafique en una recta los pares de intervalos dados en cada inciso y encuentre su unión.
a) A = " x d R ; x 1 - 4 ,, B = "x d R ; x 2- 1,
b) C = " x d R ; x 2 1 ,, D = "x d R ; x 2 3,
c) A = " x d R ; x 1 3 ,, B = "x d R ; x 1 5,
d) E = " x d R ; x $ - 2 ,, F = "x d R ; x 2 1,
C2: Unión de intervalos numéricos

(Explicar verbalmente)
Grafique en una recta los pares de intervalos
dados en cada inciso y encuentre su unión.
dados en cada inciso y encuentre su unión.
a) A = { | > 2},
B={ | < 1} x a) A = { | < 4 }, B = { | > 1}
-1 2 A B= { | > 1 o < 4}
A B = { | >2 o < 1}
x
-4 -1
b) C = { | 2},
b) C = { | > 1}, D = { | > 3}
D={ | < 4} x C D=C
-2 4
C = x
1 3
c) E = { | > 2}, c) A = { | < 3 }, B = { | < 5}
x A B=B
F={ | 4}
2 4 x
E F= E={ | > 2}
3 5
8 LT 9
Contenido
3 Intersección de intervalos numéricos
Contenido 3: Intersección de intervalos numéricos
Efectúa la intersección de intervalos numéricos
Grafique en una recta los pares de intervalos dados en cada inciso y encuentre su y su correspondiente representación en la
intersección.
recta numérica.
a) A = " x d R ; x 2 2 ,, B = " x d R ; x 1 4 ,
b) C = " x d R ; x 1 - 2 ,, D = " x d R ; x $ 2 , Secuencia:
c) E = " x d R ; x $ - 2 ,, F = " x d R ; x 2 4 ,
En la clase anterior se estudió la unión de
intervalos. Ahora a partir de la intersección
a) A = " x d R, x 2 2 ,, B = " x d R | x 1 4 , de conjuntos se estudia la intersección de
A + B = "x d R | 2 1 x 1 4, x
1 2 3 4 5
intervalos.
La intersección de ambos intervalos está
formada por los números repetidos en ambos.
Puntos esenciales:
b) C = " x d R | x 1 - 2 ,, D = " x d R | x $ 2 ,
C+D = z
x Recordar cómo se definió la intersección de
-2 0 2
conjuntos.
Los intervalos C y D no tienen elementos comunes.
c) E = " x d R | x $ - 2 ,, F = " x d R | x 2 4 , x
Representar geométricamente la intersección
E + F = "x d R | x 2 4, -2 0 2 4 6 8
de intervalos en la recta numérica.
Se observa que los elementos comunes inician a la derecha de 4, luego Destacar en qué casos la intersección de
E + F = F = "x d R | x 2 4, .
intervalos numéricos es vacía, uno de los
intervalos involucrados u otro intervalo.
La intersección de intervalos numéricos A y B, es un conjunto que se obtiene de acuerdo con
las siguientes condiciones:
Notar que la intersección, cuando no es
• Si los dos intervalos tienen elementos comunes, entonces A + B está formado por esos
elementos que se repiten en A y B. disjunta, esta es representada por la porción
• Si los dos intervalos no tienen elementos comunes, A + B es el conjunto vacío. doblemente coloreada en los intervalos.
• Si uno de los intervalos contiene al otro, entonces A + B coincide con el segundo.
Hacer notar que, en general para conjuntos
A y B, si A 1 B , entonces A + B = A .
Grafique en una recta los pares de intervalos dados en cada inciso y encuentre su
intersección:
a) A = " x d R ; x 2 3 ,, B = "x d R ; x 1 5,
b) C = " x d R ; x 1 - 1 ,, D = " x d R ; x $ 2 ,
c) E = " x d R ; x $ - 3 ,, F = " x d R ; x $ - 1 ,
d) A = " x d R ; x $ - 3 ,, B = " x d R ; x # 4 ,
e) C = " x d R ; x # - 2 ,, D = " x d R ; x 2 3 ,
f) E = " x d R ; x $ - 3 ,, F = " x d R ; x 2 2 ,
10
C3: Intersección de intervalos numéricos

dados en cada inciso y encuentre su intersección. Grafique en una recta los pares de intervalos
dados en cada inciso y encuentre su
a) { | } { | } intersección.
{ | } a) { | } { | }
{ | }
x
2 4 x
3 5
b) { | } { | }
b) { | } { | }
x
-2 2 x
c) { | } { | } -1 2
{ | } c) { | } { | }
{ | }
x x
-2 4 -3 -1
LT 10
9
Prueba de Unidad 1
Prueba de Matemática 10mo (30 min.) Fecha: ____________
Nombre: _____________________________ Sección: __________

/ 20
Sexo: M / F
1. Dado el conjunto A = "1, 2, 3 , , escriba el símbolo de pertenencia d o no pertenencia

g en cada espacio en blanco según corresponda. (1 punto × 2 = 2)
a) 2 A b) 4 A
2. Dados los conjuntos A = "1, 4, 7 , , B = "1, 4 , , escriba uno de los símbolos 1 o 1 Y

en el espacio en blanco según corresponda. (1 punto × 2 = 2)
a) A B b) B A
3. Sean los conjuntos U = "2, 4, 6, 8, 10 , (el conjunto universo) A = "2, 8, 10 , ,

B = "6, 10 ,, C = "2, 8 , , encuentre: (1 punto × 4 = 4)
a) A , B = b) B + C =
c) A = d) A - B =
4. Calcule la cardinalidad de los conjuntos resultante en 3. (1 punto × 4 = 4)
a) n Â , Bh = b) n ^B + Ch =
c) n Âh = c) n Â - Bh =
10
5. Exprese el conjunto A = " x ! N | 2 # x 1 6 , por extensión. (2 puntos)
6. Grafique en una recta el par de intervalos numéricos dado y encuentre su unión.

A = " x ! R | x 2 2 ,, B = " x ! R | x 1 - 1 , (3 puntos × 2 = 6)
A,B =
7. Grafique en una recta el par de intervalos numéricos dado y encuentre su

intersección.
C = " x ! R | x 2 - 1 ,, D = " x ! R | x # 2 , (3 puntos × 2 = 6)
C+D =
Nombre: ________________________________
11
Unidad 2
Inecuaciones de Primer y
Segundo Grado
Sección 1 Inecuaciones de primer grado
Sección 2 Inecuaciones de primer grado

con valor absoluto
Sección 3 Inecuaciones de segundo grado
Unidad 2: Inecuaciones de Primer y Segundo Grado

Contenido
1 Propiedades de las inecuaciones
Aprendizajes esperados Sección 1: Inecuaciones de primer grado

Aplica las propiedades de las inecuaciones Contenido 1: Propiedades de las inecuaciones
en ejercicios prácticos.
Inecuación: Una inecuación es una desigualdad en la que se presenta al menos una variable.
Secuencia: Ejemplo de inecuaciones: x 2 2 , 3x + 1 2 0 .
En la unidad anterior se estudiaron los Propiedades de las inecuaciones:
intervalos numéricos como conjuntos. Ahora Si A > B, entonces
estos representan conjuntos de soluciones 1. A+C > B+C

para una inecuación, entendiendo a 2. A-C > B-C
esta como una desigualdad donde se ve A B
3. Con C > 0; entonces AC > BC , >
involucrada al menos una variable. C C
A B
4. Con C < 0; entonces AC < BC , <
C C
Puntos esenciales: Ejemplo 1 Escriba el signo > o < en el recuadro, sabiendo que 6 > 4.
Definir el concepto de inecuación. a) 6+2 4+2 b) 6-2 4-2 c) (6)(2) (4)(2)
Presentar las propiedades de las inecuacio- d) (6)(-2) (4)(-2) e)

6
2
4
2
6
f) - 2
4
-2
nes.
a) 6+2 > 4+2 Se aplica la propiedad 1. b) 6-2 > 4-2 Se aplica la propiedad 2.
Destacar que al multiplicar o dividir una
c) (6)(2) > (4)(2) Se aplica la propiedad 3. d) (6)(-2) < (4)(-2) Se aplica la propiedad 4.
inecuación por un número negativo, el
6 4 6 4
sentido de la desigualdad cambia. e) 2 2 2 Se aplica la propiedad 3. f) - 2 < - 2 Se aplica la propiedad 4.
Notar que toda inecuación es una Ejemplo 2 Escriba el signo > o < en el recuadro, sabiendo que a > b.
desigualdad, pero no toda desigualdad es a) a+5 b+5 b) a-3 b-3 c) 3a 3b

a
d) - 5
b
-5
una inecuación.
Mencionar que las propiedades dadas a) a+5 > b+5 Se aplica la propiedad 1. b) a-3 > b-3 Se aplica la propiedad 2.
también son válidas cuando se utilizan los c) 3a > 3b Se aplica la propiedad 3.

a b
d) - 5 < - 5 Se aplica la propiedad 4.
símbolos $, # .
Escriba el signo > o < en el recuadro, sabiendo que a > b.
a) a+3 b+3 b) a-1 b-1 c) 2a 2b

a b
d) -2b -2a e) - 2 -2 f) b-4 a-4
b a
g) -2a -2b h) 3 3
14
Sección 1: Inecuaciones de primer grado

U2: Inecuaciones de primer y segundo grado
Escriba el símbolo > o < sabiendo que > .
S1: Inecuaciones de primer grado
C1: Propiedades de las inecuaciones a) > b) >
Inecuación: Una desigualdad en la que se c) > d) <

presenta al menos una variable. (Ej > 2)
Propiedades de las inecuaciones: Escriba el símbolo > o < , sabiendo que > .
Si A > B,
1.
2. >
3. entonces >
4. entonces <
Escriba el signo > o < , sabiendo que 6 > 4.

a) 6 + 2 > 4 + 2 Aplicar propiedad 1.
b) > Aplicar propiedad 2.
c) (6)(2) > (4)(2) Aplicar propiedad 3.
d) (6)( ) < (4)( ) Aplicar propiedad 4.
e) > Aplicar propiedad 3.
f) < Aplicar propiedad 4.
14 LT 14
Contenido
2 Inecuaciones de primer grado de
Sección 1: la forma
Inecuaciones x+b > c, x+b ≥ c
de primer grado
Contenido 2: Inecuaciones de primer grado de la forma x+b > c, x+b ≥ c

Determina el conjunto de soluciones de
Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado: Solución de una inecuación
es un número real que la
inecuaciones de primer grado de la forma
a) x-3 > 5
hace verdadera al sustituir x+b 2 c y x+b $ c.
b) x+3 ≥ 5 la variable por dicho número.
Secuencia:
a) x-3 > 5 En la clase anterior se estudió el concepto
x-3+3 > 5+3 Se aplica la propiedad 1 x de inecuación y las propiedades que se
x>8
cumplen. Ahora se resuelven inecuaciones
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha.

de primer grado de la forma: x + b 2 c ,
b) x+3 ≥ 5 x+b $ c.
x+3-3 ≥ 5-3 Se aplica la propiedad 2 x
x≥2
Puntos esenciales:
-1 0 1 2 3 4 5
Recordar las propiedades de las

Para resolver inecuaciones de primer grado de la forma x+b > c, x+b ≥ c, se procede de la
inecuaciones.
manera siguiente: Definir cuándo una inecuación es de primer
1. Se aplica la propiedad 1 o la propiedad 2 de las inecuaciones para aislar la variable x o
se transpone el número b al lado derecho. El conjunto de soluciones está formado por grado.
todos los números reales que al sustituirlos por la variable cumplen la inecuación.
2. Se ubica el conjunto de soluciones en la recta numérica. Definir el conjunto de soluciones de una
inecuación como el intervalo numérico cuyos
Ejemplo Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado: a) x-3 > 5 b) x+3 ≥ 5 elementos satisfacen la inecuación dada.
a) x-3 > 5 Representar gráficamente en la recta

numérica el conjunto de soluciones de una
x > 5+3 Se transpone el -3 al lado derecho
x>8 inecuación.
b) x+3 ≥ 5 Destacar en qué condiciones el valor o
x ≥ 5-3 Se transpone el 3 al lado derecho
los valores extremos de un intervalo son
x≥2
considerados solución o soluciones de la
inecuación dada.
Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado:
Indicar que la transposición de términos, en
a) x+5 > 6 b) x+1 ≥ 3
similitud con el tratamiento de ecuaciones,
c) x-2 > -3 d) x+4 ≥ 1
es válida también para cuando se trabaja con
15 inecuaciones.
C2: Inecuaciones de primer grado de la forma

Resuelva
Resuelva las siguientes inecuaciones de primer a)
grado.
a)
x x
7 8 9 10 11 1 2 3 4
b)
b)
x
x
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
(Explicar verbalmente y los estudiantes la copian)
c)
a) b)
Transponer
x
-2 -1 0 1 2
LT 15
15
Contenido
3 Inecuaciones de primer grado Unidad
de 2:la forma x+b < c, x+b ≤ c
Inecuaciones de Primer y Segundo Grado
Contenido 3: Inecuaciones de primer grado de la forma x+b <c, x+b ≤ c
inecuaciones de primer grado de la forma Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado:
x+b 1 c y x+b # c. a) x-3 < 2 b) x+1 ≤ 2
Secuencia:
En la clase anterior se resolvieron a) x - 3 1 2
inecuaciones de primer grado de la forma: x < 2 +3 Se transpone el -3 al lado derecho

x
de la inecuación
x + b 2 c , x + b $ c . Ahora se resuelven 2 3 4 5 6 7
x<5
inecuaciones de la forma x + b 1 c , El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha.
x+b # c.
b) x + 1 # 2
Puntos esenciales: x ≤ 2-1 Se transpone 1 al lado derecho x

x≤1 -2 -1 0 1 2 3
Recordar que la transposición de términos El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha.
es válida para cuando se trabaja con
inecuaciones.
Representar gráficamente en la recta
Para resolver inecuaciones de primer grado de la forma x+b<c, x+b ≤ c, se procede de la
numérica el conjunto de soluciones de una forma siguiente:
inecuación. 1. Se transpone el número b a la derecha y se efectúa la operación indicada.
2. Se ubica en la recta el intervalo que contiene las soluciones de la inecuación.
Insistir en la correcta aplicación de suma o
resta de números enteros.
Recordar constantemente que números Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado:
menores a otro, se ubican a la izquierda de a) x+4 < 8

este.
b) x-2 ≤ -3
c) x-3 < 3
d) x-3 ≤ -3
16
C3: Inecuaciones de primer grado de la forma

Resuelva
a)
Resuelva las siguientes
inecuaciones de primer grado. x
a) 1 2 3 4
Transponer -3 x
2 3 4 5 b)
x
b) -5 -4 -3 -2 -1
Transponer 1 x
c)
-2 -1 0 1
x
(Explicar verbalmente y los estudiantes copian) 3 4 5 6
d)
x
-3 -2 -1 0
16 LT 16
Contenido
4 Inecuaciones de primer grado de la forma ax > c , ax < c, ax ≥ c, ax ≤ c con a > 0
Contenido 4: Inecuaciones de primer grado de la forma ax > c , ax < c,
ax ≥ c, ax ≤ c con a > 0 Determina el conjunto de soluciones de
Resuelva las siguientes inecuaciones de primer
grado:
Recuerde la propiedad 3: ax 2 c , ax 1 c , ax $ c , ax # c , con
Si A > B con C > 0,
entonces
a 2 0.
a) 2x > 4
A B
AC > BC,
b) 3x ≤ -6 C
>
C Secuencia:
En la clase anterior se resolvieron
inecuaciones de primer grado de la forma:
a) 2x > 4 x + b 1 c , x + b # c . Ahora se resuelven
2 4
2x2 2 Se aplica la propiedad 3 x inecuaciones de la forma ax $ c , ax 2 c ,
x>2
-1 0 1 2 3 4
ax # c , ax 1 c , con a 2 0 .
b) 3x ≤ -6 Puntos esenciales:
3 -6
3x# 3 Se aplica la propiedad 3
x Recordar las propiedades de las inecuaciones
x ≤ -2 -4 -3 -2 -1 0 1 que se utilizan para resolver inecuaciones de
El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha. la forma ax $ c , ax 2 c , ax # c y ax 1 c .
Indicar que para dejar aislada la variable en
Para resolver inecuaciones de primer grado de la forma ax > c, ax<c, ax ≥ c, el lado izquierdo de la inecuación, el número
ax ≤ c, con a > 0 se procede de la forma siguiente: a usarse para este fin debe multiplicarse en
1. Se aplica la propiedad 3 para dejar aislada la variable x en el lado izquierdo. ambos lados.
2. Se grafica en la recta numérica el intervalo de las soluciones de la inecuación dada.
inecuación.
a) 2x > 10 Insistir en la correcta aplicación de la
multiplicación y división de números enteros.
b) 3x < 3
Recordar que números mayores a otro se
c) 2x ≥ 12 ubican a la derecha de este, y menores a la
d) 5x ≤ -10
izquierda.
17
C4: Inecuaciones de primer grado de la forma:

Resuelva
a)
Resuelva las siguientes Propiedad 3:
2
inecuaciones de primer Si y > 0, entonces x
2
grado.
, >
5 6 7 8
b)
a)
x x
1 2 3 4 5 -2 -1 0 1
c)
2 x
b) 2
x 5 6 7 8 9
-5 -4 -3 -2 -1
d)
(Explicar verbalmente) x
-5 -4 -3 -2 -1
LT 17
17
Contenido
5 Inecuaciones de primer grado Unidad
de 2:la forma
Inecuaciones ax
de Primer ax < c, ax ≥ c, ax ≤ c con a < 0
> c,Grado
y Segundo
Contenido 5: Inecuaciones de primer grado de la forma ax > c, ax < c,
Determina el conjunto de soluciones de ax ≥ c, ax ≤ c con a < 0
ax 2 c , ax 1 c , ax $ c , ax # c , con Resuelva las siguientes inecuaciones de primer
Recuerde la propiedad 4:
grado:
a 1 0. Si A > B con C < 0, entonces
a) -2x > 4 A B
Secuencia:
AC < BC, <
b) -x ≤ -3 C C
En la clase anterior se resolvieron inecuaciones

de la forma ax $ c, ax 2 c, ax # c y ax 1 c,
a) -2x > 4
con a 2 0 . Ahora se resuelven inecuaciones -2 4
Se aplica la propiedad 4 de las
-2 x < -2 x
de la misma forma, pero con a 1 0 . inecuaciones -4 -3 -2 -1 0 1
x <-2
Puntos esenciales: El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha.
b) -x ≤ -3
Indicar que para dejar aislada la variable en -1 -3
-1 x≥ -1 Se aplica la propiedad 4 de las
el lado izquierdo de la inecuación, se aplica inecuaciones
x
la propiedad 4; el número debe multiplicarse x≥3 1 2 3 4 5 6
en ambos lados. El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha.

Para resolver inecuaciones de primer grado de la forma ax > c, ax < c, ax ≥ c, ax ≤ c, con
inecuación por un número negativo, el a < 0:
sentido de la desigualdad cambia. 1. Se aplica la propiedad 4 para dejar aislada la variable x en el lado izquierdo.
2. Se grafica en la recta numérica el intervalo de las soluciones de la inecuación.
Recordar las propiedades de las
inecuaciones.
Representar gráficamente en la recta a) -2x > 2
numérica el conjunto de soluciones de una b) -x < 3
inecuación. c) -4x ≥ 4
d) -2x ≤ 10
18
Resuelva:
Resuelva las siguientes Propiedad 4:
a) 2 > 2
inecuaciones de primer
Si con < 0, entonces < x
grado. >
< C, < < 1 -4 -3 -2 -1

a) 2 >4
b) <3
<
x > x
< 2 -5 -4 -3 -2 -1
> 3 -4 -3 -2 -1 0
c) 4 4
b) 3
x x
2 3 4 5 6 1 -4 -3 -2 -1
3
d) 2 10
(Explicar verbalmente y los estudiantes copian)
x
-6 -5 -4 -3 -2
18 LT 18
Inecuaciones de primer grado de la forma ax+b > c, ax+b < c, ax+b ≥ c, ax+b ≤ c
Contenido
6 con a > 0 Sección 1: Inecuaciones de primer grado
Contenido 6: Inecuaciones de primer grado de la forma ax+b > c,
ax+b < c, ax+b ≥ c, ax+b ≤ c con a > 0 Determina el conjunto de soluciones de
a) 2x+2 > 4 b) 2x-4 ≤ -8
ax + b 2 c , ax + b 1 c, ax + b $ c y
ax + b # c con a 2 0 .
a) 2x+2 > 4
Secuencia:
2x > 4-2 Se transpone 2 x
2x > 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 En la clase anterior se resolvieron

2 2
Se aplica la propiedad 3
inecuaciones de la forma ax $ c , ax 2 c,
2 x> 2
x>1 ax # c , ax 1 c , con a 1 0 . Ahora se
El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha. resuelven inecuaciones de primer grado de
la forma ax + b 2 c, ax + b 1 c, ax + b $ c y
b) 2x-4 ≤ -8
2x ≤ -8+4 Se transpone -4 x
ax + b # c , con a 2 0 .
2x ≤ -4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
2 -4
2 x≤ 2 Se aplica la propiedad 3 Puntos esenciales:
x ≤ -2
El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha. Recordar las propiedades de las
inecuaciones.
Indicar que para resolver inecuaciones
Para resolver inecuaciones de primer grado de la forma ax+b > c, ax+b < c, ax+b ≥ c,
ax+b ≤ c, con a > 0:
de este tipo, se conjugan los procesos
1. Se transpone b al lado derecho de la inecuación, luego se aplica la propiedad 3 para
aprendidos en clases anteriores.
aislar la variable x.
2. Se grafica el intervalo de soluciones en la recta numérica, recordando el signo usado.
inecuación.
a) 2x-4 > 10 b) 3x-3<-3
c) 2x+2 > 2 d) 2x-6<-2
e) 2x-6 ≥ 2 f) 4x+8 ≥ 4
g) 5x-5 ≤ -10 h) 5x+5 ≤-10
19
C6: Inecuaciones de primer grado de la forma a)
x
Resuelva las siguientes inecuaciones de 14 6 7 8 9 10
2
primer grado:
b)
a)
x
x 3
-3 -2 -1 0
1 2 3 4 3
e)
b)
x
2 8
x 2 2
3 4 5 6 7
-5 -4 -3 -2 -1
g)
x
(Explicar verbalmente) 5 -4 -3 -2 -1 0
LT 19
19
Contenido Inecuaciones de primer grado de la forma ax+b > c, ax+b < c, ax+b ≥ c,
7 ax+b ≤ c con a < 0 Unidad 2: Inecuaciones de Primer y Segundo Grado
Aprendizajes esperados Contenido 7: Inecuaciones de primer grado de la forma ax+b > c,

Determina el conjunto de soluciones ax+b < c, ax+b ≥ c, ax+b ≤ c con a < 0
de inecuaciones de primer grado de Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado:
la forma ax + b 2 c , ax + b 1 c a) -2x+2 > 4 b) -2x-4 ≤ 0
ax + b $ c, y ax + b # c , con a 1 0 .
Secuencia: a) -2x+2 > 4

En la clase anterior se resolvieron inecua- -2x > 4-2 Se transpone 2
ciones de la forma ax + b $ c , ax + b 2 c -2x > 2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
x
ax + b # c y ax + b 1 c , con a 2 0 . Ahora -2 2
-2 x < -2 Se aplica la propiedad 4
se resuelven inecuaciones de la misma for- x < -1

ma, pero con a 1 0 . El conjunto de soluciones está representado gráficamente a la derecha.
b) -2x-4 ≤ 0
Puntos esenciales: -2x ≤ 0+4 Se transpone -4
Destacar que al multiplicar o dividir una -2x ≤ 4 x
inecuación por un número negativo, el sentido -2

-2 x≥ -2
4
Se aplica la propiedad 4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
de la desigualdad cambia. x ≥ -2
Hacer hincapié en que la variable debe quedar
aislada en uno de los lados de la inecuación,
preferiblemente en el izquierdo. Para resolver inecuaciones de primer grado de la forma ax+b > c, ax+b<c, ax+b ≥ c,
ax+b ≤ c, con a < 0:
Recordar las propiedades de las inecuaciones. 1. Se transpone b, al lado derecho, luego se aplica la propiedad 4 para aislar la variable x.
Representar gráficamente en la recta numérica 2. Se grafica en la recta numérica el intervalo de soluciones.
el conjunto de soluciones de una inecuación.

a) -2x-4 > 10 b) -3x-3 <-3
c) -2x+2 > -4 d) -3x-6 < 3
e) -2x-6 ≥ 2 f) -4x+8 ≥ 4
g) -5x-5 ≤ -10 h) -5x+5 ≤ 10
20
C7: Inecuaciones de primer grado de la forma Resuelva

a)
x
Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado. -11 -10 -9 -8 -7 -6
a)
b)
x x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3
b) e)
x
x
-7 -6 -5 -4 -3
-3 -2 -1 0 1
g)
x
1 2 3 4
20 LT 20
Contenido
8 Inecuaciones simultáneas de primer grado (1)
Contenido 8: Inecuaciones simultáneas de primer grado (1)
Resuelva las siguientes inecuaciones Se aplica la propiedad 1 y 2 de inecuaciones simultáneas en las que el
simultáneas de primer grado: la siguiente manera:
Si A < B < C, entonces
coeficiente de la variable es positivo.
a) 4 < x+2 ≤ 5 b)-8 ≤ 3x-2 < 1 A+D < B+D < C+D
A-D < B-D < C-D Secuencia:
Hasta este momento se han resuelto
a) 4 < x+2 ≤ 5
x
inecuaciones de primer grado. Ahora se
4-2 < x+2-2 ≤ 5-2 Se aplica la propiedad 2
-1 0 1 2 3 4 resuelven inecuaciones simultáneas de
2<x≤3
primer grado, es decir, inecuaciones donde
intervienen al menos dos desigualdades.
b) -8 ≤ 3x-2<1
-8+2 ≤ 3x-2+2 < 1+2 Se aplica la propiedad 1
x
Puntos esenciales:
-6 ≤ 3x < 3
-6 3 3
-3 -2 -1 0 1 2
Definir cuándo una inecuación es simultánea.
3 ≤ 3 x< 3 Se aplica la propiedad 3
-2 ≤ x < 1
Recordar las propiedades de las inecuacio-
nes.
Destacar que para las inecuaciones
Para resolver inecuaciones simultáneas de primer grado se procede de la siguiente manera:
simultáneas también son válidas las
• Si es de la forma a < x+c < b, se aplica la propiedad 1 o 2 de las inecuaciones para aislar
la x entre los dos signos de desigualdad, luego se grafica el intervalo de soluciones. propiedades, establecidas en el contenido 1.
• Si es de la forma a < dx+c < b con d20, se aplica propiedad 1 o 2 para aislar dx, luego
se aplica la propiedad 3 de las inecuaciones para aislar la variable x, por último se grafica
el intervalo de soluciones. numérica el conjunto de soluciones de una
inecuación simultánea de primer grado,
Resuelva las siguientes inecuaciones simultáneas de primer grado:
el cual será un intervalo que posee dos
extremos, es decir acotado.
a) 1 < x+2 ≤ 2 b) -2 ≤ x-2 < 4 c) -3 ≤ 2x+1 ≤ 3
Indicar que en el caso de inecuaciones
d) -6 < 5x-1 ≤ 4 e) -5 < 2x+1 ≤ 5 simultáneas, la variable queda aislada como
término central.
Insistir en la aplicación correcta de
operaciones con números enteros.
21
C8: Inecuaciones simultáneas de primer grado (1)

Leer en el libro de texto.
Si , entonces
a) x
-2 -1 0 1
Resuelva las siguientes inecuaciones
simultáneas de primer grado: b)
a)
x
x c) -2 0 2 4 6 8
1 2 3 4
b)
x
-3 -2 -1 0 1 2
d)
x
-3 -2 -1 0 1 2
(Explicar verbalmente y los estudiantes < x
copian) -2 -1 0 1 2
LT 21
21
Contenido
9 Inecuaciones simultáneas de primer grado
Unidad 2: Inecuaciones (2)
de primer y segundo grado
Contenido 9: Inecuaciones simultáneas de primer grado (2)
Determina el conjunto solución de
inecuaciones simultáneas en las que el Resuelva la siguiente inecuación simultánea Se aplica la propiedad 4 de la
siguiente manera:
de primer grado:
coeficiente de la variable es negativo. 4 <-x+2 ≤ 5
Si A < B < C, con D < 0 entonces
A B C
2 2
Secuencia: D D D

4 <-x+2 ≤ 5
inecuaciones simultáneas de primer grado 4-2 <-x+2-2 ≤ 5-2 Se aplica la propiedad 1
cuando el coeficiente de la variable es
2 <-x ≤ 3
positivo. Ahora se resuelven inecuaciones de 2 - 1x 3
este tipo cuando el coeficiente de la variable -1 > -1 ≥ -1 Se aplica la propiedad 4
es negativo. -2 > x ≥ -3, es decir -3 ≤ x < -2
El conjunto de soluciones está representado en la siguiente gráfica:

Puntos esenciales:
Recordar las propiedades de las inecuacio- x
nes. -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Para resolver inecuaciones simultáneas de primer grado de la forma a < dx+c < b con d < 0.
inecuación simultánea por un número
negativo, el sentido de las desigualdades 1. Se aplica la propiedad 1 o 2 para aislar dx.
involucradas cambia. 2. Se aplica la propiedad 4 para aislar x y se cambia el sentido de los signos.
3. Se grafica el intervalo de soluciones en la recta numérica.
inecuación simultánea de primer grado, el Resuelva las siguientes inecuaciones simultáneas de primer grado:
cual será un intervalo acotado. a) -1 ≤ -x+1 < 2
b) 6 ≥ -2x-2 > 2
c) 6 > -x+3 ≥ -1
d) 5 ≥ -x+3 ≥ -2
e) 9 ≥ -3x+3 ≥ -6
22
C9: Inecuaciones simultáneas de primer grado (2) b) 6 2 2>2

Resuelva la siguiente inecuación Si < < , 6+2 2 2+2>2+2
simultánea de primer grado: con < 0 entonces <
4 < 2 x
4< +2 5 > >
-5 -4 -3 -2 -1
4 2< +2 2 5 2 Aplicar propiedad 1. c) 6 > +3 1
6 3> +3 3 1 3
2< 3
<
> Aplicar propiedad 4. x
3< 4
-4 -3 -2 0 1 2 3 4
2> 3
d) 5 +3 2
Se puede expresar esta x
5 3 +3 3 2 3
misma por 3 < 2 -4 -3 -2 -1

x
2 5
-4 -3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6
a) 1 +1<2 e) 9 3 +3 6
1 1 +1 1<2 1 9 3 3 +3 3 6 3
9
>
x x
1< 2 -2 -1 0 1 2 3 2 3 -2 -1 0 1 2 3
22 LT 22
Sección 2: Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Contenido
1 Propiedades de valor absoluto
Sección 2: Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Aprendizajes esperados

Contenido 1: Propiedades del valor absoluto
Aplica las propiedades de valor absoluto
para resolver ecuaciones o inecuaciones de
Definición y Propiedades la forma: x = a, x 1 a, x 2 a .
Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número es la distancia desde el origen al número en la recta
numérica. Secuencia:
Formalmente, para cualquier número x:
En las clases anteriores se han resuelto
inecuaciones de primer grado. Ahora se
Z] x, x> 0 |x|
]] si x $ 0
]] 0
resuelven inecuaciones con valor absoluto.
x
x = []
]] |x|
]] x< 0
- x, si x 1 0
\
Puntos esenciales:
x 0
Por ejemplo: 3 = 3, - 2 =-]- 2g = 2

Recordar la definición de valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
a) x $ 0
estudiada en grados anteriores.
b) Con a > 0:
Si |x| = a, entonces x = a o x = -a Definir formalmente el valor absoluto de un
Si |x| < a, entonces -a <x <a número cualquiera x como
Si |x| > a, entonces x<-a o x > a
x, si x $ 0
x ='
Ejemplo Aplique las propiedades del valor absoluto para resolver: - x, si x 1 0
a) |x| = 2 b) |x|<2 c) |x| > 2
Presentar las propiedades:
a) Si |x| = 2, entonces x = 2 o x = -2 2 2
{ x $ 0
x
-2 -1 0 1 2
{ Si a 2 0 , entonces
b) Si |x|<2, entonces -2 < x < 2
x
• x = a si y solo si x = a, x =- a .
-3 -2 -1 0 1 2 3
• x 1 a si y solo si - a 1 x 1 a .
• x 2 a si y solo si x 1 a o x 2 a .
c) Si |x| > 2, entonces x <-2 o x > 2 x
-4 -2 0 2 4 Definir el concepto de ecuación o inecuación
con valor absoluto.
Resuelva las siguientes ecuaciones o inecuaciones y represente gráficamente sus soluciones:
a) |x| = 3 b) |x| < 4 c) |x| > 3 d) |x| = 5 Aplicar dichas propiedades en la resolución
de ecuaciones o inecuaciones con valor
e) |x| ≤ 6 f) |x| ≤ 2 g) |x| ≥ 5 h) |x| < 1
absoluto.
i) |x| ≤ 4 j) |x| ≥ 4
24
S2: Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Resuelva las siguientes ecuaciones o
C1: Propiedades de valor absoluto
Definición de valor absoluto: Es la distancia desde el origen a
inecuaciones y represente gráficamente
sus soluciones:
un número real en la recta numérica. a) | | = 3 x
| | -3 -2 -1 0 1 2 3
, si
| |= 0 o
| |
, si b) | | < 4
Propiedades del valor absoluto: 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
a) | |
b) Con
Si entonces , c) | | > 3
Si | entonces
Si entonces o
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Aplique las propiedades de 2 2
o
valor absoluto para resolver:
x d) | | = 5 x
a) | | o -2 -1 0 1 2
-5 0 5
b) | | x o
-2 -1 0 1 2
c) | | o e) | |
x
x -12 -6 0 6 12
-4 -2 0 2 4
LT 24
23
Contenido
2 Ecuación con valor absoluto de la forma |x+b| = a Sección 2: Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Contenido 2: Ecuación con valor absoluto de la forma |x+b| = a
Resuelve ecuaciones con valor absoluto de
Resuelva las siguientes ecuaciones con valor
la forma x + b = a . absoluto:
Recuerde que:
Con a > 0,
a) |x+1| = 2 b) |x-2| = 3 si |x| = a, entonces x = a o x = -a
Secuencia:
En la clase anterior se definió formalmente el a) |x+1| = 2
valor absoluto para un número cualquiera y se x+1 = 2, x+1 = -2
aplicaron sus propiedades en la resolución de x = 2-1, x = -2-1
ecuaciones e inecuaciones sencillas. Ahora se x = 1, x = -3
resuelven ecuaciones con valor absoluto de la Por lo tanto, 1 y -3 son las soluciones de la ecuación |x+1| = 2.
forma x + b = a . b) |x-2| = 3
x-2 = 3, x-2 = -3
Puntos esenciales: x = 3+2, x = -3+2
Recordar: x = 5, x = -1
{ Si a 2 0 , entonces Por lo tanto, 5 y -1 son las soluciones de la ecuación |x-2| = 3.
x = a si y solo si x = a, x =- a .
Una ecuación con valor absoluto es una ecuación cuya variable aparece dentro del | |.
{ Cómo se resuelven ecuaciones lineales. Una ecuación con valor absoluto se resuelve de la siguiente forma:
1. Se aplica la propiedad con a > 0, si |x| = a entonces x = a, x = -a.
Aplicar dicha propiedad en la resolución de
2. Se resuelven las dos ecuaciones de primer grado.
ecuaciones con valor absoluto de la forma
x+b = a.
Notar que al aplicar la propiedad anterior Resuelva las siguientes ecuaciones con valor absoluto:
el problema de resolver la ecuación con a) |x+2| = 3
valor absoluto se traduce a resolver dos b) |x-1| = 4
ecuaciones de primer grado, de modo que se c) |x-3| = 3
encontrarán dos soluciones para la ecuación d) |x+4| = 2
dada. e) |x-2| = 5
25
C2: Ecuación valor absoluto de la forma | + | =

Resuelva las siguientes ecuaciones:
Resuelva las siguientes | | = si y solo si
ecuaciones: = , = a) | + 2| = 3
a) | + 1| = 2
+ 2 = 3, +2= 3
+ 1 = 2, +1= 2
=3 2, = 3 2
=2 1, = 2 1
= 1, = 5
= 1, = 3
b) | 1| = 4
b) | 2| = 3 1 = 4, 1= 4
2 = 3, 2= 3 = 4 + 1, = 4+1
= 3 + 2, = 3+2 = 5, = 3
= 5, = 1 c) | 3| = 3
Una ecuación con valor absoluto se resuelve de la siguiente forma: 3 = 3, 3= 3

1. Se aplica la propiedad con si , entonces . = 3 + 3, = 3+3
2. Se resuelven las dos ecuaciones de primer grado.
24 LT 25
Contenido
3 Inecuaciones con valor absoluto de la forma |x+b| < a y |x+b| ≤ a
Contenido 3: Inecuaciones con valor absoluto de la forma |x+b| < a y |x+b| ≤ a
Resuelve inecuaciones con valor absoluto
Resuelva las siguientes inecuaciones: Recuerde que: de la forma x + b 1 a y x + b # a .
Con a > 0, si |x| < a, entonces
a) |x+1| < 2 b) |x-3| ≤ 1 -a < x < a
Secuencia:
a) |x+1| < 2 En la clase anterior se resolvieron ecuaciones
-2 < x+1 < 2 con valor absoluto de la forma x + b = a.
-2-1 < x+1-1 < 2-1 Ahora se resuelven inecuaciones con valor
-3 < x < 1 absoluto de la forma x + b 1 a y x + b # a.
Puntos esenciales:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Recordar:
b) |x-3| ≤ 1
-1 ≤ x-3 ≤ 1
-1+3 ≤ x ≤ 1+3 x 1 a si y solo si - a 1 x 1 a .

2≤x≤4 { Cómo se resuelven inecuaciones
El conjunto de soluciones está representado en la siguiente gráfica: simultáneas de primer grado.
x Aplicar dicha propiedad en la resolución de
1 2 3 4 5
inecuaciones con valor absoluto de la forma
x + b 1 a y x + b # a.
Una inecuación con valor absoluto es una desigualdad en la que se involucra el valor
absoluto. Notar que al aplicar la propiedad anterior
Las inecuaciones con valor absoluto de la forma |x+b| < a se resuelven de la siguiente
manera:
el problema de resolver la inecuación con
1. Se aplica la propiedad con a > 0, si |x| < a entonces -a < x < a. valor absoluto se traduce a resolver una
2. Se resuelve la inecuación simultánea de primer grado obtenida en el paso 1. inecuación simultánea de primer grado.
3. Se grafica el intervalo de soluciones en la recta numérica poniendo atención al sentido
del signo de la inecuación. Representar gráficamente en la recta
Resuelva las siguientes inecuaciones:
inecuación con valor absoluto de la forma
a) |x+2| < 3 b) |x-1| ≤ 4 c) |x-3| < 3
x + b 1 a y x + b # a , el cual es un
d) |x+4| ≤ 2 e) |x-2| ≤ 5
intervalo acotado.
26
C3: Inecuación con valor absoluto de la forma

Resuelva
| | y| |
Resuelva las siguientes a) | |<3
inecuaciones: | |< si y solo si
a) | |<2 x
-6 -5 -4 -3 -2-1 0 1 2
b) | |
x
-4 -3 -2 -1 0 1 x
b)| |
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
c) | |<3
x
1 2 3 4 5
x
0 1 2 3 4 5 6
LT 26
25
Contenido
4 Inecuaciones con valor absoluto de la forma |x+b| > a y 2:|x+b| ≥ a
Sección Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Contenido 4: Inecuaciones con valor absoluto de la forma |x+b| > a y |x+b| ≥ a
Resuelve inecuaciones con valor absoluto
de la forma x + b 2 a y x + b $ a . Resuelva las siguientes inecuaciones con valor Recuerde que:
absoluto: Con a > 0, si |x| > a,
Secuencia: a) |x+1| > 2 b) |x-1| ≥ 2 entonces x <-a o x > a
En la clase anterior se resolvieron inecuaciones

con valor absoluto de la forma x + b 1 a. a) |x+1| > 2
Ahora se resuelven inecuaciones con valor x+1 <-2 o x+1 > 2
absoluto de la forma x + b 2 a y x + b $ a. x +1-1<-2-1 o x+1-1 > 2-1
x <-3 o x>1
Puntos esenciales: El conjunto de soluciones está representado en la siguiente gráfica:
Recordar: x
0 1 2 3
-4 -3 -2 -1
b) |x-1| ≥ 2
x 2 a si y solo si x 1 - a o x 2 a . x-1 ≤ -2 o x-1 ≥ 2
x-1+1 ≤ -2+1 o x-1+1 ≥ 2+1
{ Cómo se resuelven inecuaciones de
x ≤ -1 o x≥3
primer grado.
Aplicar dicha propiedad en la resolución de
inecuaciones con valor absoluto de la forma x
0 1 2 3 4
x + b 2 a y x + b $ a.
-3 -2 -1
Notar que al aplicar la propiedad anterior

Las inecuaciones con valor absoluto de la forma |x+b| > a se resuelven de la siguiente
el problema de resolver la inecuación con manera:
valor absoluto se traduce a resolver dos 1. Se aplica la propiedad con a > 0, si |x| > a entonces x <-a o x > a.
inecuaciones de primer grado. 2. Se resuelven las dos inecuaciones de primer grado obtenidas en el paso 1.
3. Se grafica el resultado en la recta numérica, de acuerdo a los símbolos de desigualdad.
inecuación con valor absoluto de la forma Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
x + b 2 a y x + b $ a , el cual será la
a) |x+2| > 3 b) |x-3| > 3 c) |x-1| ≥ 4
unión de los intervalos correspondientes a
las inecuaciones de primer grado resueltas. d) |x+4| ≥ 2 e) |x-2| ≥ 5
27
C4: Inecuación con valor absoluto de la forma | | y b) | |>3

| | o
| | si y solo si o
Resuelva las siguientes o o
inecuaciones:
a) | |>2 x
-4 -3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
o
o x d) | |
o -6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 o
o
b) | | o
o
o x
o -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2
e) | |
(Explicar verbalmente) o
-5-4-3-2-1 0 1 2 34 5 6 x o
a) | |>3
o
o
o x
o -8-7-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 -7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
26 LT 27
Sección 3: Inecuaciones de segundo grado
Contenido
1 Ecuación de segundo grado
Sección 3: Inecuaciones de segundo grado Aprendizajes esperados

Contenido 1: Ecuación de segundo grado Resuelve ecuaciones de segundo grado
aplicando factorización.
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando factorización:
a) x2-4 = 0 b) x2+2x = 0 c) x2+3x+2 = 0
Secuencia:
Hasta este momento se han resuelto
a) Se usa a2-b2 = (a+b) (a+b) b) Se extrae factor común x inecuaciones de primer grado e inecuaciones
x 2- 4 = 0 x2+2x = 0 con valor absoluto. En esta sección se
(x+2)(x-2) = 0 x (x+2) = 0 estudian las inecuaciones de segundo grado.
x+2 = 0, x-2 = 0 x = 0, x+2 = 0 Se comienza con un repaso sobre ecuaciones
x = -2, x=2 x = 0, x = -2 de segundo grado.
c) Se usa x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) Puntos esenciales:

x2+3x+2 = 0
(x+2)(x+1) = 0
Recordar:
x+2 = 0, x+1 = 0
{ Cuándo una ecuación es de segundo
x =-2, x = -1
grado.
{ Los casos de factorización: factor común
Las ecuaciones de segundo grado se resuelven por factorización de la siguiente manera: monomio, diferencia de cuadrado y
1. Se identifica el caso de factorización que se puede utilizar y se descompone en factores
el binomio o trinomio que aparece en la ecuación.
x2 + (a + b) x + ab .
2. Se igualan los dos factores a cero. { Los métodos estudiados para resolver
3. Se resuelven las dos ecuaciones de primer grado de donde se obtienen las soluciones.
ecuaciones de segundo grado.
{ Los pasos que se siguen para resolver
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando factorización: una ecuación de segundo grado por
a) x2-1 = 0 b) x2+4x = 0 factorización.
c) x2+6x+5 = 0 d) x2+4x+3 = 0
e) x2-9 = 0 f) x2-5x = 0
{ La aplicación de la propiedad si AB = 0,
entonces A=0 o B=0.
g) x2-x-2 = 0 h) x2+4x-5 = 0
29
Sección 3: de
S3: Inecuaciones Inecuaciones
segundo grado
C1: Ecuación de segundo grado
de segundo grado
c) +6 +5=0 d) +4 +3=0
( + 5)( + 1) = 0 ( + 3)( + 1) = 0
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado + 5 = 0, + 1 = 0 +3=0, +1=0
utilizando factorización: = 5 , = 1 = 3 , = 1
a) Se usa = ( + )( ) b) Se extrae factor común
+2 =0
4=0
( + 2) = 0
( + 2)( 2) = 0
=0 , +2=0 e) 9=0 f) 5 =0
+ 2 = 0, 2=0
=0 , = 2 ( + 3)( 3) = 0 ( 5) = 0
= 2, =2
+3=0, 3=0 =0 , 5=0
c) Se usa +( + ) + = ( + )( + ) = 3 , =3 =0 , =5
+3 +2=0
( + 2)( + 1) = 0
+2=0 , +1=0
= 2 , = 1 g) 2=0 h) + 4 5=0
(Explicar verbalmente) ( 2)( + 1) = 0 ( + 5)( 1) = 0
2=0, +1=0 + 5 = 0 , 1=0
a) 1=0 b) +4 =0 =2 , = 1 = 5 , = 1
( + 1)( 1) = 0 ( + 4) = 0
+1=0 , 1=0 =0 , +4=0
= 1 , =1 =0 , = 4
LT 29
27
Contenido
2 Gráfica de la función de segundo grado por medio de interceptos con el eje x (1)
Aprendizajes esperados Contenido 2: Gráfica de la función de segundo grado por medio de

interceptos con el eje x (1)
Determina los interceptos de las gráficas de
funciones de segundo grado con el eje x. Encuentre los interceptos con el eje x de las gráficas de las siguientes funciones de segundo
grado:
a) y = x2-4 b) y = x2+2x-3
Secuencia:
En la clase anterior se recordó cómo se re- a) y = x2-4 y
suelve una ecuación de segundo grado por x 2- 4 = 0 Se sustituye y = 0
factorización. Ahora se recuerda cómo se (x+2)(x-2) = 0 Se factoriza x2-4
(-2, 0) (2, 0) x
O
gráfica una función de segundo grado por x+2 = 0, x-2 = 0 Se iguala a cero cada factor
medio de interceptos con el eje x. x = -2, x=2 Se transpone 2 y -2
Los interceptos de y = x2-4 con el eje x son (-2, 0) y (2, 0).
Puntos esenciales: b) y = x2+2x-3

y
x2+2x-3 = 0
Recalcar que hay gráficas de funciones de Se sustituye y = 0
(x+3)(x-1) = 0 Se factoriza x2+2x-3

segundo grado que no cortan al eje x, pero (-3, 0)
O
(1, 0) x
x+3 = 0, x - 1 = 0 Se iguala a cero cada factor

las que a partir de aquí se consideran si lo
x = -3, x=1 Se transpone 3 y -1
cortan.
Los interceptos de y = x2+2x-3 con el eje x son (-3, 0) y (1, 0).
Destacar que para encontrar los interceptos
de la gráfica de una función de segundo grado
con el eje x se hace y = 0 , lo que conduce Para encontrar los interceptos con el eje x de una función de segundo grado y = ax2+bx+c
se procede de la forma siguiente:
a resolver una ecuación de segundo grado. 1. Se sustituye y = 0 en y = ax2+bx+c.
2. Se resuelve la ecuación ax2+bx+c = 0.
Recordar cómo se resuelve una ecuación de
3. Con las soluciones x1 y x2 de la ecuación anterior se determinan los interceptos (x1, 0)
segundo grado por factorización. y (x2, 0) de la gráfica de la función con el eje x.
Notar que los interceptos con el eje x, se

forman a partir de las soluciones de la Encuentre los interceptos con el eje x de las gráficas de las siguientes funciones de segundo
ecuación de segundo grado; en ambos grado:
a) y = x2-1 b) y = x2+6x+5 c) y = x2+4x d) y = x2+x-2
puntos se tiene la ordenada O. y y y
y
x x x x
O O O O
30
C2: Gráfica de la función de segundo grado por

medio de interceptos con el eje (1)
a) y
Encuentre los interceptos con el eje de las
(-1,0) (1,0)
gráficas de las siguientes funciones de segundo ( )( )=0
-1 1
grado:
a) Los interceptos son
( ) y (1,0).
( )( )=0
b) y
( )( )=0
Los interceptos de (-5,0) (-1,0)
con el eje son y (2,0). Los interceptos son -5 -1
b) ( ) y ( ).
( )( )=0 c) y
( )=0 (-4,0) (0,0)
-4 0
Los interceptos de con el eje Los interceptos son

son y (1,0). (0,0) y ( ).
28 LT 30
Contenido
3 Gráfica de la función de segundo grado
Sección 3: Inecuaciones por
de segundo grado medio de interceptos con el eje x (2)
Contenido 3: Gráfica de la función de segundo grado por medio de Aprendizajes esperados

interceptos con el eje x (2) Grafica funciones de segundo grado me-
diante interceptos con el eje x y la mediatriz
Trace la gráfica de la función de segundo grado y = x +4x+3 usando interceptos con el
2
eje x. del segmento definido por ellos.

Secuencia:
Se resuelve la ecuación x2+4x+3 = 0 que se origina de haber y
En la clase anterior se encontraron los
hecho y = 0.
interceptos de las gráficas de funciones de
x2+4x+3 = 0 (-3, 0) (-1, 0)
(-2, 0) O
x
segundo grado con el eje x. Ahora a partir
(x+3)(x+1) = 0 Se factoriza x2+4x+3 Figura 1 de tales interceptos se traza la gráfica
x+3 = 0, x+1 = 0 Se iguala a cero cada factor correspondiente.
x = -3, x = -1 Se transpone 3 y 1
Se ubican los interceptos (-3, 0) y (-1, 0) de la gráfica de y

Puntos esenciales:
la función en el eje x, como se muestra en la Figura 1, y se
dibuja la mediatriz al segmento definido por ellos.
Recordar:
{ El concepto de mediatriz de un segmento.
(-3, 0) (-1, 0) x
Se dibuja la parábola, como se muestra en la figura 2, (-2, 0) O
aprovechando la simetría que tiene respecto a la mediatriz Figura 2
trazada en forma punteada. { Los pasos que se siguen para encontrar
los interceptos de la gráfica de una
Para graficar la función de segundo grado y = ax2+bx+c por medio de los interceptos con
función de segundo grado con el eje x.
el eje x, se procede así:
1. Se hace y = 0 y se resuelve la ecuación de segundo grado ax2+bx+c = 0 cuyas
{ Las características de la gráfica de una
soluciones son las abscisas de los interceptos con el eje x. función de segundo grado.
2. Se ubican en el eje x los puntos del paso 1 y se puntea la mediatriz del segmento
definido por ellos. Aclarar la noción de simetría de una parábola
3. Se dibuja la gráfica aprovechando su simetría respecto de la mediatriz punteada.
respecto a la mediatriz trazada.
Trace la gráfica de la función de segundo grado usando interceptos con el eje x.
a) y = x2+6x+5
b) y = x2+3x
c) y = x2+x-2
d) y = x2-1
31
C3: Gráfica de la función de segundo grado por medio

de interceptos con el eje (2)
a) = +6 +5 y
Trace la gráfica de la función = + 4 + 3,
( + 5)( + 1) = 0 (-5,0) (-1,0)
usando interceptos con el eje .
+5=0 , +1=0 -5 -1 x
= +4 +3 y = 5 , = 1
+4 +3=0 Los interceptos: ( 5,0) y
( + 3)( + 1) = 0 ( 1,0)
+3=0 , +1=0 (-3, 0) (-1, 0) x b) = +3
= 3 , = 1 - 3 (-2, 0) - 1 O
( + 3) = 0 y
=0 , +3=0 (-3,0) (0,0)
=0 , = 3 -3 0 x
Se ubica los interceptos de la función con el Los interceptos:( 3,0) y
eje : ( 3, 0) y ( 1,0) (0,0)
Se dibuja la gráfica con la propiedad de simetría. c) = + 2 y

( + 2)( 1) = 0
(-2,0) (1,0)
(Explicar verbalmente) +2=0 , 1=0 x
-2 1
= 2 , =1
Los interceptos:( 2,0)
y (1,0)
LT 31
29
Contenido
4 Inecuaciones de segundo gradoUnidad
de2: Inecuaciones
la forma de Primer yx
2 2
-cGrado
Segundo > 0, x2-c2 ≥ 0
Aprendizajes esperados Contenido 4: Inecuaciones de segundo grado de la forma x2-c2 > 0,
Resuelve inecuaciones de segundo grado x2-c2 ≥ 0
de la forma x 2 - c 2 2 0 y x 2 - c 2 $ 0 . Resuelva la inecuación de segundo grado x2-4 > 0.
Secuencia: Se toma el lado izquierdo x2-4 y se resuelve la y

En clases anteriores se ha trazado la gráfica de ecuación x2-4 = 0 mediante factorización 4
x -4 = 0
una función de segundo grado a partir de sus
2
y>0 y>0
2
(x+2)(x-2) = 0
interceptos con el eje x. (-2, 0) (2, 0)
x = -2, x=2 x
Ahora se resuelven inecuaciones de segundo Se traza la gráfica de la función y = x -4, ubicando
2
-6 -4 -2 O 2 4
grado de la forma x 2 - c 2 2 0, x 2 - c 2 $ 0, los interceptos (-2, 0) y (2, 0) en el eje x. -2
para las cuales se requerirá la solución de Dado que x2-4 > 0, se identifican los intervalos
en el eje x para los cuales y > 0, puede verse en -4
ecuaciones de segundo grado y el trazado de la gráfica que esto ocurre cuando x < -2 o x > 2.
funciones de segundo grado. Por tanto, el conjunto de soluciones de x2-4 > 0 es la unión de los intervalos que cumplen
x < -2 o x > 2.
Puntos esenciales:
Recordar los pasos que se siguen para trazar Una inecuación de segundo grado en una variable es una expresión que tiene una de las
formas ax2+bx+c ≥ 0, ax2+bx+c < 0, ax2+bx+c > 0, etc.
la gráfica de una función de segundo grado a
Para resolver inecuaciones de la forma x2-c2 > 0; x2-c2 ≥ 0:
partir de sus interceptos con el eje x. 1. Se plantea la ecuación x2-c2 = 0 y se resuelve por factorización.
Definir lo que es una inecuación de segundo 2. Se grafica la función y = x2-c2 ubicando los interceptos (-c, 0) y (c, 0) en el eje x.
3. Se identifican los intervalos en el eje x para los cuales y > 0 o y ≥ 0.
grado. 4. El conjunto de soluciones es la unión de los intervalos anteriores.
Explicar los pasos que se siguen para

resolver inecuaciones de segundo grado de
Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado:
la forma x 2 - c 2 2 0, x 2 - c 2 $ 0 .
a) x2-1 > 0 b) x2-9 ≥ 0 c) x2-1 ≥ 0
numérica el conjunto de soluciones de una d) x2-25 ≥ 0 e) x2-16 > 0 f) x2-4 ≥ 0
inecuación de este tipo.
Explicar la conclusión a partir de la solución
del problema.
32
C4: Inecuaciones de segundo grado de la forma 2

y
a)
1
-2 -1 O 1 2 x
Resuelva la inecuación de segundo grado . , (-1, 0) -1 (1, 0)
Como , la solución de -2
y la inecuación es:
4
o (-3, 0)
y
(3, 0)
y 0 y 0
y>0
2 b) -4 -2 O 2 4 x
-2
(-2, 0) (2, 0)
, -4
-4 -2 O 2 4 x ,
Graficar -2 Como , la solución de la -6
inecuación es:
ubicando los interceptos o
-8
-4
y (2,0) en el eje d)
. y
La solución de es la unión de los -10 -5 O 5 10 x
(-5, 0) (5, 0)
intervalos que cumplen o . , -10
Como , la
(Explicar verbalmente) solución de la inecuación
es: -20
30 LT 32
Contenido
5 Inecuaciones de segundo grado de la forma x2-c2 < 0, x2-c2 ≤ 0
Contenido 5: Inecuaciones de segundo grado de la forma x2-c2 < 0,
x2-c2 ≤ 0 Resuelve inecuaciones de segundo grado
de la forma x 2 - c 2 2 0 y x 2 - c 2 $ 0 .
Resuelva la inecuación de segundo grado x2-1 ≤ 0.
Secuencia:
Se toma el lado izquierdo x -1 y se resuelve la ecuación x -1 = 0 mediante factorización
2 2
(x+1)(x-1) = 0 inecuaciones de segundo grado de la forma
y
x = -1, x = 1 x 2 - c 2 2 0 , x 2 - c 2 $ 0 . Ahora se resuelven
Se traza la gráfica de la función y = x2-1, ubicando los inecuaciones de la forma x 2 - c 2 1 0 ,
interceptos (-1, 0) y (1, 0) en el eje x.
(-1, 0) (1, 0)
x 2 - c 2 # 0 , cuyo proceso de resolución es
x
Dado que x2-1 ≤ 0, se identifica el intervalo en el eje x similar.
para el cual y # 0 , puede verse en la gráfica que esto
y 0
ocurre cuando - 1 # x # 1.
Puntos esenciales:
Por tanto, el conjunto de soluciones de x2-1 ≤ 0 es el
intervalo que cumple la condición -1 ≤ x ≤ 1. Recordar los pasos que se siguen para trazar
partir de sus interceptos con el eje x.
Para resolver inecuaciones de segundo grado de la forma x2-c2 < 0, x2-c2 ≤ 0:
1. Se plantea la ecuación x2-c2 = 0 y se resuelve por factorización. Explicar los pasos que se siguen para
2. Se grafica la función y = x2-c2 ubicando los interceptos (-c, 0) y (c, 0) en el eje x. resolver inecuaciones de segundo grado de
3. Se identifica el intervalo en el eje x para el cual y < 0 o y ≤ 0.
la forma x 2 - c 2 1 0 , x 2 - c 2 # 0 .
4. El conjunto de soluciones es el intervalo anterior.
Aplicar correctamente la factorización de
diferencias de cuadrados.
Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado: Representar gráficamente en la recta
a) x2-4 < 0 b) x2-9 < 0 numérica el conjunto de soluciones de una
inecuación de este tipo.
c) x2-1 < 0 d) x2-16 ≤ 0
e) x2-25 < 0 f) x2-9 ≤ 0
33
C5: Inecuaciones de segundo grado de la forma: y

(-2, 0) (2, 0)
Resuelva la inecuación de segundo
undo g
grado . a) -2 2 x
y
( )( )=0
Como , la solución de y
(-1, 0) (1, 0) x la inecuación es:
(-3, 0) (3, 0)
( )( )=0 b) -3 3 x
y 0
( )( )=0
Se grafica la función ubicando los
Como , la solución de la
interceptos y (1,0) en el eje . inecuación es: y
La solución de es el intervalo . (-4, 0) (4, 0)
d) 0
-4 4 x
(Explicar verbalmente) ( )( )=0
Como , la solución de la
inecuación es:
LT 33
31
Contenido Inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c < 0,
6 con a > 0 Unidad 2: Inecuaciones de Primer y Segundo Grado
Aprendizajes esperados Contenido 6: Inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c > 0,

Resuelve inecuaciones de segundo ax2+bx+c < 0 con a > 0
grado de la forma ax 2 + bx + c 2 0 y
ax 2 + bx + c 1 0 , con a 2 0 . x2+3x+2 > 0 y x2+3x+2 < 0
Secuencia:
Siguiendo con el estudio de la resolución Se iguala a cero el lado izquierdo x2+3x+2 de cualquiera de y
las inecuaciones y se resuelve la ecuación:
de inecuaciones de segundo grado, ahora 2
x2+3x+2 = 0
se resuelven inecuaciones de la forma
(x+2)(x+1) = 0
ax 2 + bx + c 2 0 , ax 2 + bx + c 1 0 , con 1
x = -2, x = -1
a 2 0. y 0 y 0
x
Se traza la gráfica de la función y = x2+3x+2 ubicando los -3 -2
y 0
-1 O
interceptos (-2, 0) y (-1, 0) en el eje x.

Puntos esenciales: Se forman tres intervalos definidos por: x <-2, -2 < x < -1, x > -1.
Recordar los pasos que se siguen para trazar El conjunto de soluciones de x2+3x+2 > 0 es la unión de los intervalos que cumplen
x <-2 o x > -1 ya que para estos y > 0.
El conjunto de soluciones de x2+3x+2 < 0 es el intervalo que cumple -2 < x < -1, ya que
partir de sus interceptos con el eje x. para este y < 0.

resolver inecuaciones de segundo grado de Para resolver inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c < 0,
con a > 0 se procede así:
la forma ax 2 + bx + c 2 0 , ax 2 + bx + c 1 0,
1. Se encuentran las soluciones de la ecuación ax2+bx+c = 0
con a 2 0 . Es por ello que debe aplicarse
y
las cuales son m y n con m < n.

correctamente la factorización de ax 2 + bx + c 2. Se grafica la función y = ax2+bx+c con interceptos (m, 0)
y (n, 0). x
Representar gráficamente en la recta numérica 3. Se forman los intervalos que cumplen x < m, m < x < n,
m n
el conjunto de soluciones de una inecuación x 2 n.
de este tipo, el cual puede ser la unión disjunta 4. El conjunto de soluciones de ax2+bx+c > 0 se forma a
partir de la unión de los intervalos que corresponden a y > 0, los cuales cumplen x < m
de dos intervalos numéricos o un intervalo o x 2 n.
acotado. El conjunto de soluciones de ax2+bx+c < 0 es el intervalo que cumple la condición
m < x < n.

a) x2 + 5x + 6 > 0 b) x2 + 2x - 8 < 0
c) x2 - x - 2 > 0 d) x2 + x - 6 < 0
34
C6: Inecuaciones de segundo grado de la forma: y

a) +5 +6>0
+ + > , + + < con > +5 +6=0
5
4
Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado: ( + 3)( + 2) = 0 0 0
+3 +2>0 y +3 +2<0 = 3 , = 2 3
La solución de la inecuación 2
Se resuelve la ecuación
y
+ 5 + 6 > 0 es: 1
+3 +2= 0
( + 2)( + 1) = 0 < 3 o > 2 -3 -2 -1 O x
2
= 2 , = 1 b) +2 8<0 y
0
Se traza la gráfica ubicando los +2 8=0
1 2x
interceptos ( 2, 0) y ( 1, 0) en el ( + 4)( 2) = 0 -4 -2
-2
eje . = 4 , =2
-3 -2 -1 O x La solución de la inecuación -4
La solución de la inecuación <0 +2 8 < 0 es:
-1 -6
, es: 4 < <2
c) 2>0 -8
La solución de la inecuación 2=0
+ 3 + 2 < 0, es: ( 2)( + 1) = 0
y
2< < 1 1
=2 , = 1
La solución de la inecuación -1 1 2 x
(Explicar verbalmente) , es:
-1
-2
o
32 LT 34
Inecuaciones de segundo grado de la forma ax +bx+c ≥ 0, ax2+bx+c ≤ 0, 2
Contenido
7 con a > 0 Sección 3: Inecuaciones de segundo grado
Contenido 7: Inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c ≥ 0, Resuelve inecuaciones de segundo grado
ax2+bx+c ≤ 0 con a > 0
de la forma ax2+bx+c $ 0 y ax2+bx+c
Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado: # 0, con a 2 0 .
x2-3x+2 ≥ 0 y x2-3x+2 ≤ 0
Secuencia:
Se iguala a cero el lado izquierdo x2-3x+2 de cualquiera de las inecuaciones y se resuelve En la clase anterior se resolvieron inecua-
la ecuación:
ciones de la forma ax 2 + bx + c 2 0,
x2-3x+2 = 0
(x-2)(x-1) = 0
ax 2 + bx + c 1 0 , con a 2 0 . Ahora se re-
x = 2, x=1 suelven inecuaciones de segundo grado de
estas formas con # o $ .
Se traza la gráfica de la función y = x2-3x+2 ubicando los y
interceptos (1, 0) y (2, 0) en el eje x. 2
Se forman tres intervalos definidos por: x ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 2 y x ≥ 2.

Puntos esenciales:
1
Recordar los pasos que se siguen para trazar
El conjunto de soluciones de x -3x+2 ≥ 0 es la unión de
2 y 0 y 0
los intervalos que cumplen x ≤ 1 o x ≥ 2 ya que para estos O 1 2

x
y ≥ 0. y 0
partir de sus interceptos con el eje x.
El intervalo de soluciones de x2-3x+2 ≤ 0 es el que cumple la condición 1 ≤ x ≤ 2.
Explicar los pasos que se siguen para resolver
inecuaciones de segundo grado de esta forma.
Para resolver inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c ≥ 0, ax2+bx+c ≤ 0, con
a > 0 se procede así:
Representar gráficamente en la recta numérica
1. Se encuentran las soluciones de la ecuación ax2+bx+c = 0 las cuales son m y n con el conjunto de soluciones de una inecuación
m<n. de este tipo, el cual resulta ser un intervalo
2. Se grafica la función y = ax2+bx+c con interceptos (m, 0) y (n, 0). numérico acotado, o la unión disjunta de dos
3. Se forman los intervalos que cumplen x ≤ m, m ≤ x ≤ n, x $ n .
intervalos.
4. El conjunto de soluciones de ax2+bx+c ≥ 0 se forma a partir de la unión de los intervalos
que corresponden a y $ 0, los cuales cumplen x ≤ m o x $ n .
El intervalo de soluciones de ax2+bx+c ≤ 0 es el que cumple m ≤ x ≤ n.
a) x2-4x+3 ≥ 0 b) x2+5x+4 ≤ 0
c) x2-x-6 ≥ 0 d) x2+2x-8 ≤ 0
35
C7: Inecuaciones de segundo grado de la forma a) y

con ( )( )=0 2
Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo
La solución de la inecuación 1
grado:
y con
1 2 3 x
es: o -1
Se resuelve la ecuación y
2
b)
1 y
( )( )=0 ( )( )=0
1 -4 -3 -2 -1 x
, La solución de la inecuación
-1
Se traza la gráfica ubicando con es:
los interceptos (1, 0) y (2, 0)
1 2 x
en el eje .
c)
y
La solución de la inecuación con
es: o -2 -1 1 2 3 x
La solución de la inecuación con -2
es:
-3
-4
LT 35
33
Contenido Inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c < 0,
8 ax2+bx+c ≥ 0, ax2+bx+c ≤ 0, con a < 0
Contenido 8: Inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c > 0,
Resuelve inecuaciones de segundo grado ax2+bx+c < 0, ax2+bx+c ≥ 0, ax2+bx+c ≤ 0 con a < 0
de la forma ax2+bx+c 2 0,
ax2+bx+c 1 0, ax2+bx+c $ 0 y Resuelva la inecuación de segundo grado -x2-6x-5 > 0.
ax2+bx+c # 0, con a 1 0 .
y
-x2-6x-5 > 0 1
Secuencia: x +6x+5 < 0

2
Se multiplica por -1 y se cambia el O
x
-5 -4 -3 -2 -1 1
En la clase anterior se resolvieron signo > por <

-1
x2+6x+5 = 0
inecuaciones de la forma ax 2 + bx + c $ 0, Se plantea la ecuación
y 0 -2
ax 2 + bx + c # 0 , con a 2 0 . Ahora se (x+5)(x+1) = 0 Se factoriza

-3
resuelven inecuaciones de segundo grado de x = -5,-1 Se resuelven las ecuaciones de

primer grado
-4
estas formas con a 1 0 . El conjunto de soluciones de x2+6x+5 < 0 es el intervalo que cumple la condición
-5 < x < -1 porque sus elementos corresponden a puntos de la parábola con y < 0. Este
Puntos esenciales: es también el conjunto de soluciones de -x2-6x-5 > 0.
Recordar los pasos que se siguen para trazar

la gráfica de una función de segundo grado a Para resolver inecuaciones de segundo grado de la forma ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c<0,
partir de sus interceptos con el eje x. ax2+bx+c ≥ 0, ax2+bx+c ≤ 0, con a <0, se procede así:
1. Se multiplica por -1 ambos lados de la inecuación, cambiando el sentido del signo de
Explicar los pasos que se siguen para resolver inecuación.
inecuaciones de segundo grado de esta forma. 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado ax2+bx+c = 0 y se traza la gráfica de la
función de segundo grado y = ax 2 + bx + c .
Destacar que para resolver una inecuación 3. Se encuentra el conjunto de soluciones para la inecuación resultante del paso 1.
de segundo grado con a 1 0 es conveniente Este será el conjunto de soluciones de la inecuación dada.
convertirla en una inecuación con a 2 0 . Pero
que esto no quiere decir que no se pueda Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado:
resolver en su forma dada.
a) -x2+x+2 > 0
Representar gráficamente en la recta numérica
el conjunto de soluciones de una inecuación de b) -x2-2x+3 < 0
este tipo.
c) -x2-x+2 ≥ 0
d) -x2-x+6 ≤ 0
36
C8: Inecuaciones de segundo grado de la forma a) y

1
con x
-2-1 1 2
Resuelva la inecuación de segundo grado -1
La solución de -2
Multiplicar por es:

Cambiar símbolo b) y
1
Resolver la ecuación 0
-5 -4-3-2-1-1 1 2 3x
( )( )=0 y ( )( )=0
-2
1
La solución de -3
La solución de -5 -4-3-2 -1 x es:
-1
es: -2
-3 c) y
1
0 -2 -1 x
( )( )=0 -1
(Explicar verbalmente) La solución de es: -2
34 LT 36
Prueba
Prueba de de Matemática
Unidad 2 10mo (30 min.) Fecha: ____________
Nombre: _____________________________ Sección: __________

/ 20
Sexo: M / F
1. Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado: (2 puntos × 4 = 8)

a)
x - 3 2 5 b) 3x #- 6
x x
c)
- 2x 2 4 d) 2x + 2 2 4
x x
2. Resuelva la inecuación simultánea de primer grado - 2 # x - 2 1 4 .

(2 puntos)
3. Resuelva la ecuación: x - 2 = 3 . (2 puntos)
35
4. Resuelva la inecuación x - 1 $ 2 (2 puntos)
5. Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado: (2 puntos × 3 = 6)

a)
x 2 - 1 # 0 b) x 2 + 2x - 8 1 0
y y
x x
c)
x 2 - 3x + 2 $ 0
Nombre: ________________________________
36
Unidad 3
4
7
Fracciones Algebraicas
Sección 1 Simplificación, multiplicación
y división de fracciones
algebraicas
Sección 2 Adición y sustracción de

fracciones algebraicas
Unidad 3: Fracciones Algebraicas

Contenido
1 Simplificación de fracciones conUnidad
numerador y denominador numéricos y de variables
3: Fracciones Algebraicas
Aprendizajes esperados Sección 1: Simplificación, multiplicación y división de fracciones

Simplifica fracciones con numerador y algebraicas
denominador numéricos y con variables. Contenido 1: Simplificación de fracciones con numerador y denominador
numéricos y de variables
Secuencia: Simplifique las siguientes fracciones: Recuerde:

x2 = x $ x
En esta unidad se abordan los contenidos 15
a) 10 b)
x2
x3 = x $ x $ x
x3
referentes a las fracciones algebraicas x4 = x $ x $ x $ x
considerando como referencia la simplificación, x 2, x3 y x 4 se llaman potencias de x
la factorización y las operaciones con

expresiones algebraicas. Se comienza a) Se calcula el máximo común divisor de b) Se descompone x 2 y x3 en factores y
15 y 10 que es 5 y se divide por este el se simplifica
con la simplificación de fracciones cuyos numerador y el denominador.
numeradores y denominadores son números 3
x2 x$x 1
15 3 = x$ x$x = x
o variables. 10 = 2
x3
2 Se ha tachado en el numerador y
denominador el mismo número de
Puntos esenciales: variables.
Recordar la simplificación de fracciones La simplificación de fracciones consta de dos pasos:

estudiada en los grados anteriores. 1. Se calcula el máximo común divisor del numerador y el denominador.
2. Se divide el numerador y el denominador de la fracción por su máximo común divisor,
Explicar los pasos que se siguen para obteniéndose una fracción irreducible.
simplificar fracciones cuyos numeradores y Para simplificar fracciones en las que el numerador y denominador son variables se procede
así:
denominadores son números o variables. 1. Se descomponen las variables del numerador y el denominador como producto de
factores.
Simplificar fracciones cuyos numeradores y 2. Se simplifican las variables que son comunes en el numerador y el denominador,
denominadores son números o potencias de obteniendo una fracción irreducible.
variables.
Simplifique las siguientes fracciones:
a
Hacer notar que en expresiones como a $ a , 14 4
a) 12 b) 12
al simplificar, en el numerador queda 1. 8 15
c) 20 d) 25
35 a3
e) 40 f)
a4
n2 p2 q4
g) h)
n3 p 2 q3
40
U3: Fracciones Algebraicas

S1: Simplificación, multiplicación y división de 1
fracciones algebraicas 14 7 4 1
a) = b) =
C1: Simplificación de fracciones con 12 6 12
3
3
Sección 1: Simplificación, multiplicación

numerador y denominador numéricos y
de variables 8 2
y división15de3 fracciones 2 3
algebraicas
Simplifique:
c)
20
=
5
d)
25
=
5
5 5
15 Recuerde: 7
a) b) 35 7 1
10 e) = f) = =
40 8 a
8
1
g) = = h) =
15 3 1
a) = b) = =
10 2
Leer en el libro de texto los pasos para simplificar fracciones

algebraicas.
38 LT 40
Sección 1: Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
Simplificación de fracciones algebraicas cuyo numerador y denominador son
Contenido
2 monomios Sección 1: Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
Contenido 2: Simplificación de fracciones algebraicas cuyo numerador
y denominador son monomios Simplifica fracciones algebraicas cuyo
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: numerador y denominador son monomios.
Una fracción algebraica es el cociente
2x 4 y 3 5x 2 y de dos monomios o polinomios.
a) b)
6x 2 y 2 10x 2 y3
Secuencia:
En la clase anterior se simplificaron fracciones
a) Se simplifican los números 2 y 6, se descomponen las potencias x4, y3, x2 y y2 en sus
variables y se simplifica.
cuyos numeradores y denominadores eran
1
2$ x$ x$x$x$ y$ y$y
números o variables. A este tipo de fracciones
2x 4 y 3 x$x$y x2 y En la multiplicación de variables
6x 2 y 2
=
6$x$x$y$y
3
= 3 = 3
y números se usa punto: se les llama fracciones algebraicas. Ahora
1 2 2x 4 y 3 = 2 $ x $ x $ x $ x $ y $ y $ y se estudia la simplificación de fracciones
=
3x y
algebraicas cuyos numeradores y denominares
b) Se simplifican los números 5 y 10, se descomponen las potencias x2 y y3 en sus variables
y se simplifica.
son monomios.
1
5x 2 y 5$x$x$y
10x 2 y3
=
1 1
10 $ x $ x $ y $ y $ y = 2 $ y $ y = 2y 2 Puntos esenciales:
2
Recordar la simplificación de fracciones

cuyos numeradores y denominadores son
Una fracción algebraica es aquella que posee variables en el denominador.
números o variables.
Para simplificar fracciones algebraicas cuyo numerador y denominador son monomios se
procede así: Explicar los pasos que se siguen para sim-
1. Se simplifican los coeficientes del numerador y denominador dividiéndolos por su máximo
común divisor.
plificar fracciones algebraicas cuyos numera-
2. Se simplifican las variables que son comunes en el numerador y el denominador, la dores y denominadores son monomios.
fracción algebraica resultante es el producto de los coeficientes y variables que quedaron
en el numerador y denominador. Simplificar fracciones algebraicas cuyos nu-
meradores y denominadores son monomios.
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: Notar que, si se simplifican todas las cons-
6x 3 y 2 14a 2 b 2
tantes y variables en el numerador o el deno-
a) b)
12x 2 y3 7a 3 b 3 minador, quedará 1 en lugar de la expresión
8xy 20a3 b 2
que se tenía.
c) d)
4x 2 y 3 4a 2 b 3
18m 2 n3 30p 2 q3
e) f)
12m3 n 2 20p3 q3
41
C2: Simplificación de fracciones algebraicas cuyo Simplifique:

numerador y denominador son monomios
Simplifique: a) =
a)
a) b)
b)
b) = =
2 1
a)
a) = = = =
6 3 3 3
c) = =
5 1 1
b)
b) = = =
10
d) = =
Leer en el libro de texto los pasos para simplificar fracciones
algebraicas cuyo numerador y denominador son monomios.
e) = =
f) =
LT 41
39
Contenido
3 Factorización Unidad 3: Fracciones Algebraicas
Contenido 3: Factorización
Recuerda los casos de factorización de R
polinomios más usados. La factorización de un número mayor que 1 en números primos ocurre en los números
enteros, mientras que con expresiones polinómicas, factorizar significa descomponerlas en
polinomios que ya no se pueden reducir más.
Secuencia: Los casos de factorización más frecuentes son:
En noveno grado se estudiaron los casos de • ab+ac = a(b+c), Factor común monomio.
factorización. Aquí se hace un repaso de estos. • x2-a2 = (x+a)(x-a), Diferencia de cuadrados.
• x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b), Trinomio de la forma x2+(a+b)x+ab.
Puntos esenciales: • x ! 2ax+a2 = (x ! a)2 Trinomio cuadrado perfecto.

2
Recordar los casos de factorización ya

estudiados. Factorice los siguientes polinomios:
a) 10x+5 b) x2-5x c) x2-9
Aplicar dichos casos en la factorización de
d) x +5x+4
2
e) x +2x+1
2
polinomios.
a) 10x+5 = (5)(2x)+(5)(1) = 5(2x+1)
b) x2-5x = x $ x-5 $ x = x(x-5)
c) x2-9 = x2-32 = (x+3)(x-3)
d) x2+5x+4 = x2+(1+4)x+(1)(4) = (x+1)(x+4)
e) x2+2x+1 = x2+(2) x(1)+12 = (x+1)(x+1) = (x+1)2
Factorice los siguientes polinomios:
a) 2x+4 b) x2-4x
c) x2-1 d) x2+3x+2
e) x2+4x+4 f) 4x2+12x
g) x2-2x+1 h) x2+6x+9
i) x2-8x+16 j) x2+5x-6
42
C3: Factorización
Repaso: Factorice los siguientes polinomios
Factor común monomio
=( )( ) Diferencia de cuadrados
+( ) ( )( )
Trinomio de la forma
=( )
Trinomio cuadrado perfecto
Factorice los siguientes polinomios:
a) 1 ( ) + (5)(1)
b) ( )( ) ( )
e)
c)
f)
d) + (1 + 4) (1)(4)
=( )( )
g)
e) + (2)( )(1) + 1
=( )( )=( )
40 LT 42
Sección 2: Adición y sustracción de fracciones algebraicas
Simplificación de fracciones algebraicas cuyo numerador y denominador son
Contenido
4 polinomios Sección 1: Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
Contenido 4: Simplificación de fracciones algebraicas cuyo numerador y
denominador son polinomios Simplifica fracciones algebraicas cuyo
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: numerador y denominador son polinomios.
x+1 x2 - 1
a) b)
x2 - 1 x2 + x - 2
Secuencia:
En la clase anterior se recordaron los casos
a) Se examina el numerador y denominador para saber si son factorizables. En este caso de factorización. Ahora, estos se aplican en
x+1 no es factorizable, pero x2-1, se factoriza como x2-1 = (x+1)(x-1).
la simplificación de fracciones algebraicas
x+1
x+1
=
x 2 - 1 (x + 1) ^ x - 1h
=
1
x-1
cuyos numeradores y denominadores son
polinomios.
b) El numerador y denominador son factorizables:
x2-1 = (x+1)(x-1) y x2+x-2 = (x+2)(x-1)
Puntos esenciales:
Entonces,
x2 - 1 ^ x + 1h(x - 1) x+1
Identificar el caso de factorización que se
=
x 2 + x - 2 ^ x + 2h(x - 1)
=
x+2 puede aplicar al numerador o denominador
de la fracción algebraica.
Simplificar todos los factores comunes
Para la simplificación de fracciones algebraicas cuyo numerador y denominador son del numerador y denominador, conduce a
polinomios se realiza lo siguiente: obtener una fracción reducida.
1. Se factoriza el numerador y el denominador de la fracción algebraica, si es posible.
2. Se simplifican todos los factores comunes del numerador y denominador, los términos
Insistir en que si el numerador y denominador
restantes forman la nueva fracción algebraica, que es reducida. son polinomios, en los que un término se
presenta en ambos, este no se simplifica,
por ejemplo, es incorrecto el procedimiento
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:
siguiente:
a)
x+2
b)
x 2 + 3x + 2 x2 - 1
x2 - 4 x+2
x2 + x - 2
x-3 x2 - 4
c) d)
x2 - 9 x2 + x - 6
x2 - x - 2 x 2 - 3x
e) f)
x2 - 1 x 2 - 4x + 3
x 2 + 4x 3x - 3
g) h)
x 2 + 8x + 16 x2 - 1
43
C4: Simplificación de fracciones algebraicas

cuyo numerador y denominador son Simplifique:
polinomios
Simplifique las siguientes fracciones

algebraicas:
a) =( )( )
=
b) = =
Para simplificar una fracción algebraica se factorizan

(si es posible) el numerador y denominador, y luego
se simplifican los factores comunes.
LT 43
41
Contenido
5 Multiplicación de fracciones algebraicas
Contenido 5: Multiplicación de fracciones algebraicas
Multiplica fracciones algebraicas cuyos
numeradores y denominadores son Efectúe los productos indicados:
x 2 4y
2
x 2 + 3x x - 2
monomios o polinomios. a) $
8y 3 x
b) x-2 $ x+3
Secuencia:
En la clase anterior se estudió la simplificación x 2 4y
2
x$x$4$y$y
a) Se multiplican los numeradores y denominadores y se descomponen
de fracciones algebraicas cuyos numeradores $
8y 3 x
=
8$y$y$y$x
x2, 4y2 y 8y3 en productos de números y variables
y denominadores son polinomios. Ahora 1
4$ x$x$ y$ y
se estudia la multiplicación de fracciones =
8$ x$ y$ y$y
2
algebraicas, la cual generaliza la ya aprendida x

Se simplifica
multiplicación de fracciones numéricas.
=
2y
x 2 + 3x x - 2 x ] x + 3g^ x - 2h
b)
Puntos esenciales:
Se multiplican los numeradores y denominadores y se
x - 2 $ x + 3 = ^ x - 2h^ x + 3h
factoriza x2+3x
Recordar cómo se simplifican fracciones alge- x(x + 3)(x - 2)

braicas cuyos numeradores y denominadores =
(x - 2)(x + 3)
son monomios o en general polinomios. =x Se simplifica
Indicar que para efectuar la multiplicación

de fracciones algebraicas se multiplica
numerador por numerador y denominador por La multiplicación de fracciones algebraicas se efectúa de la forma siguiente:
denominador. 1. Si los numeradores y denominadores de cada fracción son monomios, entonces se
multiplican los numeradores y denominadores, se descomponen las potencias en
Explicar cada uno de los pasos que se siguen variables, se simplifican estas y los coeficientes hasta obtener una expresión reducida.
para efectuar la multiplicación de fracciones 2. Si los numeradores y denominadores de cada fracción son polinomios, entonces se
algebraicas. factorizan, se multiplican y se eliminan los factores comunes, dando lugar a una nueva
fracción.
Notar que la fracción algebraica resultante
debe estar reducida. Efectúe los siguientes productos indicados:
x 3 9y 4x 3 3y
2 3
a) $ b) 5y $
6y 3 x 2x 2
x 2 + 2x x + 1 x 2 + 3x + 2 x - 3
c) x+1 $ x+2 d) x-3 $ x+2
x2 - 1 x + 2
e) $
x 2 + 2x x - 1
44
C5: Multiplicación de fracciones algebraicas 4 3 4 3

b) =
Efectúe los productos indicados: 5 2 5 2
4 4 4 4 3 6
a)
a) = = == =
8 8 8 5
=
2 +2 +1 ( + 2)( + 1)
c) =
+3 2 ( + 3)( 2) +1 +2 ( + 1)( + 2)
b)
b)
2 +3
=
( 2)( + 3)
( + 3)( 2)
= = +3 +2 3 ( + 1)( + 2)( 3)
( 2)( + 3) d) =
3 +2 ( 3)( + 2)
Explicar el procedimiento para simplificar fracciones algebraicas
= +1
Efectúe los productos indicados:
9 9 1 + 2 ( + 1)( 1)( + 2)
a)
a) = e) +2 1
=
( + 2)( 1)
6 6
9 3 +1
= =
6 2
42 LT 44
Contenido
6 División de fracciones algebraicas
Contenido 6: División de fracciones algebraicas
Divide fracciones algebraicas cuyos
Efectúe las siguientes divisiones indicadas: numeradores y denominadores son
2x 2 4x x2 - 1 x + 1
monomios o polinomios.
a) 3y ' 2 b) x - 3 ' x - 3
3y
Secuencia:
En la clase anterior se multiplicaron fracciones
2x 2 3y algebraicas. Ahora se estudia la división de
2
2x 2 4x
a) 3y ' 2 = 3y $ 4x
3y A C
1
2$ x$x 3$ y$y
Si
B
y
D
son fracciones fracciones algebraicas, cuyo procedimiento
=
3$y $ 4$x
2
algebraicas, entonces requiere de la ya estudiada multiplicación.
xy A'C A D
=
2 = $
B D B C
x2 - 1 x + 1 x2 - 1 x - 3
Puntos esenciales:
b) x - 3 ' x - 3 = x - 3 $ x + 1
Notar que al igual que la división de
(x + 1) ] x - 1g x - 3 fracciones numéricas, la división de fracciones
=
x-3 $ x+1
algebraicas, se convierte en una multiplicación.
= x-1
Recordar cómo se multiplican fracciones
algebraicas.
La división de fracciones algebraicas se efectúa de la forma siguiente: Explicar cada uno de los pasos que se
1. Si el numerador y el denominador de cada fracción son monomios, entonces se escribe la siguen para efectuar la división de fracciones
primera fracción, se cambia el signo de división por el de multiplicación, se intercambian
el numerador y el denominador de la segunda fracción y se procede a realizar la algebraicas.
multiplicación, simplificando coeficientes y variables.
2. Si el numerador y denominador de cada fracción son polinomios, se realiza el mismo Insistir en la correcta aplicación de la
procedimiento anterior, con la diferencia que se deben factorizar los polinomios para factorización de polinomios.
luego simplificar factores comunes.
Destacar que la fracción algebraica resultante
debe estar reducida.
Efectúe las siguientes divisiones indicadas:
9m 2 ' 3m x2 - 4 ' x - 2
a) b) x+1 x+1
4n 3 2n 2
3a 2 15a x + 1 x 2 + 3x + 2
c) 4mn ' 2m d) x + 2 ' x+2
x-y x-y x+2 ' x+2
e) x + y ' 2 f)
x - y2 x 2 + 4x + 3 x + 3
45
C6: División de fracciones algebraicas

2 4 2 3 2 3.
a) ÷ = =
3 3 3 4 3 4
=
2
1 +1 1 3
b) ÷ =
3 3 3 +1
( + 1)( 1) 3
=
3 +1
= 1
LT 45
43
Contenido
7 Operaciones combinadas con fracciones algebraicas
Contenido 7: Operaciones combinadas con fracciones algebraicas
Efectúa operaciones combinadas
(multiplicación y división) de fracciones Efectúe las siguientes operaciones indicadas: Operaciones combinadas de
algebraicas. x 2x
2
2x
2 3
x + 2 x + 3x + 2 x + 1
2
a) 3y $ y ' 9y b) x - 2 ' x-2 $ x+3 A ' C E A D E ADE
$ = $ $ =
Secuencia:
B D F B C F BCF
Estudiadas la multiplicación y división de x 2 2x 2 2x 3

a) 3y $ y ' 9y Se cambia el signo ' por $ y se intercambia el numerador y
fracciones algebraicas, ahora se efectúan denominador de 2x
3
9y
operaciones combinadas de multiplicaciones y =
x 2 2x 2 9y
3y $ y $ 2x 3
divisiones de fracciones algebraicas. 3
x$ x 2$ x$x 9$y
=
3$y $ y $ 2$x$x$x
Puntos esenciales: =
3x
y
Recordar cómo se multiplican y dividen x + 2 x 2 + 3x + 2 x + 1 x+2 x-2 x+1
b) x - 2 '
fracciones algebraicas. x-2 $ x+3 = x-2 $ 2 $
x + 3x + 2 x + 3 Se cambia el signo ' por $ y
se intercambia el numerador y
Explicar los pasos que se siguen para efectuar x+2
= x-2 $
x-2 x+1 2
denominador de x + 3x + 2 .
] x + 1g] x + 2g $ x + 3 x-2
operaciones combinadas de multiplicación y
división de fracciones algebraicas. =
Aplicar dichos pasos al efectuar operaciones

combinadas de multiplicaciones y divisiones Las operaciones combinadas (multiplicación y división) con fracciones algebraicas se
de fracciones algebraicas. efectúan de la forma siguiente:
1. Si los numeradores y denominadores de cada fracción son monomios, entonces se
Insistir en la aplicación correcta del orden cambia el signo de división por multiplicación y se invierten los términos de la fracción que
divide, luego se simplifican los coeficientes y se descomponen las variables en producto
para efectuar las operaciones (de izquierda a y se simplifican una a una.
derecha). 2. Si los numeradores y denominadores de cada fracción son polinomios, entonces se
realiza el mismo procedimiento anterior, con la diferencia que se deben factorizar los
polinomios para luego simplificar factores comunes.
Efectúe las siguientes operaciones indicadas:
3x 3 2y ' 3x 2 x+1 x+1 x-5

a) $ 4y b) x + 2 ' 2 $ x+3
2y 2 x 2 x + 5x + 6
3x ' 3x 2 3y a+b ' a+b a-b
c) 4y $ 2x d) 2 $ a+1
2y 2 a - b 2 a 2 + 2a + 1
m-3 m+1 ' m+1 5x 10x 4y
e) m - 1 $ 2 f) 3y ' 9y $ 2
m -m-6 m+2 3x
46
C7: Operaciones combinadas con Efectúe las siguientes operaciones indicadas:

Efectúe las siguientes operaciones
indicadas:
a) ÷ =
9 3
= = =
3
1
b) ÷
( )
=
( )( )
1
=
A C E A D E ADE
÷ = =
B D F B C F BCF
Leer en el libro de texto el procedimiento para resolver
operaciones combinadas.
44 LT 46
Contenido
1 Adición de fracciones algebraicas con igual denominador
Sección 2: Adición y sustracción de fracciones algebraicas Aprendizajes esperados
Contenido 1: Adición de fracciones algebraicas con igual denominador Efectúa la suma de fracciones algebraicas
con igual denominador
Efectúe las siguientes sumas:
Adición de fracciones algebraicas
3 2 2x 2 con mismo denominador.
a) x + x b) x + 1 + x + 1
A + C A+C Secuencia:
=
x+1 x+2 B B B
c) x + 3 + x + 3 En la clase anterior se efectuaron operaciones
combinadas de multiplicaciones y divisiones
3 2 3+2
de fracciones algebraicas. Ahora se estudia
a) x + x = x Se escribe el mismo denominador x y se suman los numeradores
la adición de fracciones algebraicas con
5
= x iguales denominadores, posteriormente
cuando tienen distintos denominadores.
2x 2 2x + 2
b) x + 1 + x + 1 = x + 1 Se escribe el mismo denominador x+1 y se suman los numeradores
2] x + 1g Puntos esenciales:
=
x + 1 = 2 Se factoriza 2x+2 y se simplifica
x+1 x+2
c) x + 3 + x + 3 =
x+1+x+2
x+3 Se escribe el mismo denominador x+3 y se suman los numeradores algebraicas.
= Se suman términos semejantes Destacar que la suma de fracciones
algebraicas con iguales denominadores se
efectúa de la misma manera que la suma de
La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica números fraccionarios de igual denominador
con la siguiente regla de formación: estudiada en séptimo grado.
1. Su numerador es la suma de los numeradores de las dos fracciones dadas y su
denominador es el mismo de las fracciones que se suman.
2. En la fracción algebraica resultante se factoriza el numerador y el denominador, si ese es
el caso y se simplifica. efectuar sumas de fracciones algebraicas
con iguales denominadores.
2 7 2y 4
a) a + a b) y + 2 + y + 2
debe estar reducida.
x+2 5-x 4 5
c) 4x - 5 + 4x - 5 d) +
3b 3 b
3x 9 x+1 3x + 5
e) x + 3 + x + 3 f) 2x + 3 + 2x + 3
x+4 x+1
g) x - 3 + x - 3
48
S2: Adición y sustracción de fracciones

algebraicas
C1: Adición de fracciones algebraicas con igual
denominador
Efectúe las siguientes sumas: + =
3 2 3+2 5
a) + = =
2 2( )
b) + = = =2
c) +1+ +2
+ = =
a)
LT 48
45
Contenido
2 Sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador
Sección 2: Adicción y sustracción de fracciones algebraicas
Contenido 2: Sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador
Efectúa la resta de fracciones algebraicas
Efectúe las siguientes sustracciones:
con igual denominador. Sustracción de fracciones
3 2 2x 2
a) - b) x - 1 - x - 1 con igual denominador.
b b
Secuencia: 2x + 1 x + 3
c) x - 2 - x - 2
A - C A-C
B B
=
B
En la clase anterior se efectuaron sumas de
fracciones algebraicas de igual denominador.
Ahora se estudia la sustracción de fracciones 3 2 3-2
a) b - b = b Se escribe el mismo denominador b y se restan los numeradores
algebraicas con iguales denominadores. =

1
b
2x 2 2x - 2
b) x - 1 - x - 1 = x - 1 Se escribe el mismo denominador x-1 y se restan los numeradores
Puntos esenciales: 2] x - 1g
= x-1 Se factoriza 2x-2
=2
algebraicas.
2x + 1 - ^ x + 3 h
c) 2x + 1 - x + 3 =
Destacar que la resta de fracciones algebraicas x-2 x-2 x-2
Se restan los numeradores y se escribe el mismo denominador
2x + 1 - x - 3 x-2
con iguales denominadores se efectúa de la = x-2 = x-2 Se reducen términos semejantes
misma manera que la resta de fracciones de =1
iguales denominadores estudiada en séptimo

grado. La sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador es otra fracción algebraica
con la siguiente regla de formación:
Explicar los pasos que se siguen para efectuar 1. Su numerador es la resta de los numeradores de las fracciones dadas y su denominador
restas de fracciones algebraicas con iguales es el mismo de las fracciones que se restan.
2. En la fracción algebraica resultante se factoriza el numerador y denominador, si es el
denominadores. caso, y se simplifica.

debe estar reducida. Efectúe las siguientes sustracciones:
4 2 2 5
Insistir en que el numerador se forma con la a) 3x - 3x b) -
3b 3 b
resta de los numeradores de la fracción, por lo 3x 9 2y 4
c) x - 3 - x - 3 d) y - 2 - y - 2
cual, siempre que el minuendo tenga más de
x + 1 3x - 5 2x + 3 x + 1
un término, debe escribirse entre paréntesis. e) x - 3 - x - 3 f) x+2 - x+2
2b + 1 b - 2
g) -
b+3 b+3
49
C2: Sustracción de fracciones algebraicas

con igual denominador
Efectúe las siguientes A C
sustracciones: B B
=
B
3 2 1
a) = =
2 2( )
b) = = =2
( )
c) =
= = =1
Efectúe las siguientes sustracciones:
46 LT 49
Contenido
3 Mínimo común múltiplo de números naturales
Contenido 3: Mínimo común múltiplo de números naturales
Calcula el mínimo común múltiplo de
Determine el m.c.m. de 12 y 18. m.c.m. (a, b): mínimo común múltiplo de a y b. números naturales.
Secuencia:
Para encontrar el m.c.m. de 12 y 18 se procede así: En las clases anteriores se efectuaron
Recuerde m.c.m por definición.
Paso 1: Se descomponen en factores primos 12 y 18.
Múltiplos de: sumas y restas de fracciones algebraicas de
12 2 18 2 12: 12, 24, 36, 48, … iguales denominadores. Ahora para sumar o
6 2 9 3 18: 18, 36, 54, … restar fracciones algebraicas con diferentes
3 3 3 3 El m.c.m. (12, 18) = 36
denominadores se requiere del cálculo del
1 1 mínimo común múltiplo (m.c.m.), razón por la
Paso 2: Se escribe 12 y 18 como el producto de sus factores primos, y se multiplican los
cual en esta clase se recuerda cómo se calcula
comunes y no comunes. el m.c.m. de dos o más números naturales.
12 = ^2h]2g^3h
18 = ^2h^3h]3g
^2h]2g^3h]3g
Puntos esenciales:
Paso 3: El m.c.m. de 12 y 18 es el producto anterior: Recordar:
m.c.m. (12, 18) = (2)(2)(3)(3) = 36 { Cuándo un número es primo.
{ Qué es el m.c.m.
Para encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales se { Cómo se calcula el m.c.m. de dos o más
procede de la forma siguiente:
números naturales.
1. Se descomponen los números en sus factores primos.
2. Se multiplican los factores comunes y no comunes de los números dados, los comunes Explicar los pasos que se siguen para calcular
se toman de la descomposición en la que tengan mayor repetición, tantas veces como el m.c.m. de dos o más números naturales.
aparezcan en esta.
Encuentre el m.c.m. de las siguientes parejas de números:
a) 4 y 12 b) 5 y 15
c) 10 y 12 d) 6 y 15
e) 8 y 12 f) 20 y 12
50
C3: Mínimo común múltiplo de números naturales

b)
Determine el . . de 12 y 18 . . ( , ):
Mínimo común
1. 12 2 18 2 múltiplo de y .
6 2 9 3
3 3 3 3 Se descomponen en factores
1 1 primos 12 y 18.
c)
2. 12 = (2) (2) (3)
18 = (2) (3) (3)
(2) (2) (3) (3) Producto de comunes y
no comunes
3. . . . (12, 18) = (2)(2)(3)(3) = 36
Determine el . . :
a) 4 y 12
4 2 12 2 4 = (2)(2)
2 2 6 2 12 = (2)(2)(3)
LT 50
47
Contenido
4 Adición y sustracción de números fraccionarios con denominadores distintos
Sección 2: Adicción y sustracción de fracciones algebraicas
Aprendizajes esperados Contenido 4: Adición y sustracción de números fraccionarios con

Efectúa la suma y resta de números denominadores distintos
fraccionarios con distintos denominadores. Efectúe las siguientes operaciones indicadas: Recuerde que:
2 1 5 1 Para la adición y sustracción de
a) 3 + 5 b) 6 - 2
fracciones, se busca primero el
Secuencia: m.c.m. de los denominadores.
En la clase anterior se recordó cómo se

calcula el m.c.m. de dos o más números a) El m.c.m. de 3 y 5 es (3)(5)=15
naturales. Ahora se aplica dicho cálculo 2 1 ^2h^5h ^1 h^3h
Se divide 15 por los denominadores 3 y 5 y cada resultado se multiplica
para efectuar sumas y restas de números 3 + 5 = ]3g^5h + ]5g^3h
por el numerador y denominador de la fracción correspondiente
fraccionarios con distintos denominadores. 10 3
= 15 + 15
10 + 3
Puntos esenciales: = 15 Se suman los numeradores y se escribe el denominador 15
Recordar los pasos que se siguen para 13

= 15
calcular el m.c.m. de dos o más números b) El m.c.m. de 6 y 2 es 6

naturales. 5 1 5 ^1 h^3h
Se divide 6 por los denominadores 6 y 2 y cada resultado se multiplica
6 - 2 = 6 - ]2g^3h
Explicar los pasos que se siguen para efectuar por el numerador y denominador de la fracción correspondiente.
sumas y restas de números fraccionarios con =

5 3
6-6
distintos denominadores. 5-3
= 6 Se restan fracciones con igual denominador
Destacar que el hecho de trabajar con el 2

1
m.c.m. de los denominadores conduce a

= 6
3
obtener números fraccionarios con iguales = 1

3
denominadores.
Para sumar o restar números fraccionarios con denominadores distintos se procede así:
Efectuar sumas y restas de números 1. Se encuentra el m.c.m. de los denominadores.
fraccionarios con distintos denominadores. 2. Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fracción y cada resultado se multiplica por
el numerador y denominador de la fracción correspondiente.
Destacar que la fracción resultante debe 3. Se efectúan las operaciones indicadas obtenidas en el paso 2 y se simplifica el resultado,
si es posible.
estar reducida.
3 1 8 1 5 1
a) 4 + 3 b) 5 - 10 c) 2 + 3
4 2 6 1 3 1 1
d) 9 + 3 e) 5 - 2 f) 8 + 4 - 2
51
C4: Adición y sustracción de números

fraccionarios con denomicadores distintos
a) 2 + 1 = (2)(5) + (1)(3)
3 5 (3)(5) (5)(3)
10 3 13
= + =
15 15 15
5 1 5 (1)(3) 5 3
b) = = =
6 2 6 (2)(3) 6 6 6
2 1
=
6 3

3 1 (3)(3) (1)(4) 9 4
a) + = + = +
4 3 (4)(3) (3)(4) 12 12
48 LT 51
Contenido
5 Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
Contenido 5: Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
Determina el mínimo común múltiplo de
Determine el m.c.m. de las expresiones algebraicas: expresiones algebraicas.
a) 2ab2, 3a2 b) a2-9, a2-6a+9
Secuencia:
a) 2ab2 = 2 Âa ÂbÂb Se descomponen 2ab2 y 3a2 En la tercera clase de esta sección se calculó
3a =
2
3 Â aÂa
el m.c.m. de números naturales. Ahora se
m.c.m. = (2)(3) Â a Â a Â b Â b Se eligen y multiplican los factores comunes y no comunes
calcula el m.c.m. de expresiones algebraicas.
m.c.m. = 6a2b2
Puntos esenciales:
b) a2-9 = (a+3)(a-3)
a2-6a+9 = (a-3)(a-3)
Recordar cómo se calcula el m.c.m. de dos o
m.c.m. = (a+3)(a-3)(a-3)
más números naturales.
m.c.m. = (a+3)(a-3)2 Resaltar que los pasos que se siguen para
calcular el m.c.m. de expresiones algebraicas
son los mismos que se siguen para calcular
Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas: el m.c.m. de dos o más números naturales,
1. Se descomponen las expresiones en sus factores, si los tiene.
teniendo en cuenta que las potencias de
2. Se multiplican los factores comunes y no comunes; los comunes se toman de la
descomposición en la que tengan mayor repetición, tantas veces como aparezcan en variables deben descomponerse.
esta.
Explicar cada uno de estos pasos.
Indicar que el m.c.m. de expresiones
Determine el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas:
algebraicas se dejará indicado como un
a) 10x2y, 6x2y2 producto.
b) x2-4, x2+3x+2
c) 6x2 y, 18xy3
d) x2+4x+3, x 2- x - 2
e) x2+3x, x2+5x+6, x 2- 9
52
C5: Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas b)

Determine el de: = ( ) ( )
= ( )( )
: ( )( )( )
a) = 2 c)
= 3 = (2)(3)
: 3 = = (2)(3)(3)
: (2)(3)(3) =
b) = ( )
= d)
: =( ) ( ) = ( )( )
= ( )( )
Leer en el libro de texto. : ( )( )( )
Determinar el de: e)
a) = ( )
= (2) (5) = ( )( )
= (2)(3) = ( ) ( )
: (2)(3)(5) = : ( )( )( )
LT 52
49
Contenido
Adición y sustracción de fracciones algebraicas cuyos denominadores son
6 monomios diferentes Sección 2: Adicción y sustracción de fracciones algebraicas
Contenido 6: Adición y sustracción de fracciones algebraicas cuyos
Efectúa suma y resta de fracciones denominadores son monomios diferentes
algebraicas con diferentes denominadores
monómicos. Efectúe las siguientes operaciones indicadas: m.c.m de 3x2 y 2x
3x2 = (3) ∙ x ∙ x
Secuencia: a)
2
+
3
3x 2 2 x
4 5
b) x - 2x 2x = (2) ∙ x
m.c.m. (2) (3) ∙ x ∙ x
En clases anteriores se calculó el m.c.m. = 6x2
de fracciones algebraicas y se sumaron
y restaron fraccionarios. Ahora estos a) El m.c.m. de 3x2 y 2x es 3x2 (2)=6x2
contenidos se utilizan para efectuar sumas 2
+
3 ^2h^2h ^3h^3xh
Se divide el m.c.m. 6x2 por los denominadores 3x2 y 2x y
3x 2 2x = ^3x 2h^2h + ^2xh^3xh
y restas de fracciones algebraicas cuyos cada resultado se multiplica por el numerador y
denominadores son diferentes monomios. denominador de la fracción correspondiente

4 9x
= +
6x 2 6x 2
Recordar:
b) El m.c.m. de x y 2x es 2x
{ Cómo se calcula el m.c.m. de expresiones 4 5 ^4h^2h 5
algebraicas. x - 2x = ^ xh^2h - 2x Se divide el m.c.m. 2x por los denominadores x y 2x y cada
resultado se multiplica por el numerador y denominador de la
{ La simplificación de fracciones algebrai- fracción correspondiente.

8 5 8-5
cas cuyo numerador y denominador son =
2x - 2 x = 2x
monomios. =
{ La suma y resta de fracciones algebraicas

con el mismo denominador. Para sumar o restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores que son monomios
se procede de la forma siguiente:
Notar que los pasos que se siguen para 1. Se obtiene el m.c.m. de los denominadores.
efectuar sumas y restas de fracciones 2. Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fracción y cada resultado se multiplica por
el numerador y denominador de la fracción correspondiente.
algebraicas cuyos denominadores son 3. Se efectúa la suma o sustracción indicada de fracciones algebraicas obtenidas en el paso
diferentes monomios son los mismos que 2 utilizando la suma o resta con igual denominador y se simplifica la fracción resultante,
si es posible.
se siguen para efectuar sumas y restas
de números fraccionarios con distintos
Efectúe las operaciones indicadas:
denominadores. 1 3 5 4 3 2
a) + b) y - 3y c) +
3x 2 4x 4b 5a
Explicar cada uno de estos pasos. d)
1
-
3
e)
5
+
1 3
f) 10a -
1
6 x 2 4x 4b 12b 2 2a 2
Explicar la conversión de las fracciones dadas 53
a fracciones con el mismo denominador.
C6: Adición y sustracción de fracciones algebraicas

cuyos denominadores son monomios diferentes
= (3)
(2)
2 3 (2)(2) (3)( )
a) + = + (2)(3)
( )(2) ( )( )
4
= + =
4 5 (4)(2) 5 8 5
b) = =
( )(2)
3
= =
Efectúe:
50 LT 53
Adición de fracciones algebraicas cuyos denominadores son polinomios
Contenido
7Unidaddiferentes
3: Fracciones Algebraicas
Contenido 7: Adición de fracciones algebraicas cuyos denominadores
son polinomios diferentes Efectúa sumas de fracciones algebraicas
con diferentes denominadores polinómicos.
Efectúe las sumas indicadas:
3 2 5 2
a) x - 1 + x + 1 b)
Secuencia:
+
x2 - 4 x + 2
En la clase anterior se efectuaron sumas

3 2
a) x - 1 + x + 1
5 2
b) x 2 - 4 + x + 2 y restas de fracciones algebraicas cuyos
denominadores eran diferentes monomios.
^3h^ x + 1h ^2h^ x - 1h 5 2
= +
] x - 1g^ x + 1h ^ x + 1h^ x - 1h
= +
] x + 2g^ x - 2h ^ x + 2h Ahora se estudia la adición de fracciones
3x + 3 2x - 2 5 ^2h] x - 2g
algebraicas cuyos denominadores son
= +
] x - 1g^ x + 1h ^ x - 1h^ x + 1h
=
^ x + 2h^ x - 2h
+
] x + 2g^ x - 2h diferentes polinomios.
3x + 3 + 2x - 2 5 2x - 4
= = +
] x - 1g^ x + 1h ] x - 2g^ x + 2h ] x + 2g^ x - 2h
Puntos esenciales:
5x + 1 5 + 2x - 4
=
] x - 1g^ x + 1h
=
] x - 2g^ x + 2h Recordar cómo se calcula el m.c.m. de
expresiones algebraicas.
=
2x + 1
] x - 2g^ x + 2h
Explicar cada uno de los pasos que se
siguen para efectuar sumas de fracciones
Para sumar fracciones algebraicas con diferentes denominadores que son polinomios se
procede de la forma siguiente: algebraicas cuyos denominadores son
1. Se encuentra el m.c.m. de los denominadores. diferentes polinomios
2. Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fracción, y cada resultado se multiplica
por el numerador y el denominador de la fracción correspondiente, resultando fracciones Efectuar sumas de fracciones algebraicas
con el mismo denominador.
3. Se efectúa la operación obtenida en el paso 2 aplicando la regla de la adición de fracciones cuyos denominadores son diferentes
algebraicas con denominadores iguales y se simplifica la fracción resultante, si es posible. polinomios.
Aplicar correctamente la reducción de
Efectúe las siguientes sumas indicadas:
términos semejantes en el numerador de la
fracción resultante.
4 1 1 2
a) x + 2 + x + 1 b) x + 1 + x - 2
4 3 3 3
c) + d) +
x2 - 1 x - 1 x 2 + 3x + 2 x + 1
54
C7: Adición de fracciones algebraicas cuyos Calcule:

denominadores son polinomios diferentes
Efectúe las sumas indicadas: a) 4 1 (4)( ) (1)( )
+ = +
( )( ) ( )( )
3 2 (3)( ) (2)( )
a)
a) + = +
( )( ) ( )( ) = + =
( )( ) ( )( ) ( )( )
= + =
( )( )
= = b) 1
+
2
=
(1)( )
+
(2)( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
5 2 5 2
b)
b) + = + =
( )( )
+
( )( )
=
( )( )
( )( ) ( )
5 (2)( ) =
= + ( )( )
( )( ) ( )( )
5 c) 4
+
3
=
4
+
(3)( )
= + ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
4
5+2 = + =
( )( ) ( )( ) ( )( )
= =
( )( ) ( )( )
LT 54
51
Contenido
Sustracción de fracciones algebraicas cuyos denominadores son polinomios
8 diferentes Sección 2: Adicción y sustracción de fracciones algebraicas
Efectúa sustracciones de fracciones Contenido 8: Sustracción de fracciones algebraicas cuyos
algebraicas con diferentes denominadores
polinómicos. Efectúe las siguientes sustracciones indicadas:
a) 4 - 1 b) 21 - 2
Secuencia: x-1 x+1 x -1 x-1
En la clase anterior se efectuaron sumas

de fracciones algebraicas cuyos denomina-
dores eran diferentes polinomios. Ahora se a)
4 1
b)
1 2
x-1 - x+1 -
x2 - 1 x - 1
estudia la sustracción de fracciones alge- 4 ^ x + 1h ] x - 1g 1 2
braicas cuyos denominadores son diferentes = -
] x - 1g^ x + 1h ] x + 1g^ x - 1h
= -
] x + 1g^ x - 1h ^ x - 1h
polinomios. =
4x + 4
-
x-1
=
1
-
2 ^ x + 1h
] x + 1g^ x - 1h ] x + 1g^ x - 1h ] x + 1g^ x - 1h ^ x - 1h^ x + 1h
4x + 4 - ^ x - 1 h 1 2x + 2
] x + 1g^ x - 1h
=
^ x + 1h^ x - 1h
-
] x + 1g^ x - 1h
Recordar cómo se calcula el m.c.m. de =

4x + 4 - x + 1
] x + 1g^ x - 1h
=
1 - ^2 x + 2 h
] x + 1g^ x - 1h
expresiones algebraicas. 1 - 2x - 2
= =
] x + 1g^ x - 1h
Explicar cada uno de los pasos que se - 2x - 1
siguen para efectuar restas de fracciones =
] x + 1g] x - 1g
algebraicas cuyos denominadores son

diferentes monomios La sustracción de fracciones algebraicas con diferentes denominadores que son polinomios
se efectúa así:
Efectuar restas de fracciones algebraicas 1. Se encuentra el m.c.m. de los denominadores.
cuyos denominadores son diferentes polino- 2. Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fracción y cada resultado se multiplica por
el numerador y denominador de la fracción correspondiente, obteniéndose fracciones con
mios. igual denominador.
Aplicar correctamente la simplificación de 3. Se efectúa la sustracción obtenida en el paso 2 utilizando la sustracción de fracciones
con igual denominador y se simplifica, si es posible.
expresiones algebraicas en las que se tiene
paréntesis (en este caso en el numerador re-
sultante). Efectúe las siguientes sustracciones indicadas:
a) 4 1 b) 1 2
x-2 - x+2 x+1 - x-2
c) 4 3 d) 3 3
- -
x2 - 9 x - 3 x 2 + 3x + 2 x + 2
55
C8: Sustracción de fracciones algebraicas cuyos

Efectúe las siguientes sustracciones indicadas:
4 1 4( ) ( )
a)
4 1 4( ) ( ) a) =
( )( ) ( )( )
=
( )( ) ( )( )
= =
= = ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
= =
= = ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
4 3 4 3
1 2 1 2 c) =
b) = ( )( ) ( )
( )( ) ( )
4 3( )
1 2( ) =
= ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1
4
= = = =
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
= = = =
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
52 LT 55
Adición y sustracción de fracciones algebraicas combinadas cuyos
Contenido
9
Unidad denominadores
3: Fracciones Algebraicas son diferentes
Contenido 9: Adición y sustracción de fracciones algebraicas Aprendizajes esperados
combinadas cuyos denominadores son diferentes Efectúa operaciones combinadas (adición y
Efectúe las siguientes operaciones indicadas: sustracción) de fracciones algebraicas con
1 3
a) 3x + 2x - x
1
b) 2
2x + 3
-
2
+
x -1 x-1 x+1
2 distintos denominadores.
Secuencia:
1 3 1 ^1 h (2) ^3h^3h ^1 h^6h 2 9 6
a) 3x + 2x - x = + -
]3xg^2h ]2xg^3h ] xg^6h
=
6x + 6x - 6x Estudiadas la adición y sustracción de
2+9-6 5 fracciones algebraicas con diferentes
= =
6x 6x denominadores. Ahora se efectúan
2x + 3 2 2
b) x 2 - 1 - x - 1 + x + 1 =
2x + 3
-
2
+
2
] x + 1g^ x - 1h ^ x - 1h ^ x + 1h
operaciones combinadas de estas.
2x + 3 2 ] x + 1g 2 ] x - 1g
= - +
] x + 1g^ x - 1h ] x - 1g^ x + 1h ] x + 1g^ x - 1h Puntos esenciales:
=
2x + 3
-
2x + 2
+
2x - 2
] x + 1g^ x - 1h ^ x + 1h] x - 1g ^ x + 1h] x - 1g
Recordar cómo:
=
2x + 3 - ^ 2x + 2 h + 2x - 2 { Se calcula el m.c.m. de expresiones
] x + 1g^ x - 1h
algebraicas.
2x + 3 - 2x - 2 + 2x - 2
=
] x + 1g^ x - 1h { Se suman y restan fracciones algebraicas
= de diferentes denominadores.
Explicar cada uno de los pasos que se siguen
La adición y sustracción de fracciones algebraicas combinadas con distinto denominador se
para efectuar operaciones combinadas de
efectúa así: sumas y restas de fracciones algebraicas.
1. Se encuentra el m.c.m. de los denominadores.
2. Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fracción, y cada resultado se multiplica Efectuar operaciones combinadas de sumas
por el numerador y denominador de la fracción correspondiente, resultando fracciones y restas de fracciones algebraicas.
con el mismo denominador.
3. Se efectúan las adiciones y sustracciones obtenidas en el paso 2 con la regla de la
adición y sustracción de fracciones con denominadores iguales y se simplifica la fracción
resultante, si es posible.

2 2 5 2 1 3 3 2 4
a) 3y + y - 6y b) 3x - 2 + c) - +
x 2x 2 x2 - 4 x - 2 x + 2
2 2 2 2 2 3
d) x + 1 - x - 1 + 2 e) + -
x -1 a 2 - a - 30 a + 5 a - 6
56
C9: Adición y sustracción de fracciones algebraicas

combinadas con diferentes denominadores a)
1 3 1 (1)(2) (3)(3) (1)(6)
a) + = +
( )(2) ( )(3) ( )(6)
=
2
+
9 6
= =
5 c)
2 2
b) +
2( ) 2( )
= +
( )( ) ( )( ) ( )( )
= +
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
=
( )( )
= =
( )( ) ( )( )
LT 56
53
Unidad 3: Fracciones Algebraica
Nombre: _____________________________ Sección: __________

Prueba de Unidad 3 / 20
Sexo: M / F
1. Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: (2 puntos × 2 = 4)

x2 x+1
a) 3 b) 2
x x -1
2. Efectúe las siguientes operaciones: (2 puntos × 8 = 16)

x 2 4y
2
x2 - 1 x + 1
a) 3 $ x b) x - 3 ' x - 3
8y
x + 1 ' x 2 + 3x + 2 x + 1 3 2
c) x - 2 x-2 $ x + 3 d) x + x
54
2x 2 4 5
e) x - 1 - x - 1 f) x - 2x
1 2 4 1
g) x + 1 + x - 2 h) x - 2 - x + 2
Nombre: ________________________________
55
Unidad 4
7
Ecuaciones de Tercer Grado
Sección 1 División sintética
Sección 2 Teorema del residuo y

teorema del factor
Sección 3 Factorización de polinomios

de tercer grado y resolución de
ecuaciones de tercer grado
Unidad 4: Ecuaciones de Tercer Grado

Contenido
1 División con números enteros Unidad 4: Ecuaciones de Tercer Grado
Aprendizajes esperados Sección 1: División sintética

Aplica el algoritmo de la división entera. Contenido 1: División con números enteros
1 Efectúe la división (-25)÷5 y escriba el dividendo D = -25 en la forma D = dc, siendo

Secuencia: d = 5 y c el cociente de la división.
En esta clase se recuerda la división entera, 1

El resultado de la división (-25)÷5 es un número con el que se Sean
tanto exacta, como la expresión brindada por completa la siguiente igualdad D: Dividendo
d: Divisor
el algoritmo de la división. Esto está ligado, (5)( ) = -25.
c: Cociente
en primer lugar, a la identificación de los Como (5)(-5) = -25, se tiene (-25)÷5 = -5. D÷d = c
Nótese que siendo D = -25, d = 5 y c = -5, se puede escribir el siempre que
elementos de una división: dividendo, divisor, dividendo en la forma D = dc la cual es - 25 = (5) ^- 5h . D = dc.
cociente y residuo, que serán también
determinados en la división sintética, y, Dividir un número (dividendo) entre otro (divisor), de manera exacta, es hallar un número
(cociente) que multiplicado por el divisor dé el dividendo.
en segundo lugar, al uso de la expresión
análoga a la que se planteará en el algoritmo 1
Efectúe las siguientes divisiones. En cada caso escriba el dividendo en la forma D = dc,
de la división de polinomios. siendo d y c divisor y cociente, respectivamente.
a) (-35)÷7 b) (-25)÷(-5) c) 84÷21 d) (78)÷(-3)
Puntos esenciales: 2 Determine cociente y residuo en la división de 87 entre 7 y escriba el dividendo en la forma
D = dc+r, siendo d, c y r divisor, cociente y residuo, respectivamente.
Tener en cuenta los signos del dividendo y 2
La división de 87 entre 7 no es exacta porque no existe entero que multiplicado por 7 dé 87.
divisor al efectuar la división exacta. En cuyo caso se busca el mayor entero positivo c para el cual 7c < 87.
Para ello se efectúa D 87 7 d
Identificar y nombrar correctamente cada - 7 12
Cociente
uno de los elementos involucrados en la 17
En la división efectuada se tiene - 14
expresión D = dc + r , ya que se empleará 3 Residuo
constantemente en clases futuras. Dividendo: D = 87, Divisor: d = 7, Cociente: c = 12, Residuo: r = 3.
Se observa que (7)(12)+3 = 84+3 = 87, es decir, se puede escribir D en la forma
Aclarar en los procesos de división que el D = dc+r, la cual está dada por 87 = (7)(12)+3.
residuo será aquel que sea menor que el
divisor, o cero. No se debe agregar coma En la división, el dividendo es igual a la multiplicación del divisor por el cociente, más el
residuo.
decimal en el cociente, ya que no se busca
aplicar división real. 2
Efectúe las siguientes divisiones. En cada caso escriba el dividendo D en la forma
D = dc+r, siendo d, c y r divisor, cociente y residuo, respectivamente.
a) D = 97 entre d = 8 b) D = 57 entre d = 9
c) D = 334 entre d = 30 d) D = 225 entre d = 70
60
U4: Ecuaciones de tercer grado

S1: División sintética Determine cociente y residuo en la división de 87 entre
7 y escriba el dividendo en la forma forma
Sección 1: División sintética
C1: División con números enteros
Efectúe la división ( ) ÷ 5 y escriba el 87 7
dividendo en la forma con 12
17 Cociente
El resultado de la división es un número Residuo
que cumple 3
Y 87 = (7)(12) + 3
(5)( )
Como (5)( ) En la división entera, , 0≤ <
( )
Y,
( ) Efectúe las siguientes divisiones y escriba el dividendo
en la forma forma
En una división exacta, y .
a) entre b) entre
Efectúe las siguientes divisiones y escriba el 97 8 57 9
dividendo en la forma : 12 6
17
a) b) 3
(7)( ) ( ) 1
Así, ( ) Así, ( )
y y
58 LT 60
Sección 1: División sintética
Contenido
2 División de polinomio entre binomio
Sección 1: de
Divisiónla forma x±a
sintética
Contenido 2: División de polinomio entre binomio de la forma x±a
Aplica la división de polinomio entre binomio
Divida el polinomio 3x2+2x-8 entre el binomio x+3. de la forma x ! a .
2
Secuencia:
1 3x2+2x -8 x+3 3x
3x
Se divide 3x2 por x:
x
resultado bajo el divisor.
= 3x y se ubica el
En la clase anterior se abordó división de
números enteros, y en analogía a esta, en
Se multiplica 3x por x+3:
la presente clase se aborda la división de
2 3x2 + 2x -8 x+3
3x(x+3) = 3x2+9x polinomio entre binomio de la forma x ! a , en
-3x2 - 9x 3x
-7x -8
El resultado se resta al dividendo. la que se identifica dividendo, divisor, cociente
y residuo. La forma x ! a para los divisores,
- 7x
3 3x2 + 2x - 8 x+3 Se divide -7x entre x:
x
= -7. es la requerida en la división sintética, que se
-3x2 - 9x 3x-7
El resultado se ubica después de 3x. abordará en clases posteriores.
-7x - 8
Se repite el paso anterior con -7.
7x + 21
13
Puntos esenciales:
Se observa que al dividir 3x2+2x-8 entre x+3 se encontró el cociente 3x-7 con el grado
disminuido en 1 respecto al grado del dividendo y la constante 13 como residuo. Tener en cuenta lo siguiente al efectuar la
división de polinomios:
1. Suma o resta de números enteros y
La división de un polinomio ordenado de forma descendente entre un binomio de la forma
x±a se efectúa con los siguientes pasos: reducción de términos semejantes.
1. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo por x. 2. Ley distributiva.
2. El resultado del paso anterior se multiplica por el divisor, este producto se resta al polinomio
dividendo. 3. Multiplicaciones y divisiones de la forma:
3. Se continúan ejecutando los pasos 1. y 2., esta vez tomando el primer término del resultado x2
en el paso 2. para encontrar el siguiente término del cociente, hasta que el residuo sea x $ x y x , y sus coeficientes.
una constante (un número).
Comprender y aplicar correctamente los pasos
de la división, establecidos en la conclusión.
Efectúe las siguientes divisiones: Insistir en la identificación de cociente y residuo
a) x2-x-6 entre x+3 de la división, caracterizando este último como
b) 2x2-5x+7 entre x-4
una constante (por el tipo de divisor tratado).
61
C2: División de polinomio entre binomio

Efectúe las siguientes divisiones:
de la forma ±
a) entre
Divida entre
6
Cociente:
Residuo: 6
13
Cociente: b) entre
Residuo: 13
Leer en el libro de texto y confirmar

en la solución al problema los pasos
establecidos. 19
Cociente:
Residuo: 19
LT 61
59
Contenido División de polinomios de segundo grado entre binomios de la forma x±a,
3 utilizando división sintética Unidad 4: Ecuaciones de Tercer Grado
Contenido 3: División de polinomios de segundo grado entre binomios
Divide polinomios de segundo grado entre de la forma x±a, utilizando división sintética
binomios de la forma x ! a utilizando divi-
Encuentre el cociente Q (x) y el residuo R en la división de P (x) = x2+7x+12 entre
sión sintética. D (x) = x-4.
Secuencia: Se escriben los coeficientes del dividendo y se 1 7 12 4

En esta clase se continúa con la división de ubica 4 (opuesto de -4) a la derecha de estos.
Se baja el primer coeficiente: 1.
polinomios de segundo grado entre binomios 1
de la forma x ! a , pero esta vez, con un
método más simple conocido como división Ahora se multiplica 1 por 4. Se coloca el 4 1 7 12 4
sintética. resultante debajo del siguiente coeficiente 7 y
se suman: 7+4 = 11.
4
1 11
Puntos esenciales:
Se repite el procedimiento multiplicando 11 por 1 7 12 4
Aclarar que con la división sintética se 4 y se suma el resultado a 12. 4 44
pretende obtener cociente y residuo en la 1 11 56
división de polinomios, de modo que, debe
quedar clara la forma de obtener el cociente, El grado del cociente disminuye en 1 respecto al del
dividendo.
Coeficientes
del cociente
Residuo
y que el último número (de izquierda a Luego, cociente: Q (x) = x+11, residuo: R = 56.
derecha) es el residuo.
Insistir en la aplicación correcta de las ope- Para dividir un polinomio de segundo grado entre un binomio de primer grado de la forma x±a,
mediante división sintética, se siguen los pasos que se dan a continuación:
raciones entre números enteros, particu-
1. Se escriben los coeficientes del dividendo y a la derecha de estos el opuesto del término
larmente en el cuidado de los resultados al independiente del divisor.
sumar o multiplicar números, con iguales o 2. Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por el número ubicado en la casilla
diferentes signos. derecha. Este producto se suma con el segundo coeficiente. Se repite el procedimiento con
la suma obtenida.
Aclarar que si, al analizar todos los términos 3. El último de los números obtenidos es el residuo, mientras que los demás son los coeficientes
del dividendo, faltase uno, el coeficiente a del cociente, a los cuales se les acompañará de la parte literal para formar el cociente,
teniendo en cuenta que el grado de este disminuirá en 1 respecto al grado del dividendo.
tomar en este caso es cero.
Aclarar que este método de división es Encuentre en cada inciso el cociente y el residuo aplicando división sintética:
aplicable solo para aquellas divisiones en las a) x2-x-6 entre x-2 b) x2-3x+5 entre x-1 c) 2x2-x+2 entre x-3
que el divisor es de la forma x ! a . d) 2x2-x+1 entre x+4 e) x2-1 entre x+1 f) 12x2-5x entre x+2
62
C3: División de polinomios de segundo grado Encuentre en cada caso el cociente y el residuo
entre binomios de la forma , utilizando aplicando división sintética.
división sintética a) entre d) entre
Encuentre el cociente y residuo en la división 1 2
2 1
36
de ( ) entre ( ) 2 2
2 37
1 1
1 7 12 4 Cociente: Cociente:
4 44 Residuo: Residuo:
1 11 56 b) entre e) entre
1 5 1 1 0
Coeficientes del Residuo 1 1
cociente 1 3 1 0
Cociente y residuo Cociente: Cociente:
Residuo: 3 Residuo: 0
c) entre f) entre
Leer en el libro de texto y confirmar en la
2 2 3 12 0
solución al problema los pasos establecidos.
6 15 58
2 5 17 12 58
Cociente: Cociente:
Residuo: Residuo:
60 LT 62
Sección 2: Teorema del residuo y teorema del factor
División de polinomios de tercer grado entre binomios de la forma x±a, utilizando
Contenido
4 división sintética Sección 1: División sintética
Contenido 4: División de polinomios de tercer grado entre binomios de
la forma x±a, utilizando división sintética
Divide polinomios de tercer grado entre bi-
nomios de la forma x ! a utilizando división
Encuentre el cociente Q (x) y el residuo R al dividir P (x)=2x +9x +7x+6 entre
3 2
D (x) = x+1. sintética.
Se escriben los coeficientes del dividendo y -1 a

Secuencia:
2 9 7 6 -1
la derecha de estos. Se baja el primer coeficiente 2. En esta clase se da continuidad a la división
2 sintética: en la clase anterior los dividendos
Ahora se multiplica 2 por -1. Se coloca el resultado eran polinomios de segundo grado, esta vez
2 9 7 6 -1
debajo del siguiente coeficiente 9 y se suman:
-2 son de tercer grado. En el libro de texto, la
9+(-2) = 7.
2 7 división sintética es un paso fundamental que
Se repite el procedimiento anterior dos veces más 2 9 7 6 -1
se aplica en la factorización de polinomios
con las sumas resultantes. -2 -7 0 de tercer grado y resolución de ecuaciones
El grado del cociente disminuye en 1 respecto al 2 7 0 6 de tercer grado. En la clase siguiente será
del dividendo.
utilizada para la expresión que establece el
Luego, cociente: Q (x) = 2x2+7x, residuo: R = 6. Coeficientes Residuo
del cociente algoritmo de la división de polinomios.
Para dividir un polinomio de tercer grado entre un binomio de primer grado de la forma x±a, Puntos esenciales:
mediante división sintética, se siguen los mismos pasos aprendidos en el contenido anterior,
con la diferencia que se aplica un paso más porque el dividendo es de tercer grado. Insistir en la aplicación correcta de las
operaciones entre números enteros.
Ejemplo Encuentre el cociente y el residuo al dividir P (x) = 2x3-x2+1 entre D (x) = x-1.
Explicar que los pasos a seguir en este caso
Nótese que en P (x) = 2x3-x2+1 no aparece el término de primer grado, siendo su coeficiente son los mismos que los establecidos en la clase
igual a 0. Así, los coeficientes de P (x) son 2,-1, 0 y 1. Se aplica división sintética:
anterior, con la salvedad que las operaciones
2 -1
2
0
1
1
1
1
se deben aplicar una vez más.
2 1 1 2
Coeficientes del cociente Residuo
Insistir en que si, al analizar todos los términos
del dividendo, faltase uno, el coeficiente a
Luego, cociente: Q (x) = 2x2+x+1, residuo: R = 2.
tomar en este caso es cero.
Encuentre en cada inciso el cociente y el residuo aplicando división sintética:
a) x3+4x2-x-10 entre x-2
b) 4x3-3x2+11x-5 entre x+1
c) x3-3x2-6 entre x-2
63
C4: División de polinomios de tercer grado

entre binomios de la forma usando Encuentre el cociente y el residuo al dividir
división sintética
( ) + 1 entre ( )
Encuentre cociente y residuo en la 2 0 1 1

división de ( ) 2 1 1 Cociente:
entre ( )
2 1 1 2 Residuo: 2
2 9 7 6 Encuentre en cada inciso el cociente y el residuo

0 aplicando división sintética:
2 7 0 6
a) entre
1 4 2
Residuo Cociente:
Coeficientes del 2 12 22
Residuo: 12
cociente 1 6 11 12
Cociente y residuo b) entre
4 11
Leer en el libro de texto. 7 Cociente:
4 18 Residuo:
LT 63
61
Contenido
5 Algoritmo de la división de polinomios
Contenido 5: Algoritmo de la división de polinomios
Aplica el algoritmo de división de polinomios
para escribir el dividendo P ] xg en la forma Divida P (x) = x3+2x2-x+1 entre D (x) = x-2 y exprese el dividendo en la forma
P (x) = D (x) Q (x)+R , donde Q (x) y R son el cociente y residuo respectivamente.
P ^ xh = D ^ xh Q ^ xh + R .
Secuencia:
Se aplica división sintética.
Anteriormente se ha estudiado la división
1 2 -1 1 2
sintética, de manera que se puede identifi- 2 8 14
car dividendo, divisor, cociente y residuo. Sin 1 4 7 15
embargo, a como se estableció en la primera
Coeficientes del cociente Residuo
clase de la unidad, existe una relación entre
Resulta que, el cociente es Q (x) = x +4x+7 y el residuo R = 15.
2
todos los elementos de la división, esta es
P ^ xh = D ^ xh Q ^ xh + R . Esta será de utilidad Se prueba ahora que se cumple la igualdad D(x) Q(x):
en la verificación del Teorema del Factor y la P(x) = D(x) Q(x)+R x2 + 4x + 7
En efecto, #) x -2
factorización de polinomios de tercer grado, x3 + 4x2 + 7x
D(x) Q(x)+R = (x-2)(x2+4x+7)+15
tratados en secciones posteriores. - 2x2 - 8x-14
= x3+2x2-x-14+15 x3 + 2x2 - x-14
= x3+2x2-x+1 = P(x)
Puntos esenciales: Por la simetría de la igualdad que es enunciada a la derecha, se tiene
Explicar que la división sintética proporciona P(x) = D(x)Q(x)+R
el cociente y residuo de dicha división, los Es decir, Simetría de la igualdad:

x3+2x2-x+1 = (x-2)(x2+4x+7)+15 Si a = b, entonces b = a
cuales son utilizados para establecer el
algoritmo de la división de polinomios.
Recordar la consistencia de la multiplicación
En la división de polinomios, el dividendo P (x) es igual a la multiplicación del divisor D (x)
de polinomios, ya que será requerida en por el cociente Q (x), más el residuo R, es decir P (x) = D (x) Q (x)+R.
D ^ xh Q ^ xh + R .
Hacer notar que el propósito de enunciar la
Use división sintética para expresar cada dividendo en la forma P (x) = D (x) Q (x)+R, siendo
simetría de la igualdad es para justificar el Q (x) y R cocientes y residuos respectivos.
hecho que D ^ xh Q ^ xh + R = P ^ xh equivale a a) P (x) = x2+5x+2, D (x) = x-5
P ^ xh = D ^ xh Q ^ xh + R . b) P (x) = x3+6x2+3x-1, D (x) = x-2
c) P (x) = 3x3-x2+2x-1, D (x) = x-1
d) P (x) = x3-6x2-2x+5, D (x) = x+3
64
C5: Algoritmo de la división de polinomios

Use división sintética para expresar cada
Divida ( ) entre dividendo en la forma ( ) ( ) ( )
( ) y exprese el dividendo en
la forma ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( )
1 5 2 5
( )=
1 2 1 2 5 50
52
2 8 14 1 10 52
1 4 7 15 ( )=( )( ) + 52
Cociente: residuo b) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) + 15 1 6 3 2
( ) 2 16 38
37 1 8 19 37
( )
( )=( )( ) + 37
Luego,
( )( ) + 15
c) ( ) ( )
En la división de polinomios, el dividendo 3 -1 2 -1 1
se expresa como ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4
3 3 2 4 3
( )=( )( )+3
62 LT 64
Contenido
1 Valor numérico de un polinomio
Sección 2: Teorema del residuo y teorema del factor Aprendizajes esperados

Contenido 1: Valor numérico de un polinomio
Calcula valores numéricos de polinomios.
Calcule los valores numéricos P (2) y P (-1) para el polinomio P (x) = x3-x2+3x-1.
Se sustituye x = 2 en P (x) = x3-x2+3x-1: 2

Secuencia:
P (2)= 23-22+(3)(2)-1
En la sección anterior se trabajó constante-
P (x) = x3-x2+3x-1
= 8-4+6-1 = 9. mente con polinomios. En esta clase se con-
Luego, P (2) = 9. P (2)= 23-22+(3)(2)-1 tinúa en dicho trabajo, esta vez calculando
De igual forma, si se sustituye x = -1 en el mismo polinomio, se obtiene: valores numéricos de polinomios, que serán
P (-1) = (-1)3-(-1)2+(3)(-1)-1 el elemento fundamental del Teorema del re-
=-1-1-3-1 = -6. siduo.
Así, P (-1) = -6.
También, los valores numéricos permitirán
El valor numérico de un polinomio en una variable se calcula al sustituir dicha variable por un
decidir si un polinomio determinado es factor
número dado y efectuar las operaciones indicadas. de un polinomio dado.
Puntos esenciales:
1
Calcule los valores numéricos pedidos para cada polinomio:
a) P (x) = x2-3x+5, P (3), P (-1), P (0) Explicar que el cálculo de valores numéricos
b) P (x) = x3-2x2+3x-1 P (1), P (0), P (3) radica en la sustitución de la variable del
c) P (x) = x3+x2-x+1, P (-1), P (2), P (3)
polinomio por un número determinado.
d) P (x) = 7x3-3x2+x-2, P (3), P (1), P (5)
Es crucial entonces que se comprenda
Ejemplo Calcule los valores numéricos P (1) y P (-2) para el polinomio P (x) = (x+1)(x+2)+3. que sustituir es reemplazar la variable por
dicho número, en todo término donde esta
Para calcular P (1) se debe sustituir x = 1 en P (x) = (x+1)(x+2)+3:
aparezca.
P (1) = (1+1)(1+2)+3 = (2)(3)+3 = 6+3 = 9.
Luego, P (1) = 9. Tener en cuenta el orden de las operaciones
Para P (-2) se tiene aritméticas: calcular primero potencias, luego
P (-2) = (-2+1)(-2+2)+3 = (-1)(0)+3 = 0+3 = 3. productos y, finalmente, sumas o restas (de
En conclusión P (-2) = 3. izquierda a derecha).
2
Calcule los valores numéricos P (3) y P (-4) para cada polinomio:
Polinomios como P ^ xh = ^ x + 1h^ x + 2h + 3,
a) P (x) = (x+1)(x-3)+1 están bajo la forma P ^ xh = D ^ xh Q ^ xh + R .
b) P (x) = (x-2)(x+4)+1 Se debe asociar esta escritura al algoritmo
66 de la división de la sección anterior.
S2: Teorema del residuo y teorema del factor c) ( ) ( ), (2), (3)

C1: Valor numérico de un polinomio
Sección 2: Teorema del residuo y teorema
( ) del +factor
( ) ( )+1 = 2
Calcule los valores numéricos (2) = 2 + (2) y
para ( ) (3) = 3 + (3) (3) + 1 = 34
Se sustituye en ( ) Calcule los valores numéricos y para
(2) = 2 + (3)(2) ( )=( )( )+3
Para (1) = (1 + 1)(1 + 2) + 3 = (2)(3) + 3 = 9
( )=( )( ) + 3 = ( )(0) + 3 = 3
( )=( ) —( ) + (3)( )
Leer en el libro de texto. Calcule y para cada polinomio:
a) ( ) = ( )( )+1
Calcule los valores numéricos pedidos:
a) ( ) (3), ( ), (0) (3) = (3 + 1)( )+1=1
(3) = 3 ( )=( )( ) + 1 = 22
( )
(0) = 0 b) ( ) = ( )( )+1
b) ( ) (1), (0), (3) (3) = ( )(3 + 4) + 1 = 8
(1) = 1 (1)
( )=( )( )+1=1
(0) = 0
(3) = 3 (3)
LT 66
63
Contenido
2 Teorema del residuo Sección 2: Teorema del residuo y teorema del factor
Aprendizajes esperados Contenido 2: Teorema del residuo

Aplica el Teorema del Residuo para deter- Compare el residuo de la división de P (x) = x3+3x2+x+5 entre D (x) = x-2 y el valor P (2).
minar el valor del residuo en la división de
un polinomio entre un binomio de la forma Se aplica división sintética, obteniendo el cociente 1 3 1 5 2
x!a. Q (x) = x2+5x+11 y el residuo R = 27. 2 10 22
1 5 11 27
Al sustituirse x = 2 en P (x) resulta
Secuencia: P (2) = 2 +(3)(2 )+2+5 = 8+12+7 = 27.
3 2
En la sección anterior, mediante división Se observa que R = 27 = P (2).

sintética, se determinó cociente y residuo
en divisiones de polinomios. Existe una
Teorema del residuo
relación entre estos residuos y los valores El residuo de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de primer grado x-c es el
numéricos de la clase anterior, establecida valor numérico P(c).
en el Teorema del Residuo. En efecto, si en la división de P (x) entre el binomio de primer grado x-c, Q (x) es el cociente
y R el residuo, por el algoritmo de la división se cumple
Es el Teorema del Residuo la proposición En el problema anterior:
P (x) = (x-c)Q (x)+ R
utilizada en el ejemplo inductivo del Teorema P (x) = (x-2)(x2+5x+11)+27
del Factor. así que P (c) = (c-c)Q (c)+ R = (0)Q (c)+ R = R. Por tanto, P (c) = R.
Puntos esenciales: Ejemplo Encuentre los residuos de dividir P(x) = x3+x2-3x+1 entre los binomios x-1 y x+2
utilizando el teorema del residuo.
Hacer notar que la comparación entre
El residuo de dividir P(x) = x3+x2-3x+1 entre x-1 se determina calculando P (1):
el residuo de la división planteada en el
P (1) = 13+12-(3)(1)+1
problema central de la clase y el valor = 1+1-3+1
numérico indicado es la que induce al = 0.
enunciado del Teorema del Residuo. Luego, el residuo es R = 0.

Para el binomio x+2, se reescribe este como x+2 = x-(-2) y se calcula P (-2):
Indicar que el Teorema del Residuo es válido P (-2) = (-2)3+(-2)2-(3)(-2)+1
= -8+4+6+1
para divisores de la forma x ! a .
= 3.
Insistir en que la facilidad práctica del De modo que el residuo es R = 3.
Teorema del Residuo radica en que no se

Encuentre el residuo de cada división, empleando el teorema del residuo:
requiere realizar la división de polinomios a) P(x) = x3+x2-2x+12 entre x-2
para poder determinar el residuo, siempre b) P(x) = 3x3-7x2-x+1 entre x+2
que el divisor sea un polinomio lineal. c) P(x) = 2x3+3x2-5 entre x-1
Procurar la ejercitación en la aplicación del d) P(x) = -10x3-x2+2x+15 entre x+1
Teorema del residuo. 67
C2: Teorema del residuo

Compare el residuo al dividir Encuentre los residuos respectivos de dividir el
( ) entre y el valor (2). polinomio ( ) entre y
Aplicando división sintética: Para (1) = 1 + 1 (1) + 1
1 3 1 5 2
Para ( )=( ) +( ) (3)( )+1
2 10 22
1 5 11 27
( ) Determine el residuo de cada división:

a) ( ) entre
(2) = (2) + (3)(2) + 2 + 5 = 8 + 12 + 7 = 27 (2) = 2 + 2 (2) + 12
Luego, (2).
Teorema del Residuo b) ( ) entre

El residuo de la división de un polinomio entre ( ) = (3)( ) ( ) ( )+1
un binomio de la forma es ( ).
Como ( ) = ( ) ( ) c) ( ) entre
( )=( ) ( ) (0) ( ) (1) = (2)(1) + (3)(1)
Luego, ( )
64 LT 67
Contenido
3 Teorema del factor
Contenido 3: Teorema del factor
Deduce y aplica el Teorema del Factor en
Verifique que x-1 es un factor de P (x ) = x 3+4x 2+x-6 utilizando el teorema del residuo. la identificación de factores de un polinomio
dado.
Se calcula P (1):
P (1) = 13+(4)(12)+1-6 Secuencia:
= 1+4+1-6
En la clase anterior se calcularon residuos
= 0,
sin tener que efectuar divisiones. Estos cál-
encontrando que el residuo es R = 0. Por el algoritmo de la división, P (x ) se puede expresar culos se utilizan en esta clase para estable-
en la forma
cer el denominado Teorema del Factor.
P (x ) = (x -1) Q (x)+R = (x -1) Q (x)+0 = (x -1) Q (x),
donde Q (x) es el cociente. Así, x -1 es factor de P (x) = x 3+4x 2+x-6. En la sección siguiente, este teorema será
utilizado para la factorización de polinomios
Teorema del factor
de tercer grado.
Un polinomio P (x ) tiene un factor de primer grado x -c si y solo si P (c) = 0.
Puntos esenciales:
Ejemplo Determine si x-2 y x+3 son factores de P (x) = x 3 -4x 2 +3x +2 utilizando el Considerar que el problema a plantearse al
teorema del factor.
inicio de la clase debe desarrollarse de la
Como forma inductiva para deducir el enunciado del
P (2) = 2 3 -(4)(2 2 )+(3)(2)+2 = 8-16+8 = 0, teorema del factor. En la solución de dicho
se tiene que x-2 es factor de P (x ). problema se debe recordar el enunciado
Ahora, se reescribe x +3 = x -(-3) de modo que del Algoritmo de la división y el Teorema del
P (-3) = (-3)3 -(4)(-3)2 +(3)(-3)+2 = -27-36-9+2 = -70. residuo.
Como P (-3) = -70 ≠ 0, x+3 no es factor de P (x ).
Identificar el número c a utilizar para el valor
numérico P ^c h y así decidir si un binomio es
a) De los binomios propuestos seleccione el que es factor de P (x ) = x 3 -4x 2 +7x -6 o no factor de un polinomio.
utilizando el teorema del factor.
x-2 x-3 x+1 x+3 Realizar suficientes ejercitaciones, ya que
este teorema será un paso a aplicar en la
b) De los binomios propuestos seleccione el que es factor de P (x) = x3-3x2-4x-12
utilizando el teorema del factor. resolución de ecuaciones de tercer grado.
x-2 x +3 x+1 x+2
68
C3: Teorema del Factor

Para reescribimos
Verifique que es un factor de
( )=( ) ( ) + (3)( )+2
( ) utilizando el teorema
del residuo. No es factor de ( ).
(1) = (1) + (4)(1)
a) Cuál es factor de ( )
Si es el cociente
( )=( ) ( ) ( ) ( )+0 (2)
=( ) ( ) (3)
Luego, ( )
es factor de ( ) ( )
es factor de ( ).
Un polinomio ( ) tiene un factor de primer grado
si y solo si ( ) = 0. b) Cuál es factor de ( )
Determine si y son factores de (2)

( ) ( )
Para ( )
(2) = 2 (2) + (3)(2) ( )
Sí es factor de ( ). No son factores de ( ).
LT 68
65
Contenido
Factorización de polinomios de tercer grado aplicando el teorema del factor y
1 división sintética Unidad 4: Ecuaciones de Tercer Grado
Aprendizajes esperados Sección 3: Factorización de polinomios de tercer grado y

Factoriza polinomios de tercer grado resolución de ecuaciones de tercer grado
aplicando el teorema del factor y la división Contenido 1: Factorización de polinomios de tercer grado aplicando el
sintética. teorema del factor y división sintética
Secuencia: Factorice el polinomio x3+2x2-x-2.
El teorema del factor permitió decidir si un

binomio de la forma x ! a es factor de un 1 Se determinan los divisores del término independiente -2 del polinomio, los cuales son
! 1, ! 2.
polinomio de tercer grado. Esto abona a la
2 De estos divisores se busca un valor c, para el cual P (c) = 0, siendo P (x) = x3+2x2-x-2,
tarea de factorizar polinomios de este tipo. por ejemplo si se ensaya con 1 se tiene
Sin embargo, la división sintética arroja P (1) = 13+(2)(12)-1-2 = 1+2-3 = 0,
de modo que D (x) = x-1 es un factor de x3+2x2-x-2.
otro factor (el cociente) que posiblemente
sea factorizable, ya que es un polinomio de 3 Se divide P (x) = x3+2x2-x-2 por D (x) = x-1
1 2 -1 -2 1
usando la división sintética, obteniendo el cociente
segundo grado. En esta clase, se muestra Q (x) = x2+3x+2 y el residuo R = 0, luego
1 3 2
1 3 2 0
el procedimiento de factorización completa x3+2x2-x-2 = (x-1)(x2+3x+2) ①
de un polinomio de tercer grado, lo cual P (x) =D (x) Q (x)+R
será utilizado posteriormente para resolver 4 Se factoriza Q (x): x2+3x+2 = (x+1)(x+2). ②
ecuaciones de tercer grado.
5 Al sustituir ② en ① se obtiene x3+2x2-x-2 = (x-1)(x2+3x+2)
= (x-1)(x+1)(x+2)
Puntos esenciales:
Recordar el concepto de divisor de un
número entero. Para factorizar un polinomio P (x) de tercer grado se procede así:
1. Se encuentran los divisores del término independiente del polinomio.
Aplicar correctamente el teorema del factor 2. Se busca dentro de los divisores obtenidos en el paso 1., un c tal que P (c) =0 para
para decidir cuál de los divisores del término obtener un x-c que es un factor del polinomio según el teorema del factor.
3. Se efectúa la división sintética entre el polinomio dado y el factor x-c del paso anterior.
independiente del polinomio será utilizado El dividendo queda expresado en la forma P (x) = (x-c)Q (x).
para formar el binomio que sea factor. 4. Se factoriza el cociente Q (x).
5. Se sustituye la factorización de Q (x) en P (x) = (x-c) Q (x).
Recordar la factorización de binomios de la
forma ax 2 + bx + c . Factorice los siguientes polinomios:
Recordar la expresión del algoritmo de la a) x3-2x2-x+2
división de polinomios. b) x3+5x2-x-5

c) x3+4x2+x-6
70
S3: Factorización de polinomios de tercer grado y Sustitución de 2 en 1 :

resolución de ecuación de tercer grado
Sección 3: Factorización de polinomios de tercer (grado
C1: Factorización de polinomios de tercer grado
)( y reso-
)
lución de ecuaciones de tercer gradoLeer en el libro de texto.

=( )( )( ).
aplicando el teorema del factor y división sintética
Factorice el polinomio
Factorice
Buscamos el valor para el cual ( ) = 0: Divisores de 2: ±1, ±2.
Divisores de : ±1, ±2.
Teorema del factor:
Se aplica teorema del factor para el polinomio
( ) (1) = 1 (1)
(1) = 1 + (2)(1) Así, es factor de ( )
es factor de División sintética: 1
1
1 2 1
División sintética: 1 3 2
( )
1 3 2 0
( )
( )( ) Factorización de ( ): ( )( )
Factorización de Así,
( )( )
66 LT 70
Sección 3: Factorización de polinomios de tercer grado y resolución de ecuaciones de tercer grado
Contenido
2 Ecuaciones de segundoSección
grado 3: Factorización de polinomios de tercer grado
y resolución de ecuaciones de tercer grado
Contenido 2: Ecuaciones de segundo grado Resuelve ecuaciones de segundo grado
1 Resuelva la ecuación de segundo grado x2-x-2 = 0 utilizando factorización. mediante factorización o uso de la fórmula
general.
1
Se factoriza el lado izquierdo de x2-x-2 = 0, obteniéndose
Si A y B son expresiones Secuencia:
(x-2)(x+1) = 0 algebraicas con AB = 0,
entonces
En esta clase se pretende brindar un repaso
Se iguala a cero cada factor y se resuelven las ecuaciones
de primer grado A = 0 o B = 0. de la resolución de la ecuación de segundo
x-2 = 0, x+1 = 0. grado ax 2 + bx + c = 0 , por factorización
Luego, las soluciones son x = 2, x = -1. y mediante fórmula general, dado que,
al resolver ecuaciones de tercer grado,
Para resolver mediante factorización una ecuación de segundo grado de la forma la factorización del polinomio asociado
ax2+bx+c = 0, con a ≠ 0, se factoriza el lado izquierdo de la ecuación, luego se iguala a cero
cada factor y se resuelven las ecuaciones de primer grado resultantes. conducirá a resolver ecuaciones de primer y
segundo grado.
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando factorización:
a) x2+x-2 = 0 b) x2+7x+10 = 0 c) x2-5x+6 = 0 Puntos esenciales:
Recordar que para la factorización de binomios
Resuelva la ecuación de segundo grado x2+3x-1 = 0 utilizando la fórmula general.
2
de la forma x 2 + bx + c se deben buscar
números e y d tales que e + d = b y ed = c ,
es decir, x 2 + ê + d h x + ed = ^ x + eh^ x + d h
2
En la ecuación dada, a = 1, b = 3 y c = -1.
La fórmula general
Se sustituyen estos valores en la fórmula de la derecha:
para resolver la .
- 3 ! 32 - 4(1)(- 1) -3 ! 9 + 4 - 3 ! 13 ecuación de segundo
x=
(2)(1) = 2 = 2 grado ax2+bx+c = 0, a ≠0 es Comprender la importancia de la propiedad
Luego, las soluciones son: x=
- b ! b 2 - 4ac
2a
AB = 0 & A = 0 o B = 0, para encontrar
3 13 3 13
las soluciones de la ecuación de segundo
x= - + , x= - -
2 2
.
grado.
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general: Insistir en que el uso de la fórmula general se
a) x2-x-2 = 0 reduce a la identificación de los coeficientes
b) x2+5x+2 = 0 a, b, c en la ecuación dada, la sustitución
c) 3x2+3x-1 = 0
de estos en la fórmula general, y el cálculo
numérico de la expresión resultante.
d) 5x2+x-3 = 0
71
C2: Ecuaciones de segundo grado Resuelva Fórmula general de la ecuación:

Resuelva mediante factorización. mediante la fórmula general.
3 (1)( )
(2)(1)
( )( )=0
9+4 13
= =
2 2
13 13
2 2
Leer en libro de texto. Resuelva las ecuaciones utilizando la fórmula general:
a)
Resuelva las siguientes ecuaciones: 1± 1± 9 1±3
a)
= =
(2)(1) 2 2
( )( )=0
b)
b) 5 17
( =
(2)(1) 2
LT 71
67
Contenido
3 Resolución de ecuaciones de tercer grado
Contenido 3: Resolución de ecuaciones de tercer grado
Resuelve ecuaciones de tercer grado de la
forma: 1 Resuelva la ecuación x(x-2)(x+1) = 0.
x ] x + ag] x + bg = 0 y x 3 + bx 2 + cx = 0 . 1
Cada factor del lado izquierdo de la ecuación se iguala a cero:
Secuencia: x = 0, x-2 = 0, x+1 = 0 Si A, B y C son expresiones
El primer ejemplo de la clase muestra un tipo De lo anterior se obtiene
algebraicas con ABC = 0,
entonces
de ecuación de tercer grado en la que el lado x = 0, x = 2, x = -1. A=0 o B=0 o C=0
izquierdo está completamente factorizado,
esto como base para los últimos pasos del 1
Para resolver una ecuación de tercer grado de la forma x(x+a)(x+b) = 0 se iguala a cero
proceso de resolución de ecuaciones de cada factor del lado izquierdo y se resuelven las ecuaciones de primer grado x+a = 0 y
tercer grado. Este ejemplo es un caso similar x+b = 0.
al resuelto en el primer ejemplo de la clase

Resuelva las siguientes ecuaciones de tercer grado:
anterior.
a) x(x-2)(x+5) = 0 b) x(x-1)(x+1) = 0 c) x(2x+1)(x+1) = 0
La conclusión de este primer ejemplo
será también aplicada para factorizar 2 Resuelva la ecuación x3+3x2+2x = 0.
polinomios en los que no aparece el término
independiente.
2
Se extrae x como factor común de x3+3x2+2x:
Puntos esenciales: x(x2+3x+2) = 0

Se factoriza x2+3x+2 = (x+1)(x+2) y se sustituye en la igualdad anterior:
Aplicar correctamente la propiedad
x(x+1)(x+2)= 0
ABC = 0 & A = 0 o B = 0 o C = 0 .
Entonces,
Recordar la consistencia de extracción de x = 0, x+1 = 0, x+2 = 0
factor común. Luego, las soluciones son x = 0, x = -1, x = -2.
Recordar la transposición de términos para

resolver ecuaciones de primer grado. 2
Para resolver la ecuación de tercer grado x3+bx2+cx = 0 se extrae el factor común x, para
obtener x(x2+bx+c) = 0, luego se factoriza x2+bx+c y finalmente se aplica lo establecido en
la conclusión anterior.

a) x3+x2-6x = 0 b) x3-3x2-4x = 0 c) x3-4x = 0
72
C3: Resolución de ecuaciones de tercer grado

Resuelva
Resuelva la ecuación ( )( ) = 0.
( )( )=0 ( )( )=0
Leer en el libro de texto. Leer en el libro de texto.
Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)
a) ( )( )=0 ( )=0
( )( )=0
b) ( )( )=0
b)
c) ( )( )=0
( )( )=0
1
2
68 LT 72
Sección 3: Factorización de polinomios de tercer grado y resolución de ecuaciones de tercer grado
Resolución de ecuaciones de tercer grado aplicando el teorema del factor y
Contenido
4 división sintética (1) Sección 3: Factorización de polinomios de tercer grado
y resolución de ecuaciones de tercer grado
Contenido 4: Resolución de ecuaciones de tercer grado aplicando el
teorema del factor y división sintética (1) Resuelve ecuaciones de tercer grado
aplicando teorema del factor y la división
Resuelva la ecuación x3-3x2-x+3 = 0.
sintética.
Se debe factorizar el polinomio P (x) = x3-3x2-x+3. En primer lugar, los divisores del Secuencia:
término independiente 3 son ! 1 y ! 3 .
En esta clase se aplica la factorización de
Como P (1) = 13-(3)(12)-1+3 = 1-3-1+3 = 0,
polinomios aprendida en la primera clase de
el binomio x-1 es un factor de x3-3x2-x+3.
esta sección, la resolución de ecuaciones
1 -3 -1 3 1
Ahora se divide x3-3x2-x+3 por x-1 1 -2 -3 de segundo grado mediante factorización
aplicando división sintética.
1 -2 -3 0 y la solución de ecuaciones de la forma
Luego,
x3-3x2-x+3 = (x-1)(x2-2x-3)
x ^ x + ah^ x + bh = 0 , todo esto, en el proceso
siendo el cociente x2-2x-3.
de resolución de ecuaciones de tercer grado.
Ahora se factoriza este polinomio:
x2-2x-3 = (x-3)(x+1),
Puntos esenciales:
resultando que x3-3x2-x+3 = (x-1)(x2-2x-3)
Sustituir (x-3)(x+1) Hacer notar que la ecuación de tercer grado
= (x-1)(x-3)(x+1)
en lugar de x2-2x-3 se caracteriza por estar definida mediante un
La ecuación x3-3x2-x+3 = 0 es equivalente a polinomio de tercer grado, el cual se iguala a
(x-1)(x-3)(x+1) = 0,
cero para formar la ecuación.
de lo cual se desprende que
Recordar la factorización de polinomios de
x-1 = 0, x-3 = 0, x +1 = 0
tercer grado.
Las soluciones son x = 1, x = 3, x = -1.
Hacer notar que cuando el polinomio se ha
factorizado, dicha factorización se iguala a
Para resolver una ecuación de tercer grado se factoriza el polinomio de tercer grado en cero (recuérdese que se está resolviendo una
polinomios de primer grado, luego se iguala a cero cada factor y se resuelven las ecuaciones
de primer grado resultantes. ecuación).

a) x3-x2-4x+4 = 0
b) x3+2x2-x-2 = 0
c) x3-5x2-x+5 = 0
73
C4: Resolución de ecuaciones de tercer grado

aplicando el teorema del factor y división Leer en el libro de texto.
sintética (1) Resuelva 4 4
Resuelva la ecuación
Factorización de ( ) 4 4
Sea ( ) el cual se
Divisores de 4 ±1, ±2, ±4
factorizará:
Divisores de 3: ±1, ±3 (1) = 1 1 4(1) 4
(1) = 1 es factor de ( ).
es factor de ( ).
División sintética: 1 -1 -4 4 1
División sintética: 1 3 1 1 0 -4
1 1 0 -4 0
1 0
Cociente: 4=( )( )
Cociente: ( )( )
3 2
( )( ) − − 4 + 4 = ( − 1)( + 2)( − 2)
Así, Así,
( )( )( )=0 ( )( )( )=0
-2, 2
LT 73
69
Contenido
Resolución de ecuaciones de tercer grado aplicando el teorema del factor y
5 división sintética (2) Unidad 4: Ecuaciones de Tercer Grado
Aprendizajes esperados Contenido 5: Resolución de ecuaciones de tercer grado aplicando el

teorema del factor y división sintética (2)
Resuelve ecuaciones de tercer grado aplican-
do teorema del factor y la división sintética, 1 Resuelva la ecuación x (x2+x-1) = 0.
en las que se requiere el uso de la fórmula 1

Se iguala a cero cada factor del lado izquierdo de la ecuación x (x2+x-1) = 0:
general para ecuaciones de segundo grado. x = 0, x2+x-1 = 0,
Nótese que en la ecuación de segundo grado x2+x-1 = 0, La fórmula general para
resolver la ecuación de
Secuencia: el polinomio x2+x-1 no se puede factorizar con los casos
estudiados, de modo que se utiliza la fórmula general, con
segundo grado
Las ecuaciones de tercer grado a ser resuel- a = 1, b = 1, c = -1. ax2+bx+c = 0, a≠0 es
tas en esta clase conducen a ecuaciones de x=
- b ! b2 - 4ac
- 1 ! 12 - (4) (1) (- 1) -1 ! 5 2a
segundo grado que deben resolverse me- x=
(2) (1)
= 2
diante fórmula general, ya que no es posi- -1 + 5 -1 - 5
ble factorizar el trinomio de segundo grado De modo que las soluciones de la ecuación dada son x = 0, x = 2 , x= 2 .
asociado.
Puntos esenciales: a) x(x2-2x-2) = 0 b) x(x2-4x+1) = 0
Inducir a la comprensión clara de porqué
Resuelva la ecuación x3+x2-4x+2 = 0
los trinomios de segundo grado de la forma 2
ax 2 + bx + c tratados en los ejemplos y ejerci- 2

Se factoriza el polinomio P (x) = x3+x2-4x+2 tomando en cuenta que los divisores de 2 son
cios no son factorizables como habitualmente !1 y !2.
se hace. Como P (1) = 13+12-(4)(1)+2 = 1+1-4+2 = 0, el binomio x-1 es un factor de
x3+x2-4x+2.
Recordar la expresión de la fórmula general 1 1 -4 2 1
para resolver ecuaciones de segundo grado. Se aplica la división sintética para dividir x3+x2-4x+2 entre x-1. 1 2 -2
1 2 -2 0
Para simplificar expresiones tales como El cociente es x2+2x-2, así que x3+x2-4x+2 = (x-1)(x2+2x-2).
- 2 ! 12 Luego,
se procura la descomposición del
2 (x-1)(x2+2x-2) = 0
radicando (siempre que sea posible), esto x = 1, x2+2x-2 = 0
y para resolver x2+2x-2 = 0 se usa la fórmula general con a = 1, b = 2, c = -2.
con el propósito de obtener las expresiones
- 2 ! 2 2 - ]4g]1 g]- 2g - 2 ! 12 - 2 ! 2 3
mínimas para las soluciones. x= ]2g]1 g = 2 = 2 =- 1 ! 3
obteniendo x = -1 + 3 , x = -1 - 3
Procurar de que las soluciones de la ecuación
de modo que las soluciones de la ecuación dada son x = 1, x = - 1 + 3 , x = - 1 - 3 .
de segundo grado sean reunidas con la
solución obtenida en la factorización del Resuelva las ecuaciones de tercer grado:
polinomio de tercer grado, para enlistar las tres a) x3 - 4x 2 + 4x - 1 = 0 b) x3 + x 2 - 3x + 1 = 0
soluciones de la ecuación de tercer grado.
74
C5: Aplicación del teorema del factor y división Resuelva

sintética (2)
Factorización de ( )
Resuelva ( ) = 0.
(1) = 1 + 1 (1) + 2 Divisores de 2: ±1, ±2.
( )=0
es un factor de
Se resuelve con Fórmula General: División sintética: 1 1 2 1

1 2
1 5
= 1 2 0
(2)(1) 2 Cociente:
Soluciones: ( )( )
Resuelva ( ) = 0. Luego,
( )( )=0
( )=0
Se resuelve
Para 2 12
( )± ( ) (1)( ) =
(2)(1) 2
(2)(1)
3
2±2 3 = 3
2
Soluciones: Soluciones
70 LT 74
Nombre: _____________________________ Sección: __________

/ 20
Prueba
Sexo: M / Fde Unidad 4
1. Encuentre el cociente y el residuo al dividir x3 + 4x 2 - x - 10 entre x - 2 .

(2 puntos × 2 = 4)
Cociente: Residuo:
2. Encuentre el residuo de dividir P ^ xh = x3 + x 2 - 3x + 5 entre x - 1 utilizando el

teorema del residuo. (2 puntos)
3. Factorice el siguiente polinomio: (3 puntos)

x 3 + 2x 2 - x - 2
71
4. Resuelva las siguientes ecuaciones de tercer grado:
a)
x ^ x - 2h^ x + 1h = 0 (4 puntos)
b)
x3 - x 2 - 6x = 0 (4 puntos)
c)
x3 + 4x 2 + x - 6 = 0 (4 puntos)
Nombre: ________________________________
72
Unidad 5
7
Introducción a la Trigonometría
Sección 1 Funciones trigonométricas de
ángulos agudos en triángulos
rectángulos
Sección 2 Valores de las funciones

trigonométricas de ángulos
agudos
Sección 3 Resolución de triángulos

rectángulos
Sección 4 Relaciones entre seno y coseno
Unidad 5: Introducción a la Trigonometría

Contenido
1 El Teorema de Pitágoras Unidad 5: Introducción a la Trigonometría
Aprendizajes esperados Sección 1: Funciones trigonométricas de ángulos agudos en

Aplica el Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos
encontrar la longitud desconocida de un
Contenido 1: El Teorema de Pitágoras
lado de un triángulo.
Encuentre la longitud del lado desconocido en los siguientes triángulos rectángulos:
Secuencia: a) b) Teorema de Pitágoras
3 ABC es un triángulo rectángulo
Esta clase constituye un repaso del importante E
Hipotenusa
B
Teorema de Pitágoras, estudiado en el grado B y cm 10 cm c a
anterior. Este teorema será utilizado en esta x cm 3 cm

sección para el cálculo de valores de funciones A 4 cm C D 8 cm F
A b C
c² = a² + b²
Catetos
trigonométricas a partir del valor de otra,

puesto que se podrá conformar un triángulo a) Los catetos tienen longitudes de 3 cm y 4 cm y como el 3 ABC es un triángulo rectángulo,
rectángulo en el que las longitudes de dos así por el Teorema de Pitágoras se tiene:
de sus lados sean conocidas, y determinar la x2 = 32+42
= 9+16
longitud del tercer lado. = 25
Se extrae raíz cuadrada y se sabe que x > 0, resulta: La longitud del lado
Puntos esenciales: x =5 del triángulo es un
Recordar el concepto de triángulo rectángulo Por tanto, la longitud de la hipotenusa es 5 cm.
número positivo.
y que dos de sus lados se denominan catetos b) La hipotenusa mide 10 cm y uno de los catetos 8 cm, el 3 DEF es un triángulo rectángulo,
y el tercero, hipotenusa. así por el Teorema de Pitágoras se tiene:
10 2 = y2+82
Recordar el enunciado del Teorema de 100 = y2+64
Pitágoras para poder aplicarlo. Por transposición de términos:
y2= 100-64
Explicar que en esta situación al extraer raíz y2 = 36
Se extrae raíz cuadrada y se sabe que y > 0, resulta:
cuadrada se reconoce que solo se toma la
y=6
positiva, ya que las variables representan Por tanto, la longitud del otro cateto es 6 cm.
longitudes de lados de un triángulo, de modo
que son números positivos. Encuentre la longitud del lado desconocido en los siguientes triángulos rectángulos:
Hacer notar en la resolución de ejercicios a) b) B
de este contenido que cuando la variable B

13 cm
representa la longitud de un cateto, es x cm 1 cm
y cm
necesario aplicar transposición de términos. A 2 cm C

A 12 cm C
78
U5: Introducción a la Trigonometría Encuentre la longitud del lado desconocido

S1: Funciones trigonométricas de ángulos agudos en en los siguientes triángulos rectángulos:
triángulos rectángulos a) B
C1: El Teorema de Pitágoras
Sección
Encuentre la1: Funciones
longitud trigonométricas
del lado desconocido en los siguientes de ángulos agu-
x cm 1 cm
dos en triángulos rectángulos

triángulos rectángulos.
Hipotenusa
2 cm C B
a) B b) E c a
= 2 + 1 = 4 + 1 = 5,
x cm 3 cm
y cm 10 cm
Como 5
A C
Catetos
Así, la longitud de la hipotenusa es 5
b
4 cm C
8 cm F b) E
a) Por el Teorema de Pitágoras se tiene,

y cm 13 cm
=3 +4
Como
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es 12 cm F
b) Utilizando el Teorema de Pitágoras se tiene, = 13

10 +8
Como
+ 64
Como Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa
Así, la longitud del cateto es es
74 LT 78
Sección 1: Funciones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos
Contenido
2 Razones entre los lados Sección
de un triángulo rectángulo
1: Funciones trigonométricas de ángulos
agudos en triángulos rectángulos
Contenido 2: Razones entre los lados de un triángulo rectángulo
Identifica que las razones entre los lados
Dados los triángulos de la figura, encuentre las siguientes E de un triángulo rectángulo dependen de los
razones:
CB d DE d ángulos agudos.
10
BA = d EA = d B
CA d
BA = d
DA d
EA = d 3
6
Secuencia:
CB d
=d
DE d 5 4
En esta clase se calculan razones entre los
CA DA = d
lados de triángulos rectángulos que tienen
A C D
Compare los resultados de las razones obtenidas. 8
un ángulo agudo con la misma medida, a las
cuales se les dará un nombre particular en
Las razones son:
la clase siguiente. Estas razones, que son
CB 3 DE 6 3
BA = 5 EA = 10 = 5 funciones de un ángulo, tomarán valores
CA 4
BA = 5
DA 8 4
EA = 10 = 5
notables para los ángulos 30°, 45° y 60°,
CB 3
=
DE 6 3 entre otros, que serán estudiados en clases
CA 4 DA = 8 = 4
posteriores.
Se observa que cada razón de la columna izquierda es igual a la correspondiente razón de
la columna de la derecha.
Puntos esenciales:
Recordar el concepto de razón como el
Las razones entre los lados de un triángulo rectángulo no dependen del tamaño del triángulo,
sino solamente del ángulo agudo que se considere, esto significa que son funciones de un cociente de dos cantidades.
ángulo.
Conducir mediante la comparación entre
Sean el triángulo de la figura y el ángulo A del mismo. Entonces,
B
las razones obtenidas en los triángulos
el lado a se llama cateto opuesto (co) a A, mientras que b se
le denomina cateto adyacente (ca) a A. Al lado c opuesto al c
presentados a la conclusión de que estas
son funciones del ángulo agudo en cuestión,
a
ángulo recto se le llama hipotenusa (hip).
ya que estas no dependen de las longitudes
A b C
de los lados.
Dados los triángulos de la figura de la derecha, a) b) Identificar para un ángulo agudo de un
encuentre las razones:
co ca co
E
triángulo rectángulo, el cateto opuesto y el
hip , hip , ca B cateto adyacente correspondiente. Estos
6 10
respecto al ángulo agudo marcado, y compare los
valores obtenidos.
5 3 pueden variar si se elige el otro ángulo agudo.
A 4 C D 8 F
79
C2: Razones entre los lados de un triángulo

rectángulo Dados los triángulos, encuentre las razones
co ca co
Encuentre las siguientes razones y compare los
resultados de las razones obtenidas.
hip hip ca
E respecto al ángulo agudo marcado, y compare
3 6 3
los valores obtenidos.
= = = 10 B
5 10 5 B
6 a)
co 3 ca 4 co 3
4 8 4 3 5 = , = , =
=
5
=
10
=
5 5 4 3 hip 5 hip 5 ca 4
A C D
3 6 3 8
= = = A 4 C
4 8 4
b) E co 6 3 ca 8 4 co 6 3
La razón es igual = = , = = , = =
hip 10 5 hip 10 5 ca 8 4
Las razones entre los lados de un triángulo no
6 10
dependen del ángulo agudo, es decir, son
funciones de un ángulo. B
8
hipotenusa (hip) c a cateto opuesto (co)
Las razones obtenidas entre los lados de cada uno
de los triángulos son iguales (respectivamente)
A b C
cateto adyacente (ca)
LT 79
75
Contenido
3 Tangente de un ángulo agudo enUnidad

un5: Introducción
triángulo rectángulo
a la Trigonometría
Contenido 3: Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo
Determina el valor de la tangente de un
ángulo agudo. Un niño de 1,2 m de estatura camina en línea recta delante
de su papá, y proyecta una sombra de 2 m. Si la sombra
proyectada por el papá mide 3 m, ¿cuál es su estatura?
Secuencia: 1,2 m
En esta clase se define la tangente de un
ángulo, la cual solo depende de dicho ángulo; 2m
3m
en la siguiente clase, esta será presentada

junto con otras dos funciones que también Con la información proporcionada se forma la figura de
dependen solamente del ángulo en cuestión. la derecha. Se observa que los triángulos rectángulos D
Estas tres funciones serán abordadas de co

ABC y ADE comparten el ∠A, por lo cual la razón ca
forma constante en toda esta unidad. B
no depende del tamaño de ellos, sino únicamente del x

1,2
∠A. Esto significa que:
Puntos esenciales:
x 1, 2
Aclarar en el problema planteado por qué los 3 = 2
A
2
C E
triángulos rectángulos formados comparten el x

3 = 0,6 3
ángulo A. Esto se debe a que los triángulos se x = (3)(0,6)
han formado a partir de un rayo de luz solar y x = 1,8
la horizontal, es decir, los lados del ángulo A Por tanto, el padre tiene una estatura de 1,8 m.
tanto para el triángulo determinado por el niño,
como por el padre, son los mismos. co B
En el triángulo rectángulo ABC el valor de la razón ca respecto a ∠A,
co
Explicar el hecho de que la razón ca depen- no depende del tamaño del triángulo sino solamente del ∠A. Este valor
de solamente del ángulo A permite establecer recibe el nombre de tangente del ∠A y se denota por tan A.
A C
una proporción mediante la cual se calcula el
BC 1, 2
extremo desconocido. En el problema anterior se tiene que tan A =
AC = 2 =
0,6
Diferenciar mediante la ejercitación los respec- Dado el triángulo rectángulo de la figura, encuentre tan A y tan B.
tivos cateto opuesto y cateto adyacente para B
los ángulos A y B. 2
Insistir en la memorización de la definición de

co A 3 C
la tangente: tan A= ca . 80
C3: Tangente de un ángulo agudo en un triángulo

rectángulo En el triángulo el valor de solamente depende
Un niño de 1,2 de estatura proyecta una del angulo .
B
sombra de 2 . Si la sombra proyectada por
el papá mide 3 , ¿Cuál es la estatura? hip co
Con la figura que aparece en el LT, formamos los
triangulos rectangulos: D
A ca C
B A este valor se le conoce como tangente del ( )
1,2
x
En el problema, el valor de = = 0,6
Dado el triángulo rectángulo de la figura, determine
A
2
C E y
B
3
Los triángulos y comparten el mismo

2
ángulo
Entonces:
A 3 C
Según la conclusión, los valores se calculan
dependiendo del ángulo. Por lo tanto,
Por lo tanto, la estatura del papá es de
76 LT 80
Sección 1: Funciones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos
Contenido
4 Funciones trigonométricas seno,
Sección coseno
1: Funciones yángulos
trigonométricas de tangente de un ángulo agudo
agudos en triángulos rectángulos
Contenido 4: Funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de un
ángulo agudo
Determina los valores de las funciones
trigonométricas seno, coseno y tangente de
Definición BC un ángulo agudo.
De la misma forma en que la razón CA depende únicamente del ángulo A, así las razones
BC AC B Secuencia:
AB y AB también dependen solamente del ∠A.
En analogía con el concepto de tangente de
Estas razones reciben los siguientes nombres: un ángulo, brindado en la clase anterior, se
BC
definen seno y coseno de un ángulo agudo de
AB : se llama seno del ∠A y se denota por sen A A C un triángulo rectángulo. Definirlas mediante
AC razones entre los lados de un triángulo
AB : se llama coseno del ∠A y se denota por cos A
rectángulo, permitirá calcular sus valores,
aunque solo se conozca una de estas.
Dado el triángulo rectángulo de la derecha, se definen las funciones
trigonométricas seno, coseno y tangente para el ∠A así: B
a b a
sen A = c cos A = c tan A =
b c a
Puntos esenciales:
En términos de cateto opuesto (co), cateto adyacente (ca) e Explicar que en la definición de seno, coseno
hipotenusa (hip) se tiene:
A b C y tangente de un ángulo, se requiere la
co
sen A = hip
ca
cos A = hip
co
tan A = ca identificación del cateto opuesto, cateto
adyacente respecto a dicho ángulo,
Ejemplo Encuentre las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para el ángulo A del e hipotenusa. No es recomendable
triángulo rectángulo de la derecha. B memorizarlas utilizando las letras a, b y c
5 3
(esta es solamente una notación empleada
El cateto opuesto es 3, el adyacente 4 y la hipotenusa 5 respecto a
para el triángulo mostrado), sino, a partir de
∠A respectivamente. Por tanto,
A 4 C su propia definición:
3
sen A = 5
4
cos A = 5
3
tan A = 4 co ca co
sen A= hip , cos A= hip , tan A= ca .
Dados los triángulos rectángulos siguientes, encuentre sen A, cos A y tan A. Simplificar las razones obtenidas, y, de ser
a)
B
b) c) posible, racionalizar los denominadores que
A posean radicales.
13 3
2 2 5 C
2 2
1
A 2 C C 4 B A 3 B
81
C4: Funciones trigonométricas seno, coseno y Encuentre las funciones trigonométricas B

tangente de un triángulo agudo B para el ángulo del triángulo rectángulo
5
Definición siguiente: 3
= 3; = 4; = 5,
Las razones y también dependen
por lo tanto; A 4 C
solamente del . 3 4 3
A C 5 5 4
Estas razones reciben los siguientes Dados los triángulos de las figuras, determine
nombres: , y .
B
a) =
3 2 3
: seno del y se denota por ; 13 13 2
13 3
: coseno del y se denota por ;
4 2
Dado el triángulo rectángulo de la derecha B A 2 C = ;
b) A 2 5 5
sen = ; cos = ; tan = c a 2 5 2 1 4
2 cos = ; tan A = =2
2 5 5 2
A b C C 4 B
En términos de co ,ca e hip se tiene:
C
sen = ; cos = ; tan = c) 2 2 2 2 1
1 sen = ; cos A = ;
3 3
A 3 B tan A = 2 2
LT 81
77
Contenido
5 Cálculo de los valores de dos funciones trigonométricas a partir del valor de otra
Aprendizajes esperados Contenido 5: Cálculo de los valores de dos funciones trigonométricas a

Determina los valores de dos de las partir del valor de otra
funciones trigonométricas (seno, coseno, Ejemplo 1
5
Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y sen A = 6 , calcule los valores de
tangente) conociendo el valor de la restante. cos A y tan A.
Secuencia: Dado que los valores de las funciones trigonométricas dependen únicamente del ángulo, y
en un triángulo rectángulo sen A = co , sea el triángulo con cateto

B
En clases anteriores se definieron las hip
funciones trigonométricas seno, coseno y opuesto a A igual a 5 e hipotenusa igual a 6.
tangente de un ángulo agudo. Es momento Al aplicar el Teorema de Pitágoras se tiene

6 5
de aplicar el Teorema de Pitágoras y la 62 = 52+(ca)2

definición de estas funciones para calcular (ca)2 = 36 - 25 = 11 A ca C
los valores que estas toman.

ca 20, entonces ca = 11
Puntos esenciales: Por tanto, Racionalizando:

Hacer notar que, si se brinda información cos A = ca = 11
hip 6 5 5 11
=d ne o
de una función trigonométrica de un ángulo 11 11 11
tan A = co
5 5 11
agudo, podemos formar un triángulo ca = 11 = 11
rectángulo asociado, en el que se conocerán 3
Ejemplo 2 Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y tan A = 2 , calcule los valores de
dos longitudes de las tres correspondientes sen A y cos A.
a sus lados.
co
Insistir en que el uso del Teorema de Dado que tan A = ca , sea el triángulo con cateto opuesto al ∠A igual a 3 y cateto adyacente
Pitágoras permite determinar el valor de la igual a 2.

B
variable. Al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene
Recordar la definición de cada función (hip)2 = 32 + 22 = 13

3
trigonométrica. y como hip 20, entonces hip = 13
3
Por tanto, sen A = co =
Simplificar las razones obtenidas, y, de ser hip 13
posible, racionalizar los denominadores que cos A = ca =
2
.
A 2 C
hip 13
posean radicales.
1
1. Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y sen A = 4 , calcule los valores de
cos A y tan A.
3
2. Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y cos A = 4 , calcule los valores de
sen A y tan A.
5
3. Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y tan A = 2 , calcule los valores de
sen A y cos A.
82
C5: Cálculo de los valores de dos funciones ( ) =3 +2 3

=
trigonométricas a partir del valor de otra = 13 13
B
Si , calcule los valores de 2
13 =
y 13
6 5
1. Si , determine los valores de y
Como , entonces
y
co = 5 y hip = 6 A ca C
4 =1 +( ) 15
Aplicando el Teorema de Pitagoras se tiene: 4 =( ) cos = =
6 =5 +( ) 4
11 15 = ( )
( ) cos = 1
6 tan = =
entonces 15 15
11 5
tan = 2. Si es un ángulo agudo de un triangulo rectángulo y
11
, determine los valores de y
Si , determine los valores de
B Por los datos se tiene: y Así que:
y
4 =( ) +3 7
Como , entonces 3 ( ) =
4
y 7=( )
7 7
A 2 C tan = =
3
Aplicando el Teorema de Pitágoras se tiene:
78 LT 82
Sección 2: Valores de las funciones trigonométricas de ángulos agudos
Contenido
1 Valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 45°
Sección 2: Valores de las funciones trigonométricas de Aprendizajes esperados

ángulos agudos Determina los valores de las funciones
Contenido 1: Valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 45° trigonométricas del ángulo de 45°.
Dado el triángulo rectángulo isósceles de abajo, calcule los valores de sen 45°, cos 45° y
tan 45°. B Secuencia:
Damos inicio a esta sección calculando las
funciones trigonométricas definidas en la
1
sección anterior, para un ángulo de 45°. Esto,

45°
A 1 C
para concretar los valores de las funciones

Por el teorema de Pitágoras: trigonométricas para los ángulos 30°, 45° y
AB2 = 12+12 = 2
60°. En la próxima clase se calcularán los
AB = 2
Luego, B valores correspondientes de las funciones
trigonométricas para 30° y 60°.
co
sen 45° = hip = 1
2 2 1
Puntos esenciales:
ca 1
cos 45° = hip =
2 45°
Hacer notar que el triángulo del problema
A 1 C planteado es isósceles.
co 1
tan 45° = ca = 1 =1
Explicar que el Teorema de Pitágoras es
la herramienta a usar para determinar la
Sea el triángulo rectángulo de la figura de abajo:
B
longitud de la hipotenusa. Sin esta medida
no es posible calcular los valores de las
3 funciones trigonométricas.
45° Observar que, independientemente
A 3 C
del tamaño del triángulo rectángulo
a) Calcule sen 45°, cos 45° y tan 45°.
isósceles, las funciones trigonométricas
b) ¿Cómo son estos valores respecto a los obtenidos en el problema?
para 45° son siempre los mismos:
1 1
sen 45° = , cos 45° = , tan 45° = 1.
2 2
84
S2: Valores de las funciones trigonométricas de

ángulo agudo
Sección 2: Valores de las funciones trigonomé-
Dado el triángulo:
C1: Valores de las funciones trigonométricas del
B
tricas de ángulos agudos

ángulo de a) Calcule sen 45°, cos 45° y tan 45°.
Dado el triángulo rectángulo isósceles, calcule 3
los valores de sen 45°, cos 45° y tan 45° Se calcula la hipotenusa :
45°
B 3 C
A
45° sen 45° = = =

3 2 2
A 1 C
3 1
= 1 + 1 = 2, entonces 2 cos 45° = = =
Luego, 3 2 2
1 3
= tan 45° = = =1
2 3
1
= b) ¿Cómo son estos valores respecto a los
2 obtenidos en el problema?
Son iguales.
LT 84
79
Contenido
2 Valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°
Sección 2: Valores de las funciones trigonométricas
de ángulo agudo
Aprendizajes esperados Contenido 2: Valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de
30° y 60°
Determina los valores de las funciones
Calcule los valores de:
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°. sen 30°, cos 30° y tan 30°
sen 60°, cos 60° y tan 60°
Secuencia: B
En esta clase se calculan los valores de las Considere el triángulo equilátero de la figura. Como la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180° y un triángulo equilátero tiene sus tres
funciones trigonométricas para 30° y 60°. Así ángulos con la misma medida, resulta que cada ángulo mide 60°. 1 1
se completan los valores para los ángulos de

30°, 45° y 60°. A 1 C
Al trazar la bisectriz correspondiente al ángulo B, esta es perpendicular B
Puntos esenciales: a AC y lo corta en su punto medio, obteniéndose la figura de la derecha.

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el 3 ABD se tiene:
30°
Explicar que el concepto de triángulo equilátero, 1 1
y sus características permiten calcular los 1 2

BD 2 + b 2 l = 1
valores de las funciones trigonométricas:
60°
A 1 D C
2
1 3
1. Lados de igual medida. BD 2 = 1- 4 = 4
2. Ángulos internos de 60°.
3
3. Bisectriz (segmento que divide a cada Como se sabe que BD 20, entonces BD = 2
ángulo interno en dos ángulos de igual Se aplica la definición de las funciones trigonométricas para obtener:
medida) perpendicular al lado opuesto del 1 3
1 3
vértice por el cual pasa, cortándolo en su sen 30°= 2 = 2
sen 60°= 1 = 2
1 2
punto medio. 3 1
a
b = a ' c = a # d = ad
2 3 1 c
cos 60°= 2 =
b c
Indicar que se forman dos triángulos
b d bc
cos 30°= 1 = d
2 1 2
rectángulos congruentes, en los que se 1 3
conocen las longitudes de las hipotenusas y tan 30°= 2 =
3
1
3
2
tan 60°= 1 = 3
uno de los catetos correspondientes. 2 2
Analizar que en estos triángulos es posible

determinar los valores de las funciones Complete la tabla haciendo uso de los triángulos siguientes:
trigonométricas. ∡A = 30° ∡A = 45° ∡A = 60°
B
sen A
Observar que los valores de las funciones cos A
B B
2 3
trigonométricas para 30°, 45° y 60° son los tan A 2 1 2 1
mismos, independientes de las longitudes de A

30°
3 C A
45°
1 C A
60°
1 C
los lados de los triángulos.

85
C2: Valores de las funciones trigonométricas de los Complete la tabla haciendo uso de los triángulos
ángulos de y B
Calcule los valores de: sen 30°, cos 30°, tan 30°
sen 60°, cos 60°, tan 60° B B
Cada ángulo mide 60°. Se traza la bisectriz del ángulo B. 2 3
Bisectriz es la perpendicular a que lo corta en su 2 1 2 1
punto medio. B
30° 45° 60°
La suma de los ángulos interiores de

A 3 C A C A C
30°
un triángulo es 180°. Aplicando el 1 1
30° 45° 60°
Teorema de Pitágoras, 1 1 3
60° 2 2 2
+ =
A 1 D C
2 3 1 1
así 2 2 2
1
Aplicando la definición de 1 3
las funciones trigonometricas, 3
1 1 3
sen 30° = = , sen 45° = = , sen 60° = =
sen 30° = = , cos 30° = = , tan 30° = =
2 2 2
1 1
cos 30° = =
3
, cos 45° = = , cos 60° = =
2
2 2
sen 60° = = , cos 60° = = , tan 60° = = 3
tan 30° = =
1 , tan 45° = =1, tan 60° = = 3
3
80 LT 85
Sección 3: Resolución de triángulos rectángulos
Cálculo de la longitud de dos de los lados de un triángulo rectángulo
Contenido
1 conociendo un lado y un ángulo agudo
Sección 3: Resolución de triángulos rectángulos Aprendizajes esperados

Contenido 1: Cálculo de la longitud de dos de los lados de un triángulo
Calcula la longitud de dos de los lados de
rectángulo conociendo un lado y un ángulo agudo un triángulo rectángulo conociendo un lado
B
y un ángulo agudo.
1 Dado el triángulo de la derecha, calcule las longitudes de los catetos a y b.
6 a Secuencia:
60°
Teniendo los valores de las funciones
trigonométricas calculados en la sección
A b C
1
a
Por definición se tiene: sen 60° = 6 y cos 60° = 6
b anterior, es posible completar información
referida a las partes de un triángulo: las
3 1
Como sen 60°= 2 y cos 60°= 2 , entonces: longitudes de sus tres lados, conociendo
a 3 b 1 solo uno y un ángulo agudo de este
6 = 2 6 = 2
triángulo (este ángulo agudo será uno de
3m 1
a= c
2
(6) b = b 2 l (6) los estudiados en la sección anterior). Pero,
a= 3 3 b= 3
¿podemos restringirnos a estos ángulos
solamente? En esta unidad se establecerán
Por tanto, a= 3 3 y b=3. los valores de las funciones trigonométricas
B para otros ángulos agudos.
2 Dado el triángulo de la derecha, calcule el valor de a.
a
C 4
30°
A Puntos esenciales:
Aplicar la definición de las razones
trigonométricas de acuerdo a las variables
2
1 1
, entonces a= 4 .
a
Por definición tan 30°= 4 y tan 30°=
a
, así que: 4 =
3 3 3
que se tengan. En el ejemplo, no se
recomienda utilizar la tangente, en vista
Dado el triángulo rectángulo de la derecha, se cumple que: B
a=c sen A b=c cos A a=b tan A c a

de que esta reuniría las dos variables en
A b C
su definición. Esto difiere en el segundo
ejemplo. En este no es prudente utilizar seno
Calcule la longitud de los lados desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos:
o coseno, pues se desconoce la hipotenusa
a) B b) y un cateto.
B
2 a a c
Recordar las propiedades de proporciones
60° 30°
para determinar el valor de una variable.
A b C C 3 A
86
S3: Resolución de triángulos rectángulos

Dado el triángulo rectángulo, se cumple que: B
C1: Cálculo de la longitud de dos de los lados de un
triángulo rectángulo conociendo un lado y un B
c a
ángulo agudo
Calcule las longitudes de los catetos A b C
y . 6 a Encuentre la longitud de los lados desconocidos de los

siguientes triángulos rectángulos.
B
sen 60° = y cos 60° = 60° a) 3 b)
6 6 A b C sen 60° = =
Como sen 60° = y cos 60° = , entonces: 2 2 c
3
3 1 1 (2) 3 30°
2
= = C 3 A
6 2 6 2 2 En otra manera, Como:
° 1
3
(6) = 3 3 Por tanto, 3 y tan 30° = =
2 = (2) = 3 3 3
1 3
Calcule el valor de . También, (3) =
1 1 3 3
B cos 60 ° = = (2) = 1
2 2 2 También,
tan 30° = y tan 30° = ,
En otra manera,
3 3
a cos 30° = =
así que = ° 2
30° 3 2 6
= (2) =1
4
LT 86
81
Contenido
2 Aplicación de los valores de seno y coseno Sección 3: Resolución de triángulos rectángulos
Contenido 2: Aplicación de los valores de seno y coseno
Aplica las funciones trigonométricas seno
y coseno en la solución de problemas del
entorno. En la figura de la derecha, uno de los extremos de la escalera
B
se encuentra apoyado sobre el borde superior de la pared, esta

Secuencia: mide 3 m y forma un ángulo de 60° con respecto al suelo. Calcule: 3m
a) La altura de la pared.
Esta clase refleja los cálculos matemáticos
b) La distancia entre el pie de la escalera y la pared.
aprendidos en la sesión anterior, pero en A
60o
C
una situación del entorno: la altura de la

pared y la distancia del pie de la escalera a
a) La longitud de la escalera AB coincide con la hipotenusa del triángulo
la pared son medidas desconocidas de un
B
rectángulo ABC que se forma. Por lo cual,
triángulo rectángulo. BC
sen 60° = AB
3
de lo cual se tiene que
Puntos esenciales: BC = AB sen 60°

3
Visualizar claramente el triángulo rectángulo = (3) c 2 m Recuerde: A
60°
C
3
formado en esta situación. 3 3 sen 60°= 2
= 2
Determinar los datos del problema para 3 3
Entonces la altura de la pared es .
relacionarlo con los cálculos de la clase 2 m
anterior: se conoce la longitud de la b) La distancia entre el pie de la escalera y la pared es AC, la que coincide con el cateto
adyacente correspondiente al ángulo A del triángulo. Luego,
hipotenusa y un ángulo agudo. AC
cos 60° = ,
AB
Hacer notar que no se puede utilizar tangente, de donde Recuerde:
1
sino, seno y coseno para determinar los AC = AB cos 60° cos 60° = 2
1
valores solicitados en la situación ya que = (3) b 2 l
corresponden a las longitudes de los catetos = 2
3
del triángulo formado. 3
La distancia entre el pie de la escalera y la pared es 2 m.
Explicar que situaciones como las expuestas

en esta clase requieren de los valores de Una cuerda de 8 m está estirada desde la punta
de un asta de bandera hasta el suelo, y forma con
las funciones trigonométricas seno y coseno este un ángulo de 30°. Calcule: 8m
para los ángulos 30° y 60°. a) La altura del asta.
h
b) La distancia entre el extremo de la cuerda que 30o

está sobre el suelo y el pie del asta. A B
87
C2: Aplicación de los valores de B

Una cuerda de está C
seno y coseno estirada desde la punta de un
La escalera de 3 se encuentra 8m
3m
asta de bandera hasta el suelo, h
apoyada sobre la pared y forma un y forma con este un ángulo de
30 o
ángulo de 60° con respecto al suelo. 30°. A B
Calcule: 60 o
a) La altura de la pared. A C
Encuentre:
b) La distancia entre el pie de la escalera y la a) La altura del asta
pared.
Como sen 30° y sen 30° = , =8
a) sen 60° = , entonces °
Entonces, =8 =4
3 3 3
= (3) = La altura del poste es de 4
2 2
La altura de la pared es b) La distancia entre el extremo de la cuerda que
está sobre el suelo y el pie del poste
b) Distancia entre el pie de la escalera:
cos 60° = donde, Como 30° =8 y 30° = ,
1 3 entonces
° = (3) = 3
2 2 = 8 =4 3
La distancia entre el pie de la escalera y la 2
pared es . La distancia es de .
82 LT 87
Contenido
3 Tabla de valores de las funciones trigonométricas de ángulos entre 0° y 90°
Contenido 3: Tabla de valores de las funciones trigonométricas de
ángulos entre 0° y 90° Calcula los valores de las funciones
En la tabla de la derecha se presentan los valores de las Tabla de funciones trigonométricas
trigonométricas de ángulos entre 0° y 90°.
funciones trigonométricas para ángulos entre 1° y 25°.
Ángulo A sen A cos A tan A
Ejemplo 1 Se observa en la tabla de razones trigonométricas 1° 0,0175 0,9998 0,0175
Secuencia:
que para A = 10°: 2°
3°
0,0349
0,0523
0,9994
0,9986
0,0349
0,0524
En esta clase se presentan más valores de
sen 10° = 0,1736 4°
5°
0,0698
0,0872
0,9976
0,9962
0,0699
0,0875
las funciones trigonométricas para ángulos
cos 10° = 0,9848 6°
7°
0,1045
0,1219
0,9945
0,9925
0,1051
0,1228
agudos. Al final de esta unidad se muestra
tan 10° = 0,1763 8°
9°
0,1392
0,1564
0,9903
0,9877
0,1405
0,1584
una tabla trigonométrica para las funciones
Encuentre los siguientes valores utilizando la tabla de
10° 0,1736 0,9848 0,1763 seno, coseno y tangente, para un ángulo A
11° 0,1908 0,9816 0,1944
la derecha: 12° 0,2079 0,9781 0,2126 para el cual 0° # A # 90° .
13° 0,2250 0,9744 0,2309
14° 0,2419 0,9703 0,2493
a) sen 7° = 15° 0,2588 0,9659 0,2679
16° 0,2756 0,9613 0,2867 Puntos esenciales:
17° 0,2924 0,9563 0,3057
b) cos 12° = 18° 0,3090 0,9511 0,3249 Tener presente que la tabla puede usarse en
19° 0,3256 0,9455 0,3443
20° 0,3420 0,9397 0,3640 dos sentidos:
21° 0,3584 0,9336 0,3839
c) tan 25° = 22°
23°
0,3746
0,3907
0,9272
0,9205
0,4040
0,4245
1. Dado el ángulo agudo, se puede
La tabla de los valores de las funciones trigonométricas
24° 0,4067 0,9135 0,4452 determinar el valor de las funciones
25° 0,4226 0,9063 0,4663
para 0° # A # 90° se presenta al final de la unidad ... ... ... ... trigonométricas recorriendo la línea
(Página 94).
correspondiente al ángulo en cuestión,
y de izquierda a derecha, el primer
Ejemplo 2 Sabiendo que A es un ángulo agudo, ¿cuál es el valor de A, si cos A = 0,9135?
valor corresponde a seno, el segundo a
Para encontrar A se ubica el valor 0,9135 en la columna de los valores que toma
cos A. Luego, se selecciona el valor de A que corresponde a la fila en la que se
coseno y el tercero a tangente.
encuentra 0,9135. 2. Si se tiene el valor de una de las funciones
Observe que en este caso, A = 24°. trigonométricas, puede determinarse
el ángulo asociado, localizando este
2
Encuentre en la tabla trigonométrica el valor de A en cada uno de los siguientes casos:
decimal en la tabla; la fila en la que se
ubique este decimal, tendrá como primer
a) sen A = 0,3907
valor el del ángulo asociado.
b) cos A = 0,9703
c) tan A = 0,3640
88
C3: Tabla de valores de las funciones

trigonométricas de ángulos entre y Sabiendo que es un ángulo agudo, ¿cuál es el
valor de si ?
Haciendo uso de la tabla de razones
trigonométricas que aparece al LT, se observa °
que:
Para °, se tiene: Encuentre el valor de en cada uno de los siguientes
casos:
sen 10° = 0.1736
a) , 23°
cos 10° = 0, 9848
tan 10° = 0.1763
b) 14°
Encuentre los siguientes valores.

c) 20°
a) sen 7° = 0,1219
b) cos 12° = 0,9781
c) tan 25° = 0,4663
LT 88
83
Contenido
4 Aplicación del valor de la tangente Sección 3: Resolución de triángulos rectángulos
Aprendizajes esperados B
Contenido 4: Aplicación del valor de la tangente
Aplica la función trigonométrica tangente en
la solución de problemas del entorno. Ejemplo En la figura de la derecha el cable que tira desde la punta de
un poste forma con el piso un ángulo de 64°. Se sabe que la
distancia entre el pie del poste y el extremo del cable que está
sobre el piso es 5 m, encuentre la altura del poste (hasta las
Secuencia: décimas). A
64o
5m
C
Las aplicaciones de las funciones trigo-

nométricas en el entorno son muchas, y de Por definición de tangente:
singular importancia. En clases anteriores BC
tan 64°= AC
se resolvieron situaciones aplicando dichas Dado AC = 5, se tiene
En la tabla al final de la
funciones, pero sujetas a los valores corres- BC = AC tan 64° unidad se encuentra que
pondientes a 30°, 45° y 60°. Contando con = (5)(2,0503) tan 64° = 2,0503
una cantidad mayor de valores, no se hace = 10,2515

La altura del poste es 10,3 m aproximadamente.
restricción a dichos ángulos.
Puntos esenciales: Resuelva las siguientes situaciones.
Visualizar claramente el triángulo rectángulo a) En la figura de la derecha, la cuerda que tira

desde la cima del árbol forma con el suelo
formado en cada situación. un ángulo de 32°. Sabiendo que la distancia
entre el pie del árbol y el extremo de la cuerda
Determinar los datos del problema para sobre el piso es 10 m, encuentre la altura del
32o
árbol (hasta las décimas).
relacionarlo con los cálculos de las clases
anteriores. 10 m
Hacer notar que la variable de la situación

b) Un estudiante de 1,65 m de altura se encuentra
del problema corresponde a la longitud de a 5 m del asta de una bandera observando el
un cateto del triángulo formado y se conoce extremo superior de esta.
la medida del otro, de modo que se ha de Si el ángulo formado por la línea de visibilidad del
h
estudiante con el extremo superior de la bandera
utilizar la tangente. y la línea horizontal es aproximadamente 39°, 39o
¿cuál es la altura aproximada del asta? (hasta
Indicar que situaciones como las expuestas las décimas) 1,65 m
en esta clase requieren de los valores de las 5m
funciones trigonométricas dadas en la tabla
al final de unidad.
89
C4: Aplicación del valor de la tangente

B
Si la distancia entre el pie del árbol
El cable forma con el piso un y el extremo de la cuerda sobre
ángulo de 64°. Sabiendo que el piso es encuentre 32o
la distancia entre el pie del la altura del árbol. 10m
poste y el extremo del cable Sea la altura del árbol. Como ° entonces,
que está sobre el piso es de
° = (10)(0,6249) = 6,24
encuentre la altura del
64o La altura del árbol es de
poste. A C
5m aproximadamente.
Por definición de tangente: b) Leer en LT.

Formamos la siguiente figura.
por lo tanto; h
tan 64° = En este caso ( ) es la
39o
° altura del asta. Estudiante
diante
= (5)(2,0503) tan 64° = 2,0503 1,65 m
= 10,2515
5m
La altura del poste es 10,3 m aproximadamente.
Como tan 39° = entonces,
Resuelva las siguientes situaciones: ° = (5)(0,8098) = 4,05
a) En la figura, la cuerda que tira desde la cima La altura del asta es de aproximadamente
del árbol forma con el suelo un ángulo de 32°.
84 LT 89
Sección 4: Relaciones entre seno, coseno y tangente
Contenido
1 Relación entre sen A y cos (90°-A) , cos A y sen (90°-A)
Sección 4: Relaciones entre seno, coseno y tangente Aprendizajes esperados

Contenido 1: Relación entre sen A y cos (90°-A) , cos A y sen (90°-A)
Establece y aplica las relaciones
sen A = cos (90° - A) y
Dado un ángulo agudo A en el 3 ABC rectángulo,
responda las siguientes interrogantes: Los ángulos agudos de cos A = sen (90° - A)
un triángulo rectángulo
a) ¿Qué relación guardan sen A y cos (90°-A)?
b) ¿Qué relación guardan cos A y sen (90°-A)?
suman 90°. Secuencia:
Los valores de las funciones trigonométricas
Sea un triángulo rectángulo como el de la figura, en el que uno de
seno y coseno pueden relacionarse
sus ángulos es A. Por definición de las funciones seno y coseno,
B
considerando los ángulos agudos de
se tiene:
a b un triángulo rectángulo, los cuales son
sen A= c cos A = c c a
complementarios.
b
sen B= c
a
cos B = c
A b C
Esta relación se establece mediante las
Se observa que sen A = cos B y cos A = sen B.
identidades de esta clase, las cuales son las
Como B = 90°-A, resulta que sen A = cos (90°-A) y cos A = sen (90°-A).
primeras de varias que se presentarán en
clases posteriores.
Dado cualquier triángulo rectángulo ABC con un ángulo agudo A, se cumple que:
sen A = cos (90°-A) cos A = sen (90°-A) Puntos esenciales:

Recordar el concepto de ángulos comple-
Ejemplo a) Exprese sen 36° como el coseno de un ángulo agudo mayor de 45°. mentarios.
b) Exprese cos 36° como el seno de un ángulo agudo mayor de 45°.
Plantear claramente en la solución del
Para sen 36° se tiene:
problema que la relación B = 90°-A se
sen 36° = cos (90°-36°)
debe a que los ángulos agudos A y B son
complementarios.
= cos 54°
En el caso de cos 36° resulta: Aplicar correctamente la definición de
cos 36° = sen (90°-36°) las funciones trigonométricas para poder
= sen 54° comparar los valores pedidos.
Utilizar la Tabla Trigonométrica para
Una con una raya los valores de la columna 1 que coinciden con los valores de la columna 2. calcular los valores solicitados y verificar las
Columna 1 Columna 2
sen 24° cos 8° identidades establecidas:
cos 75° sen 15°
sen 82° cos 66°
sen A = cos (90° - A), cos A = sen (90° - A)
90
S4: Relaciones entre seno, coseno y tangente

C1: Relación entre y ( ° ), Dado cualquier triángulo ABC con un ángulo
agudo , se cumple que:
y ( ° )
Dado un ángulo agudo , responda las siguientes
interrogantes:
a) Exprese sen 36° como el coseno de un
a) ¿Qué relación guardan y cos(90° )?
ángulo agudo mayor de 45°.
b) ¿Qué relación guardan y sen(90° )?
sen 36° = cos(90° °) = cos 54 °
Sea un triángulo rectángulo ABC. Sabemos que B
b) Exprese cos 36° como el seno de un ángulo
agudo mayor de 45°.
c a cos 36° = sen (90° °) = sen 54 °
Una con una raya los valores de la columna 1

A b C que coinciden con los valores de la columna 2.
Notamos que y .
Como , resulta que Columna 1 Columna2

y sen 24° cos 8°
cos 75° sen 15°
sen 82° cos 66°
LT 90
85
Contenido sen A
2 Relaciones trigonométricas tan A = y sen² A+cos²Sección
A= 1
cos A 4: Relaciones entre seno, coseno y tangente
Aprendizajes esperados sen A

Contenido 2: Relaciones trigonométricas tan A = cos A y sen² A+cos² A = 1
Establece y aplica las relaciones
sen A Dado un ángulo agudo A, responda los siguientes incisos:
tan A = y sen 2 A + cos 2 A = 1.
cos A sen A ?
a) ¿Qué relación guardan tan A y
cos A
Secuencia: b) ¿A qué cantidad es igual la suma sen2 A+cos2 A?
En la clase anterior se obtuvieron identidades
que relacionan las funciones seno y coseno. a) Sea un triángulo rectángulo como el de la figura, en el que uno
En esta se clase se obtienen dos más, de sus ángulos es A. Por definición de las funciones seno, B
coseno y tangente, se tiene:
una de ellas nuevamente vinculando estas
a b
funciones y otra que relaciona las tres sen A = c , cos A = c , c a
funciones trigonométricas: seno, coseno y tan A =

a
b
①
tangente. y A b C
Esta clase está destinada a la demostración sen A sen A÷cos A

cos A = (sen A)2=sen2 A
de dichas identidades. Posteriormente a b a c a (cos A)2=cos2 A
=c 'c = c #b = b ②
se utilizarán para determinar valores de
funciones trigonométricas. sen A
De ① y ②, tan A = cos A .
b) Se tiene que:
Puntos esenciales:
Aplicar las definiciones de las funciones
2 2
sen2A+cos2A = b a l bbl
c + c
Teorema de Pitágoras
trigonométricas en un triángulo rectángulo. a b2 2

B
= c2 + c2
Estas son usadas para la prueba de ambas
identidades. a2 + b2 c a
= c2
Recordar claramente la división de fracciones. = c2

c2
A b C
Además, la suma de fracciones es requerida =1
c2 = a2+b2
en la segunda identidad tratada: recuérdese Por tanto, sen2A+cos2A = 1.
que si los denominadores son iguales, se
procede a sumar los numeradores, y se deja
Dado cualquier ángulo agudo A, se cumple que:
el mismo denominador.
tan A = sen A sen2A+cos2A =1
Recordar el enunciado del Teorema de cos A
Pitágoras.
91
C2: Relaciones trigonométricas y
Dado un ángulo agudo , responda las siguientes

interrogantes:
a) ¿Qué relación guardan y ? Teorema de Pitágoras
b) sen + B
b) ¿A qué cantidad es igual la suma
?
= + = = =1 c a
a) Sea el siguiente triangulo rectángulo. Sabemos
que: B
A b C
c a Por lo tanto, sen .

Entonces,
Dado cualquier ángulo agudo se cumple que:
A b C
= ÷ = × =
Por lo tanto,
86 LT 91
Valores de las funciones trigonométricas utilizando tan A = sen A y sen2 A+cos2 A = 1
Contenido
3
Unidad 5: Introducción a la Trigonometría cos A
Contenido 3: Valores de las funciones trigonométricas utilizando
sen A
tan A = sen A y sen2 A+cos2 A = 1 Aplica las relaciones tan A = y
cos A cos A
sen A + cos A = 1.
2 2
Ejemplo Calcule cos A y tan A si 0° < A < 90° y sen A = 4 . Utilice la conclusión del contenido
5
anterior.
Secuencia:
4
Al sustituir sen A = 5 en sen2A+cos2A = 1 se tiene: Las identidades de la clase anterior se pue-
b 4 l + cos 2 A = 1
2
den utilizar para determinar los valores de las
5
4 2 funciones trigonométricas, conociendo una de
cos2A = 1 - b 5 l
16 9
estas. En secciones anteriores se abordó este
cos2A = 1 - 25 = 25
caso, pero recurriendo a la definición misma
de las funciones trigonométricas y el Teorema
Como 0° < A < 90°, entonces cos A > 0. En consecuencia,
de Pitágoras; esta vez se procede utilizando
cos A =
9 3
25 = 5 solamente las identidades y realizando los
cálculos algebraicos necesarios.
Luego,
tan A =
sen A
sen A ' cos A Puntos esenciales:
cos A =
4 3 Aclarar el orden en el uso de las identidades:
= '
5 5
4 5 Al conocerse en el problema el valor
= #
5 3
4
de sen A, se debe utilizar la identidad
=
3 sen 2 A + cos 2 A = 1 para determinar el valor
3 4
Por tanto, cos A = 5 y tan A = 3 .
de cos A.
Teniendo estos dos valores se calcula el de
tan A, pues no es más que el cociente de
a) Utilice la conclusión del contenido anterior para calcular sen A y tan A, sabiendo que:
4
estos números.
0°<A<90° y cos A = 5 .
Explicar que la toma de la raíz cuadrada
b) Calcule cos A y tan A utilizando la conclusión del contenido anterior y sabiendo que: solamente, la justifica la propiedad si
2
0°<A<90° y sen A = 3 , y calcule cos A y tan A. 0° < A < 90° , entonces sen A, cos A y tan A
son números positivos.
Procurar simplificar todas las raíces
cuadradas y fracciones en caso de que sea
posible.
92
C3: Valores de las funciones trigonométricas 9 3

Como , =5
utilizando y 25
Además,
Si y , calcule y
3 4 3 5 3
utilizando la conclusión del contenido anterior. = ÷ = × =
5 5 5 4 4
Si , entonces + cos
Por tanto, y .
4 16 9
cos = =
5 25 25 25 b) 0° ° y y calcule y .
2
Como así , = Como y sen
3
4 3 4 5 4 + cos ,
Además, = = ÷ = × =
5 5 5 3 3 5 5
cos = =
9 3
Por tanto, y .
a) Si y , y calcule y . Además, ÷
Como y sen entonces: 2 3 2
= × =
3 5 5
Por tanto, y
LT 92
87
Nombre: _____________________________ Sección: __________

Prueba / 20
Sexo: M /de
F Unidad 5
1. Dado el triángulo rectángulo, encuentre sen A, cos A y tan A . (1 punto × 3 = 3)

sen A =
B
13 3
cos A =
A 2 C
tan A =
1
2. Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y sen A = 4 , calcule los valores
de cos A y tan A. (2 puntos × 2 = 4)
cos A =
tan A =
88
3. Compare la tabla haciendo uso de los triángulos de la figura. (1 punto × 9 = 9)
A 30o 45o 60o

sen A
cos A
tan A
B B
2
2 2 3
1 1
30° 45° 60°
A 3 C A 1 C A 1 C
4. Calcule la longitud de los lados desconocidos del siguiente triángulo rectángulo.

(2 puntos × 2 = 4)
B
c b
b
60° =
A 2 C
c =
Nombre: ________________________________
89
Unidad 6
7
Funciones Trigonométricas
Sección 1 Funciones trigonométricas de
un ángulo cualquiera
Sección 2 Relación entre seno, coseno y

tangente
Sección 3 Relación entre funciones

trigonométricas
Sección 4 Gráfica de las funciones

trigonométricas
Unidad 6: Funciones Trigonométricas

Contenido
1 Ángulo en sentido amplio Unidad 6: Funciones Trigonométricas
Aprendizajes esperados Sección 1: Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Define el concepto de ángulo en sentido
Contenido 1: Ángulo en sentido amplio
amplio.
En trigonometría, un ángulo está determinado por la rotación de un P
rayo alrededor de su origen.
Secuencia:
al
Se fija un rayo OX en el plano y sobre él se traza el rayo OP. Cuando
rmin
En la unidad anterior se encontraron valores se rota el rayo OP hacia arriba alrededor de su origen, O, se forma el
o te
lad
∠XOP.
para funciones trigonométricas de un ángulo En este caso, al rayo OX se le llamará lado inicial y al rayo OP, lado O lado inicial X
agudo de un triángulo rectángulo. Pero, terminal.

¿podemos calcular los valores de estas para Se pueden considerar dos direcciones para la P
rotación del lado terminal OP de dicho ángulo.
otros ángulos, o inclusive, para cualquier
P
Se dirá que rota en dirección positiva, si gira
número real, sin tener que derivarse de un en dirección opuesta a las manecillas del reloj,
y rota en dirección negativa, si gira hacia la Rotación en dirección positiva O X
triángulo rectángulo? misma dirección de las manecillas del reloj. O X Rotación en dirección negativa
En esta unidad se responde afirmativamente a El rayo que se encontrará en una posición

girada en un ángulo θ, se denominará lado terminal de θ .
esta interrogante. Se comienza estableciendo
la noción de ángulo en Trigonometría.
Ejemplo Trace el lado terminal OP de un ángulo con medida:
a) 50° b) -50° c) 240° d) 390°
Puntos esenciales:
Recordar el concepto de rayo y su representa- a) b) c) d)
ción gráfica mediante una flecha, cuyo punto P
O X 240o
P
de partida u origen es el vértice del ángulo a -50o

O X
390o
30o
formar. 50o 60o
O X
O X P
Establecer la noción de rotación de forma P
intuitiva y mostrarla en la pizarra mediante el Nótese que en la figura del inciso d) se han mostrado los lados iniciales y terminales de los
uso del transportador, haciendo notar cuál es ángulos 30° y 390°. Para ambos, estos lados coinciden, ya que 390° = 30°+(360°)(1). Es decir,
para obtener un ángulo de 390° se ha dado una vuelta completa de 360° al lado terminal de
lado inicial y cuál el lado terminal del ángulo. 30°. A estos ángulos se les llama coterminales.
En general, si un ángulo α tiene lado terminal OP, los ángulos descritos por la expresión
Realizar representaciones de ángulos α+360°n, siendo n un número entero, tienen como lado terminal también a OP.
coterminales notando que al dar una vuelta
completa se han recorrido 360°, lo que permite Trace el lado terminal OP de un ángulo con medida:
la coincidencia entre los lados terminales de a) 30° b) -60° c) 210° d) 420°
los ángulos en cuestión.
96
U6: Funciones trigonométricas P

S1: Funciones Trigonométricas de un ángulo cualquiera d) El ángulo de 30o y el de 390o
C1: Ángulo en sentido amplio P
390o
se llaman coterminales pues
Sección 1: Funciones
un ángulo está trigonométricas de un ángulo cualquiera
30o
En trigonometría, O X
sus lados coinciden.
al
determinado por la rotación de un

rmin
o te
rayo alrededor de su origen.

lad
Trace el lado terminal de:

O lado inicial X
P
P
a) 30° b)
P X
O
60o
O X
O 30o
O X
X
“Dirección positiva” “Dirección negativa” P
c) 210° d) 420°
Trace el lado terminal de: P
210o
a) 50° b) c) 240° d) 390° X
P O 420o 60o
Solución: O X
a) P b) O X c) 240o
-50o
O X
60o
50o
P
O X P
92 LT 96
Sección 1: Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Contenido
2 Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera
Contenido 2: Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera
Define las funciones trigonométricas
Dibuje, en el plano cartesiano, el triángulo rectángulo POH de la derecha,
P seno, coseno y tangente para un ángulo
considerando al vértice O como el origen y establezca una relación entre cualquiera.
las coordenadas de P y los valores que toman las funciones trigonométricas 2 3
para el ángulo de 60°.
60o
Secuencia:
O 1 H En esta clase se establece una relación
entre las coordenadas de un punto
Al dibujar el triángulo rectángulo POH en el primer cuadrante del plano cartesiano, considerando cualquiera y los valores que toman las
el vértice O como el origen, se tiene la siguiente figura:
funciones trigonométricas de un ángulo θ,
De donde, OH = 1 y PH = 3 .
y P (1, 3 ) iniciando con ángulos agudos, trazados en
Por tanto, las coordenadas de P son (1, 3 ).
el primer cuadrante del plano cartesiano.
2 3 3 1 3
Como sen 60° = 2 , cos 60° = 2 y tan 60° = 1 , Posteriormente, esta relación permitirá ubicar
60o x se establecen las siguientes relaciones: valores de las funciones trigonométricas para
O 1 H
ángulos con lado terminal en los restantes
P (1, 3 )
sen 60° =
ordenada de P
=
3 cuadrantes. Esta ubicación en los distintos
OP 2
abscisa de P 1
abscisa de P cuadrantes permitirá determinar los signos de
cos 60°= =
OP 2 ordenada de P
los valores de las funciones trigonométricas.
ordenada de P 3
tan 60° =
abscisa de P
=
1 = 3
Puntos esenciales:
Recordar que las coordenadas de un punto
En general, dado un ángulo cualquiera θ y su lado terminal P ^ x, yh se denominan abscisa x y ordenada
OP, con OP = r, el punto P con coordenadas (x, y) o simplemente y
y.
r
P(x, y) será el punto de intersección de la circunferencia de P(x,y)
Explicar que la ubicación de puntos en el
y
radio r y el lado terminal de θ. En este caso, los valores de
r
seno, coseno y tangente del ángulo θ, se definen como:
y x y θ plano cartesiano permite la identificación
sen θ = r , cos θ = r y tan θ = x . -r O x r x
de OH como la abscisa de P, y PH como la
Nótese que estos valores están definidos por las coordenadas ordenada del mismo punto.
del punto P y el radio r. Además, no importando el valor que
Procurar que la conclusión se derive a partir
-r
tome r, estos valores se determinan en función de θ, es por eso
que se denominan funciones trigonométricas del ángulo θ.
de la solución del problema planteado,
identificando que el radio de la circunferencia
Trace el lado terminal OP para el ángulo θ y exprese los valores de sen θ, cos θ y tan θ mencionada corresponde a la hipotenusa del
considerando:
triángulo rectángulo del problema.
a) P( 3 ,1) y r = 2 b) P(-1,1) y r = 2 c) P(-1, 3 ) y r = 2
97
C2: Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera y Funciones Trigonométricas

P
Dibuje en el plano cartesiano, el triángulo r
P(x,y)
del ángulo
y
considerando a O como el origen.
2 3 r
Relacione los valores de sen 60°, cos 60°
θ
y tan 60° con las coordenadas de . 60o -r O x r x
y P (1, 3 ) O 1 H
2 3 -r
60o
O 1 H
x P (1, 3 ) Trace el lado terminal para el ángulo y
expresa los valores de y
abscisa de P considerando:
ordenada de P
a) 3, 1) y
y 3. Las coordenadas de son y
1
ordenada de 3 P ( 3, 1) 2
sen 60° = = r=2
2 1 3
abscisa de 1 θ
= O 3 x
2 2
ordenada de 3
abscisa de
LT 97
93
Contenido Determinación de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo
3 cualquiera Unidad 6: Funciones Trigonométricas
Aprendizajes esperados Contenido 3: Determinación de los valores de las funciones

Determina el valor de las funciones trigo- trigonométricas para un ángulo cualquiera
nométricas seno, coseno y tangente para
un ángulo cualquiera. Determine el valor de sen 120°, cos 120° y tan 120°.
Secuencia: Trace el lado terminal OP de 120° en el plano cartesiano, como sigue

En analogía con la clase anterior, esta vez y
se determinan valores de las funciones P

3 2
trigonométricas para ángulos cuyo lado 60o

1
terminal está en cualquiera de los cuadrantes O x
del plano cartesiano. Se observa que OP está en el II cuadrante, por lo cual P debe
y
P (-1, 3 )
tener abscisa negativa y ordenada positiva. Se traza un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa esté sobre OP y una circunferencia
Puntos esenciales:
2
3
de radio r = 2 como se muestra en la figura, así se deduce que el 60o
Recordar la definición de las funciones:

1
punto P tiene coordenadas (-1, 3 ). Se sustituye estos valores O x
y x y en
sen = r , cos = r , tan = x . y x
sen θ = r , cos θ = r y tan θ = x
y
Tener presente los signos de las coordenadas resulta que sen 120° =
3 -1 1 3
, cos 120° = 2 = - 2 y tan 120° = - 1 = - 3 .
2
del punto P (en el lado terminal del ángulo).
Recordar el concepto de par lineal y el de Para determinar los valores que toman las funciones trigonométricas para un ángulo θ,
se debe tener en cuenta el cuadrante en el que se ubique el lado terminal OP de θ, las
ángulos suplementarios. coordenadas (x, y) del punto de intersección P de la circunferencia de radio r = OP con el
lado terminal OP y las definiciones de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente
Hacer notar que el triángulo trazado en la para un ángulo cualquiera θ.
solución del problema es el que permite
Determine los valores sen θ, cos θ y tan θ para los siguientes valores de θ:
determinar las coordenadas del punto de y y
intersección de P. a) θ = 135°
P
2 b) θ = 240° 2
2 3
Identificar en la ejercitación que los triángulos

240o
135o
x
O 2 -2 O 2 x 60o
- 2
rectángulos dados, brindan información P

1
respecto a las coordenadas de P, en cada

-2
- 2
2
ángulo trazado.
1
c) θ = -210° y d) θ = -315° y 30o
2 2 3
P
P
-315o
O
-2 2 x - 2 2 x 2 1
-210o
- 2 1
-2
98
C3: Determinación de los valores de las funciones

Determine los valores y para los
trigonométricas para un ángulo cualquiera
siguientes valores de
Recuerde:
a) 1
y sen 135° =
P( , 2) 2
2 3 2
2
2 1 P
1
45o
2 1
30o
60o
1 135o
3 1 45o x
1
O 2
2
- 2
Determine el valor de sen 120° , cos 120° y tan 120°.

y
- 2
Sustituyendo los valores en
P (-1, 3 )
2 b)
3
60o
y
1 O x
2 3
2
240o
-1 1
-2 O 2 x
60o 2
3 1 3
sen 120° = , y tan 120° = 3. - 3
2 2 P( , 3) P tan 240° = 3
-2
94 LT 98
Contenido
4 Signos de las funciones
Sección 1:trigonométricas
Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Contenido 4: Signos de las funciones trigonométricas
Determina el cuadrante en el que se ubica
el lado terminal de un ángulo cualquiera θ,
y
Signo de seno, coseno y tangente
El cuadrante en el que se ubique el lado terminal OP del ángulo θ depende IIC IC conocido el signo que toma cada una de las
del signo que tome cada una de las funciones trigonométricas en dicho
ángulo, en consecuencia se tiene que: IIIC IVC
x
funciones trigonométricas
IC II C III C IV C
sen θ + + - - Nota: C significa cuadrante
Secuencia:
cos θ + - - +
Al ubicar puntos en el plano cartesiano se tiene
tan θ
en consideración los signos correspondientes
+ - + -
sen θ cos θ tan θ de sus coordenadas, esto, junto con lo

estudiado en clases anteriores, permite tener en
y y y
+ + - + - + cuenta el signo de los valores de las funciones

trigonométricas en dichos cuadrantes.
x x x
- - - + + -
Ejemplo Determine el cuadrante en el que se ubica el lado terminal de θ, si tan θ > 0 y cos θ < 0.
Puntos esenciales:
Explicar que la tabla de signos brindada al
tan θ
inicio de esta clase permite decidir el cuadrante
y
en el que se ubica el lado terminal de un ángulo
De acuerdo con lo anterior, tan θ > 0 en el I y III cuadrante, y
cos θ < 0 en el II y III cuadrante. Por lo cual, es en el III cuadrante que
- + siempre que se conozca el signo de al menos
se cumple simultáneamente que tan θ > 0 y cos θ < 0. + -
x
dos de las funciones trigonométricas; y hacer
notar que conociendo el signo de solamente
cos θ una función trigonométrica, sin información
y
adicional, no es posible determinar el cuadrante
- + en cuestión.
En consecuencia, el lado terminal de θ se ubica en el III cuadrante. x
- + Insistir en que la determinación de signo para
valores de las funciones trigonométricas será
Determine el cuadrante en el que se ubica el lado terminal de θ, si:
de esencial utilidad en la representación gráfica
a) tan θ > 0 y cos θ > 0
de las mismas.
b) tan θ < 0 y sen θ < 0 Indicar que el uso de la tabla con los signos
c) sen θ > 0 y cos θ < 0
de las funciones trigonométricas o el dibujo de
d) tan θ < 0, cos θ > 0 y sen θ < 0
planos cartesianos señalando los signos de
99 cada una de estas facilita la ejercitación.
C4: Signos de las funciones trigonométricas Determine el cuadrante en el que se ubica el lado
terminal de , si y .
Signo de seno, coseno y tangente
y
en IC y III C
y en IIC y III C
r
P(x, y)
y
r
IIC IC Es en el III cuadrante que se cumple y
IIIC IVC
x .
-r r x
O
El lado terminal de se ubica en el III cuadrante.
C significa cuadrante
-r Determine el cuadrante en el que se ubica el lado
terminal de , si:
a) y
en IC y IIIC
en IC y IVC
El lado terminal se ubica en IC.
sen θ cos θ tan θ
y y y
b) y
+ + - + - + en IIC y IVC
x x x
- - - + + - en IIIC y IVC
El lado terminal se ubica en IVC.
LT 99
95
Contenido Valores de las funciones trigonométricas para los ángulos especiales
5 0°, 90°, 180°, 270° y 360° Unidad 6: Funciones Trigonométricas
Aprendizajes esperados Contenido 5: Valores de las funciones trigonométricas para los ángulos
Determina el valor de las funciones especiales 0°, 90°, 180°, 270° y 360°
trigonométricas seno, coseno y tangente Complete la siguiente tabla: θ 0o 90o 180o
para los ángulos especiales: 0°, 90°, 180°, sen θ
270° y 360°. cos θ
tan θ
Secuencia:
En esta clase se continúa con la determina- Se traza el lado terminal OP, con OP = r, para cada uno de los ángulos 0°, 90° y 180° en el
plano cartesiano, como sigue:
ción de valores de las funciones trigonomé- y y y
tricas, en secuencia con lo tratado en clases r P r
anteriores, esta vez para los denominados án- -r

P
x -r O r x P r x
gulos cuadrantales: 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.
O O
Los valores encontrados son singularmente -r -r -r
importantes para esbozar posteriormente las Cuando θ = 0°, P tiene Cuando θ = 90°, P tiene Cuando θ = 180°, P tiene
coordenadas P(r,0) coordenadas P(0,r) coordenadas P(-r,0)
gráficas de las funciones trigonométricas.
En todos los casos, los lados terminales quedan sobre los ejes de coordenadas, a estos
Puntos esenciales: ángulos se les llama cuadrantales. Se sustituyen los valores correspondientes para θ, x, y y
y x y
r en sen θ = r , cos θ = r y tan θ = x , se puede completar la tabla así:
Explicar que la solución del problema
r
planteado y la ejercitación requieren: 0
sen 0° = r = 0 sen 90° = r = 1 0
sen 180° = r = 0
1. Ubicar los ángulos en cuestión sobre los r

cos 0° = r = 1 0
cos 90° = r = 0
-r
cos 180° = r = -1
ejes coordenados: Para 0° los lados ini- 0

tan 0° = r = 0
r
tan 90° = 0 NE 0
tan 180° = - r = 0
cial y terminal coinciden, en el caso de Nota: NE significa no existe
90°, el lado inicial está sobre el eje x, el

lado terminal sobre el eje y, y para 180°, Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos especiales, se
traza una circunferencia de radio r y el lado terminal del ángulo especial, se determinan las
el lado inicial está sobre el eje x, a la dere- coordenadas del punto de intersección P y se sustituyen dichos valores en la definición de
cha de O, y el lado terminal también sobre cada una de las funciones trigonométricas.
este eje pero a la izquierda de O.

Determine los valores sen θ, cos θ y tan θ para los ángulos 270° y 360°. ¿Con qué valores
2. Recordar que los puntos sobre el eje x coinciden? y y
son de la forma (p, 0) y sobre el eje y, a) θ = 270° r b) θ = 360° r
(0, p).
-r r -r
3. Utilizar las expresiones de las funciones O x P x
O
trigonométricas dadas en clases anterio- P -r
res. 100
C5: Valores de las funciones trigonométricas para

los ángulos especiales ( y
Recuerde:
sen Determine los valores y para
y . ¿Con qué angulos coinciden?
Complete la siguiente tabla.
y
a) y b) y
y y
r P (0,r) r r r
P (r,0)
-r O x -r O r x P (-r,0) O r x -r O r x -r P x
O
-r -r -r
P ( ) -r
8 0
sen 270° = =0
0
cos 270° = =0 cos 360° = =1
0
tan 270° = tan 360° = =0
0
96 LT 100
Contenido
6 Valores de θ conocido sen θ
Contenido 6: Valores de θ conocido sen θ
Determina los valores del ángulo θ, conocido
1
Si 0° ≤ θ ≤ 360° y sen θ = 2 . Determine los valores de θ que satisfacen dicha igualdad. el valor que toma la función trigonométrica
seno.
y
Secuencia:
Se considera una circunferencia de radio r = 1 y OP el lado
1
En contenidos anteriores se ha procurado
terminal de θ a como se ve en la figura de la derecha, de
y
determinar el valor o valores de las funciones
P(x, y)
donde 1 trigonométricas conociendo alguna informa-
θ
y y
sen θ = r = 1 = y. -1 O x 1 x ción referida a un ángulo dado. En esta clase
1 1
Como sen θ = 2 , entonces y = 2 . Así que, se traza la se presenta una situación recíproca a esta:
1
recta y = 2 como se muestra a continuación. -1
teniendo el valor de una función trigonométri-
ca, se determinan los valores del ángulo para
y
el cual se tiene dicho valor.
1
1
2
Observe que se cortan en dos puntos A y B, así Puntos esenciales:
y =1
2
B A
y
que existen dos valores de 0° ≤ θ ≤ 360° para los Explicar que se utiliza la expresión sen i = r
-1 H’ H 1 x 1
O cuales sen θ = 2 .
mediante sustitución que conduce a la
1
-1
igualdad y = 2 . Esta expresión corresponde
A
a una recta paralela al eje x, en la que todos
1 1 1
De acuerdo a las medidas de sus lados, el 3 AOH es un triángulo
30o
2 sus puntos tienen ordenada y igual a 2 .
rectángulo de 30°- 60°-90°, así que un valor para θ, es O H
Explicar que con la representación gráfica
θ = 30°.
B de la circunferencia y la recta se muestran
De igual forma, 3 BOH' cumple con las mismas condiciones, así 1
2
1
dos puntos de intersección, de modo que se
que en este caso
H’
30o
O
deben trazar dos triángulos rectángulos para
θ = 180°- ∡BOH'= 180°- 30° = 150°. determinar los ángulos asociados a dichos
Por lo tanto, los valores de θ son 30° y 150°. interceptos.
Indicar que si la longitud de uno de los catetos
Si 0° ≤ θ ≤ 360°, determine los valores de θ para los cuales:
de un triángulo rectángulo es la mitad de la
3 1
a) sen θ = 2 b) sen θ =
2 longitud de la hipotenusa, entonces el ángulo
opuesto a dicho cateto mide 30o.
101
C6: Valores de conocido Si , determine los valores de para

Si y . Determine los los cuales
valores de que satisfacen dicha igualdad.
a) y
3 1
Se considera una circunferencia de radio r = 1. Se considera una circunferencia 2
= = , Como , entonces . de radio r=1.
x
y
1 -1 O 1
1
2
y =1
2
B A
Trazar la recta
-1
-1 H’ O H 1 x
AOH y BOH son triángulos

-1 rectángulos de 30°-60°-90°
B 1 3 3 1
A
1 1 2 2
1 1 2
60o 120o
2 30o 60o
30o H’ O 1 1
2 2
LT 101
97
Contenido
7 Valores de θ conocido cos θ Unidad 6: Funciones Trigonométricas
Contenido 7: Valores de θ conocido cos θ
Determina los valores del ángulo θ, conocido
el valor que toma la función trigonométrica Si 0° ≤ θ ≤ 360° y cos θ = -
1
. Determine los valores de θ que satisfacen dicha igualdad.
2
coseno.
Secuencia: y
Se considera una circunferencia de radio r = 1 y OP el lado
En esta clase se continúa con la situación 1
terminal de θ a como se ve en la figura a la derecha, de
recíproca señalada en el contenido y P(x, y)
donde
anterior: teniendo el valor de una función 1
θ
x x
trigonométrica, se determinan los valores cos θ = r = 1 = x. -1 O x 1 x
del ángulo para el cual se tiene dicho valor, Como cos θ = -

1
, entonces x = -
1
. Así que, se
en este caso se aborda un valor de la función 2 2
-1
coseno, posteriormente se analizará un caso traza la recta x = -
1
2
como se muestra a continuación.
para la tangente. y
1
Puntos esenciales: A y Observe que se cortan en dos puntos A y B, así que

1
x
Explicar que se utiliza la expresión cos i = r x 1
existen dos valores de 0° ≤ θ ≤ 360° para los cuales
-1 1 x
-
O 1
mediante sustitución que conduce a
2
cos θ = - . y
2 A
1 B
la igualdad x =- . Esta expresión
2 -1
corresponde a una recta paralela al eje y, en 45o

De acuerdo a los medidas de sus lados, 3 AOH y 3 BOH son H 1 O x
la que todos sus puntos tienen como abscisa triángulos rectángulos isósceles, así que
2
1
x igual a - .
2 y
θ = 180°-∡AOH = 180°-45° = 135°
Explicar que la representación gráfica de 1
2
o H
la circunferencia y la recta muestran dos 45o
O x
θ = 180°+∡BOH = 180°+45° = 225°
puntos de intersección, de modo que se 1
deben trazar dos triángulos rectángulos para Por lo tanto, los valores de θ son 135° y 225°. B
determinar los ángulos asociados a dichos

interceptos. Estos triángulos rectángulos son Si 0° ≤ θ ≤ 360°, determine los valores de θ para los cuales:
isósceles, de modo que sus ángulos tienen 1 3
a) cos θ = 2 b) cos θ =
medidas 45°-45°-90°. 2
102
C7: Valores de conocido Si , determine los valores de

Si y . Determine los para los cuales
y
1
valores de que satisfacen dicha igualdad. a)
Se considera una circunferencia de radio . 1
Se considera una circunferencia 2 x
= -1 O 1
1 y de radio
Como , Entonces 1
= =
1
A y 2 -1
1 1
Se traza la recta x 1
2
A -1 -
1
y 2 O
B
A Triángulos rectángulos de
-1
45 o
1 30°-60°-90°
H 1 O x
2
2 1 1
AOH y BOH son triángulos O 2 H
y
60o
1 isósceles 60 O
H 2 1
O 1 H
O x
45o 2
B
1
98 LT 102
Contenido
8 Valores de θ conocido tan
Sección 1: θtrigonométricas de un ángulo cualquiera
Funciones
y Aprendizajes esperados
Contenido 8: Valores de θ conocido tan θ 0° < θ < 90°
1 Determina los valores del ángulo θ, conocido
P Q(1, t)
Dada una circunferencia de radio r = 1, OP el lado
terminal del ángulo θ ≠ 90° y Q (1, t) un punto sobre
el valor que toma la función trigonométrica
OP. Se traza el triángulo rectángulo OHQ, de donde θ tangente.
-1 O 1H x
t
tan θ = 1 , es decir, t = tan θ.
Secuencia:
Por tanto, las coordenadas de Q son (1, tan θ).
-1 En clases anteriores se determinaron los
Además, como esta recta tiene por ecuación y = mx, ángulos asociados a un valor de las funciones
y
las coordenadas de Q satisfacen esta igualdad, es
decir,
90° < θ < 180°
1
trigonométricas seno y coseno; en esta clase
tan θ = (m)(1) = m.
se aborda el caso de la función tangente.
P
θ
De aquí se sigue que, la pendiente m de la recta 1 H Puntos esenciales:
OP es igual a la tangente del ángulo θ. -1 O x
Q(1, t)
Explicar con claridad la construcción
planteada al inicio de la clase, ya que a partir
-1 de esta se obtiene la conclusión de que la
pendiente de la recta y = mx , que forma un
1
Si 0° < θ < 360° y tan θ = - . Determine los valores de θ que satisfacen dicha igualdad.
3 ángulo θ con el eje x es tan θ.
1 1 Recordar que las rectas que pasan por O

Como tan θ = - , el punto Q tiene coordenadas d1, - n y por tanto, se encuentra en el
3 3
1
tienen ecuación de la forma y = mx , excepto
IV cuadrante. Se traza la circunferencia de radio r = 1 y la recta OP de pendiente - a
3 el eje y, el cual forma un ángulo de 90° con
como se muestra en la figura. el eje x. Esto es avalado por el resultado ya
y Observe que se cortan en dos puntos P y Q, así que establecido que tan 90° no existe.
1
existen dos valores de 0° < θ < 360°, para los cuales
P
1 Explicar que la representación gráfica de
tan θ = - .
H
3 la circunferencia y la recta muestran dos
3 OHQ y 3 OAP son triángulos rectángulos de
-1 A O 30o 1 x
1
puntos de intersección, de modo que se
Q 1, - 30° - 60° -90°, así que
deben trazar dos triángulos rectángulos para
1
- 3
3
-1 θ = 180°-30° = 150° o θ = 360°- 30° = 330° determinar los ángulos asociados a dichos
Por lo tanto, los valores de θ son 150° y 330°.
interceptos, en los cuadrantes I y III.
Explicar que los triángulos formados son de
Si 0° < θ < 360°, determine los valores de θ para los cuales: 30°-60°-90°.
a) tan θ = -1 b) tan θ = - 3
103
C8: Valores de conocido y . Determine los

y valores de que satisfacen dicha igualdad.
0° < θ < 90° Circunferencia de radio
1
P Q(1, t) ángulo con lado terminal , . Se encuentra en
sobre el IV cuadrante.
θ
-1 O 1H x La recta de pendiente
y
1
OHQ y OAP son triángulos
-1 P
de 30°- 60°- 90°
Ecuación de :
H
.1 -1 A O 30o 1 x
1
-
1 Q 1, - 3
3
y
La pendiente de la recta
1 90° < θ < 180°
-1
es igual a la tangente del y

1
ángulo P Si y .
θ
1 H Determine los valores de .
-1 O x Los triángulos formados son -1 O 1 x
Q(1, t) 45°- 45°- 90°

(1,-1)
-1
-1
LT 103
99
Contenido
1 Relación entre sen2 θ y cos2 θ Sección 2: Relación entre seno, coseno y tangente
Sección 2: Relación entre seno, coseno y tangente
Establece las relaciones sen 2 i + cos 2 i = 1
sen i Contenido 1: Relación entre sen2 θ y cos2 θ
y tan i = cos i .
sen i
Demuestre que tan θ = cos i y sen2 i +cos2 i =1.
Secuencia:
En la unidad anterior se establecieron las iden-
sen i y
tidades tan i = cos i y sen 2 i + cos 2 i = 1, Sea P(x,y) el punto de intersección de la circunferencia
con centro en el origen y radio r = 1 y OP el lado terminal 1
siendo i un ángulo agudo. ¿Podemos ge- del ángulo θ. Se aplica la definición de las funciones
sen θ
P(x, y)
trigonométricas y se sigue que
neralizar estas igualdades para medidas de y x
sen θ = 1 = y, cos θ = 1 = x y tan θ = x .
y 1
θ H
otros ángulos? Efectivamente, y estas serán Se sustituye x = cos θ y y = sen θ en la última igualdad -1 O cos θ 1 x
utilizadas en la determinación de valores resulta
de funciones trigonométricas, conociendo tan θ = sen θ .

cos θ
-1
un valor para una de estas en un cuadrante
dado. Además, se aplica el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo HOP cuyos catetos
tienen longitudes sen θ y cos θ e hipotenusa 1 para obtener
sen2 θ + cos2 θ = 1.
Puntos esenciales:
Recordar cada expresión que define a las
funciones trigonométricas seno, coseno y Se pueden establecer las siguientes relaciones
tangente mediante el radio y las coordenadas tan θ =
sen θ
y sen2 θ+cos2 θ = 1.
cos θ
del punto de intercepto de una circunferencia
de centro O y el lado terminal de un ángulo
cualquiera. Complete la demostración de la relación tan2 θ+1 =
1
.
cos 2 i
Explicar que relaciones como
tan i + 1 = 2 1
se denominan identida-
D
cos 2 i tan 2 i + 1 =
sen 2 i
+
cos 2 i
des trigonométricas, y para la demostración
de estas se debe tener en cuenta que una =
sen 2 i + cos 2 i
vía de prueba de una igualdad es el desarro-
llo de uno de los lados de esta hasta obtener =
cos 2 i
el otro lado de la misma.
105
S2: Relación entre seno, coseno y tangente

C1: Relación entre y
Sección 2:que
Demuestre Relación entre seno, coseno y tangente
, 0
y sen sen , para cualquier .
y
1
1 lado terminal
P(x, y) de Complete la demostración de la relación
sen θ 1
1 tan .
θ H
-1 O cos θ 1 x sen cos
tan = +
cos cos
sen
-1 =
cos
Circunferencia 1
de radio 1 =
cos
es rectángulo, por el Teorema de Pitágoras:
sen =1
100 LT
105
Sección 2: Relación entre seno, coseno y tangente
sen θ
Contenido
2 Aplicación de la relación sen2 θ+cos2 θ = 1 y tan θ = cos θ
sen θ
Contenido 2: Aplicación de la relación sen2 θ+cos2 θ = 1 y tan θ = Aplica las relaciones sen 2 i + cos 2 i = 1 y
cos θ
sen i
Ejemplo 4
Si el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el IV cuadrante y cos θ = 5 , determine tan i = cos i en el cálculo de los valores
sen θ y tan θ.
de las funciones trigonométricas.
4
Se sustituye cos θ = 5 en sen2 θ+cos2 θ = 1, se sigue que
4 2
sen θ
y
Secuencia:
sen2 θ + b 5 l = 1
4 2 16 9 + +
Las identidades de la clase anterior se pue-
sen2 θ = 1- b 5 l = 1- 25 = 25
- -
x den utilizar para determinar los valores de
Como el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el IV cuadrante, las funciones trigonométricas, conociendo
sen θ < 0. Así, una de estas y el cuadrante en el que se ubi-
9 3
sen θ = - 25 = - 5 . ca el lado terminal del ángulo θ. Para ello se
sen i procede utilizando las identidades, los signos
Ahora, se sustituyen estos valores en tan θ = y se obtiene
cos i para los valores de las funciones trigonomé-
-5
3
3 4 3 5
tricas en los distintos cuadrantes y realizan-
tan θ = 4 =- 5 ' 5 = b - 5 lb 4 l
do los cálculos algebraicos necesarios.
5
3
=- 4
Puntos esenciales:
3 3
Por tanto, sen θ = - 5 y tan θ = - 4 . Aclarar el orden en el uso de las identidades:
Otra manera de resolver el problema es ocupando el Al conocerse en el problema el valor
y
Teorema de Pitágoras a como sigue: de cos i , se debe utilizar la identidad
5 = 4 +h sen 2 i + cos 2 i = 1 para determinar el valor
2 2 2
h = 52 - 42 = 9 = 3
de sen i .
Así que, P (4,-3) O 4
h x El signo de la raíz cuadrada extraída
5
Luego, -3 P se determina teniendo en cuenta los
3 3
sen θ =- 5 y tan θ =- 4
signos correspondientes a las funciones
trigonométricas en los cuadrantes del plano
cartesiano. Teniendo estos dos valores se
3
a) Si el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el IV cuadrante y cos θ = 4 , calcula el de tan i , pues no es más que el
determine sen θ y tan θ. cociente de estos números.
3
b) Si el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el III cuadrante y sen θ = - 5 , Procurar la simplificación de todas las raíces
determine cos θ y tan θ.
cuadradas y fracciones en los casos que
106 sean posibles.
C2: Aplicación de la relación y

a) El lado terminal del ángulo está en el IVC y
. Determine y .
El lado terminal de está en el IVC y sen

. Determine y . sen = 1, es decir,
3 9 7
Sustituyendo en sen sen =
4 16 16
4 y
sen =1
5 se encuentra en el IVC, + +
4 16 9
sen =
5 25 25 Por lo tanto, .
y
El lado terminal de se encuentra en el + +
7 7
IVC, . Así
16 4
9 3
25 5
7
Luego 4 7 3 7 4 7
3 ÷
3 4 4 4 3 3
5 3 4 3 5 3 4
÷
4 5 5 5 4 4
5
LT 106
101
Contenido
1
3 Aplicación de la relación tan 2 i + 1 =
cos 2 i Sección 2: Relación entre seno, coseno y tangente
Aprendizajes esperados 1
Contenido 3: Aplicación de la relación tan2 θ + 1 =
1 cos2 θ
Aplicación de la relación tan i + 1 = 2
cos 2 i
en el cálculo de los valores de las funciones Si el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el IV cuadrante y tan θ = -2, determine
sen θ y cos θ.
trigonométricas
Secuencia:
1
Se sustituye tan θ = -2 en tan2 θ +1 = , se sigue que
La identidad demostrada en clases 1
cos 2 i
1 (-2)2+1 =
anteriores: tan 2 i + 1 = , puede ser
2
cos i
cos 2 i 1
utilizada en el cálculo de valores de funciones 5=
cos 2 i
trigonométricas, bajo las condiciones: un valor 1

cos2 θ = 5
de una función trigonométrica y el cuadrante Como el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el IV cuadrante, cos θ
y
en el que se ubica el lado terminal de θ. cos θ > 0, así que
1 - +
cos θ = 1 =
5 5
Puntos esenciales:
x
- +
Recordar que sustituir significa reemplazar un Se sustituyen estos valores en tan θ =

sen i
, y se tiene
cos i
valor o una expresión por otra equivalente, con
seni ,
el fin de aplicar procedimientos algebraicos -2 =
1
que simplifiquen las expresiones dadas. Se es decir,
5
ha de aplicar todo procedimiento necesario

1
para despejar las expresiones sen θ, cos θ o sen θ = (-2) d
5
n =- 2 .
5
tan θ.
En consecuencia,
Recordar el signo que toma cada función cos θ = 1 y sen θ = - 2 .
5 5
trigonométrica en los distintos cuadrantes.
sen i
Explicar que la igualdad tan i = cos i
a) Si el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el III cuadrante y tan θ = 3,
puede ser utilizada para determinar el valor de determine sen θ y cos θ.
una de las funciones trigonométricas siempre
que se conozcan los valores respectivos de b) Si el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el II cuadrante y tan θ = - 5 ,
determine sen θ y cos θ.
las restantes funciones.
107
C3: Aplicación de la relación El lado terminal del ángulo está en el IIIC

El lado terminal de está en el IV C y determine y .
, determine y .
tan2 =
tan
1 tan
3 +1 =
cos
1
10 =
cos
cos
1 cos
y cos
10 y
Como el lado terminal está en el - +
IV cuadrante, , así que Como el lado terminal está en - +
x
- + el IIIC, . Así x
1 1 - +
= .
5 5 1 1
10 10
1
1 3
3= , es decir, (3) =
1 2
( )
5 5
102 LT 107
Sección 3: Relación entre funciones trigonométricas
Relación entre los valores que toman las funciones trigonométricas para un
Contenido
1 ángulo cualquiera θ y Sección
los3:ángulos θ+360°(n)
Relación entre las funciones trigonométricas y -θ, respectivamente
Sección 3: Relación entre las funciones trigonométricas Aprendizajes esperados
Establece una relación entre los valores
Contenido 1: Relación entre los valores que toman las funciones que toman las funciones trigonométricas
trigonométricas para un ángulo cualquiera θ y los
ángulos θ+360°(n) y -θ, respectivamente para un ángulo cualquiera θ y los ángulos
Relaciones trigonométricas (1)
θ+360°(n) y -θ, respectivamente.
y
Sea P(x, y) el punto de intersección de la circunferencia
con centro en el origen y radio r = 1 y OP el lado terminal
1
Secuencia:
del ángulo θ. Los ángulos descritos por la expresión P(x, y) Al iniciar esta unidad se enunció que los
θ+360°(n), siendo n un número entero, tienen el mismo
lado inicial y terminal del ángulo θ. Así que ángulos θ y θ+360°(n), con n entero, se
θ 1
sen [θ+360°(n)] = sen θ
-1 x
denominan coterminales, y que, si θ es un
θ+360o
ángulo positivo, –θ representa un ángulo
cos [θ+360°(n)] = cos θ
-1 negativo. En esta clase se establecen
tan [θ+360°(n)] = tan θ relaciones entre los valores de las funciones
Ejemplo 1 Determine el valor de sen 405°.
trigonométricas para estos tipos de ángulos
que facilitarán los cálculos de dichos valores.
Como 405° = 45°+360°, entonces sen 405° = sen (45°+360°). Luego,
Puntos esenciales:
sen 405° = sen (45°+360°) = sen 45° =
1
. Recordar el concepto de ángulos coterminales
2
y su representación gráfica.
Por tanto,
1 Hacer notar que la expresión de la medida de
sen 405° = .
2 un ángulo como suma de otros dos, siendo
Determine los siguientes valores haciendo uso de las relaciones anteriores:
uno un múltiplo de 360°, facilita el cálculo de
a) sen 390° b) cos 420° c) tan 750°
valores de funciones trigonométricas para
Relaciones trigonométricas (2)
ángulos coterminales.
De acuerdo con la figura que se muestra abajo, determine los valores que toman las Explicar que el cálculo de valores para ángulos
funciones trigonométricas para el ángulo - θ.
y
negativos se simplifica teniendo en cuenta que
1 la función coseno toma los mismos valores
P(x, y)
para ángulos positivos y negativos, no así en el
1
θ
caso de seno y tangente.
-1 O -θ 1 x Recordar la definición de seno, coseno y
1
tangente en función de x, y y r.
Q(x,-y)
-1
109
Este contenido tiene 2 páginas (ver en el LT)
S3: Relación entre las funciones trigonométricas y

1
C1: Valores que toman las funciones trigonométricas
Sección 3: Relación entre las funciones trigonométricas
x y = P( , ) ( )
para ( ) y y
1
1 θ ( )=
[ ( )] -1 O -θ 1 x
P(x, y) 1
[ ( )] ( )=
Q(x,-y)
[ ( )] -1 θ 1 x -1
θ+360o
( un número entero) Determine el valor de cos( ).
-1
1
Determine el valor de sen 405°. cos( ) = cos 60° =
1 2
sen 405° = sen(45° + 360°) = sen 45° =
2 Determine los siguientes valores haciendo uso
Determine los siguientes valores de las relaciones anteriores.
1 3
a) sen 390° = sen(30° + 360°) = sen 30° =
2 a) cos( ) = cos 30° =
2
1
b) cos 420° = cos(60° + 360°) = cos 60° = 1
2 b) sen( )
2
c)
c)
LT 109
103
Contenido Relación entre los valores que toman las funciones trigonométricas para un
2 ángulo cualquiera θ y los ángulos 180°+θ y 180°-θ, respectivamente
Sección 3: Relación entre las funciones trigonométricas
Contenido 2: Relación entre los valores que toman las funciones
Establece una relación entre los valores trigonométricas para un ángulo cualquiera θ y los
que toman las funciones trigonométricas ángulos 180°+θ y 180°-θ, respectivamente
para un ángulo cualquiera θ y los ángulos Relaciones trigonométricas (3) figura 1 y
180°+θ y 180°-θ, respectivamente. A partir de las figuras que se muestran a la derecha, se sabe 1
que: P(x, y)
Secuencia:
180o+θ
• El lado terminal de θ es OP, el lado terminal de 180°+θ es θ
OQ (figura 1) y el lado terminal de 180°-θ es OR (figura 1
Se cuenta ya con varias relaciones que per- -1 O x
2). θ
miten determinar valores de funciones trigo- • Las coordenadas de P son (x, y), las de Q son (-x,-y) y
Q(-x,-y)
nométricas. En esta ocasión se incorporan a la

-1
las de R son (-x, y).
lista relaciones que vinculan los valores de es- figura 2
tas funciones para los ángulos θ y 180° ! i. Por otra parte, anteriormente se estableció que para un ángulo
cualquiera θ se tiene que
y
1
En el libro de texto se obtendrán también rela- y
sen θ = y, cos θ = x y tan θ = x .
R(-x, y) P(x, y)
θ
-
ciones para los ángulos θ y 90° ! i .
0o
18
θ
1
Puntos esenciales:
-1 O x
Así que, para los ángulos 180°+θ y 180°-θ se obtiene
Procurar una representación adecuada de los
sen (180°+θ) = -y = -sen θ sen (180°-θ) = y = sen θ
ángulos 180°+θ y 180°-θ para identificar
-1
cos (180°+θ) = -x = -cos θ cos (180°-θ) = -x = -cos θ
las coordenadas de los puntos de intersección -y y
tan (180°+θ) = - x = x = tan θ
y y
tan (180°-θ) = - x = - x = -tan θ
de sus lados terminales con la circunferencia
de radio 1. Por tanto,
sen (180°+θ)= -sen θ sen (180°-θ)= sen θ

Aplicar correctamente las expresiones de las cos (180°-θ) = -cos θ
cos (180°+θ)= -cos θ
funciones trigonométricas estudiadas en esta tan (180°+θ)= tan θ tan (180°-θ)= -tan θ
unidad para los ángulos 180° ! i .
Explicar que la expresión de la medida de Ejemplo 1 Determine el valor de sen 210°.
un ángulo como suma o resta de otros dos,
siendo uno 180°, facilita el cálculo de valores
1
de funciones trigonométricas para los ángulos sen 210° = sen (180°+30°) = -sen 30° = - 2 .
pedidos, que pueden tener medidas mayores En conclusión,

1
o menores a 180°: si es menor a 180°, debe sen 210° = - 2 .
expresarse mediante una resta, si es mayor a

Determine los siguientes valores utilizando las relaciones anteriores:
este, mediante una suma.
a) sen 240° b) cos 210° c) tan 225°
111
C2: Relación entre los valores que toman las funciones

trigonométricas para un ángulo cualquiera y los 3
a) sen 240° = sen(180° + 60°)
ángulos y , respectivamente 2
y
1
3
b) cos 210° = cos(180° + 30°)
( ) P(x, y) 2
180o+θ
( )
θ
1 x
Determine el valor de cos 135°
( )= -1 O
= θ
1
Q(-x,-y) cos 135° = cos( )
2
-1
y
Determine los siguientes valores utilizando las
( ) 1 relaciones anteriores.
( ) R(-x, y) P(x, y) 3
a) cos 150° = cos(
θ
)
-
0o
2
18
( )= θ
-1 O 1 x 3
b) sen 120° = sen( ) = sen 60° =
2
c) tan 135° = sen( )
-1
Determine el valor de sen 210°.

1
sen 210° = sen(180° + 30°)
2
104 LT 111
Sección 3: Relación entre funciones trigonométricas
Relación entre los valores que toman las funciones trigonométricas para un
Contenido
3 ángulo cualquiera θ y Sección
los3: ángulos 90°+θ
Relación entre las funciones y 90°-θ, respectivamente
trigonométricas
Contenido 3: Relación entre los valores que toman las funciones Establece una relación entre los valores
trigonométricas para un ángulo cualquiera θ y los
ángulos 90°+ θ y 90°-θ , respectivamente que toman las funciones trigonométricas
Relaciones trigonométricas (4) figura 1 y
para un ángulo θ y los ángulos 90°+θ y
A partir de las figuras que se muestran a la derecha, se sabe
que: Q(-y, x)
1
90°-θ, respectivamente.
90o+θ P(x, y)
• El lado terminal de θ es OP, el lado terminal de 90°+θ es θ Secuencia:
OQ (figura 1) y el lado terminal de 90°-θ es OR (figura 1
En esta clase se abordan las relaciones
-1 O x
2).
que vinculan los valores de estas funciones
• Las coordenadas de P son (x, y), las de Q son (-y, x) y las -1
de R son (y, x). para los ángulos θ y 90°±θ. Así, se agregan
figura 2
y
1 R(y,x) expresiones de gran utilidad a la lista de
Por otra parte, anteriormente se estableció que para un ángulo
P(x, y)
identidades trigonométricas.
cualquiera θ se tiene que 90o-θ
y
sen θ = y, cos θ = x y tan θ = x . -1 O θ 1 x Puntos esenciales:
Procurar una representación adecuada de los
Así que, para los ángulos 90°+θ y 90°-θ se sigue que -1 ángulos 90°+θ y 90°-θ para identificar las
sen (90°+θ) = x = cos θ sen (90°-θ) = x = cos θ coordenadas de los puntos de intersección de
cos (90°+θ) = -y = -sen θ cos (90°-θ) = y = sen θ sus lados terminales con la circunferencia de
x x 1
tan (90°+θ) = - y = - y = - y = -
1
tan i
x
tan (90°-θ) = y = y =
1 1
tan i
radio 1.
x x
Por tanto, Aplicar correctamente las expresiones de las
funciones trigonométricas estudiadas en esta
sen (90°+θ)= cos θ sen (90°-θ) = cos θ
unidad para los ángulos 90° ! θ.
cos (90°+θ) = -sen θ cos (90°-θ) = sen θ
tan (90°+θ)= -
1
tan (90°-θ) =
1 Explicar que la expresión de la medida de
tan θ tan θ
un ángulo como suma o resta de otros dos,
Ejemplo Determine el valor de sen 135°, utilizando las relaciones anteriores. siendo uno 90°, facilita el cálculo de valores
de funciones trigonométricas para los ángulos
solicitados, que pueden tener medidas mayores
1
sen 135° = sen (90°+45°) = cos 45° =
2
. o menores a 90°: si es menor a 90°, debe
En conclusión, expresarse mediante una resta, si es mayor a
1
sen 135° =
2
. este, mediante una suma, y tener presente los
signos de las funciones trigonométricas en los
Determine los siguientes valores utilizando las relaciones anteriores:
distintos cuadrantes.
a) sen 150° b) cos 120° c) tan 120°
113
C3: Relación entre los valores que toman las funciones

trigonométricas para un ángulo cualquiera y los Determine el valor de sen 135°
ángulos y , respectivamente 1
sen 135° = sen(90° + 45°) = cos 45° =
2
y
1 Determine los siguientes valores
Así, para y Q(-y, x) 1
( )
90 +θ
o P(x, y) a) sen 150° = sen(90° + 60°) = cos 60° =
θ 2
( ) -1 O 1 x
1
b) cos 120° = cos(90° + 30°)
( )= 2
-1 1 1
c) tan 120° = 3
tan(90° + 30°) tan 30°
y
1 R(y,x)
( ) P(x, y)
90o-θ
( )
-1 O θ 1 x
( )= = =
-1
LT 113
105
Contenido
1 Radianes Sección 4: Gráficas de las funciones trigonométricas
Sección 4: Gráficas de las funciones trigonométricas
Convierte medidas de ángulos de grados a
Contenido 1: Radianes
radianes y viceversa.
Definición
Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia y
Secuencia:
1
que interseca un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. P
Se escribe abreviadamente rad. 1

Hasta este punto, la medida de ángulos Considere un ángulo θ con vértice O, lado inicial OQ y lado terminal
θ
-1 O 1 Q x
ha sido en grados, sin embargo, en OP y una circunferencia con centro en O y radio r = 1. Sea r la
longitud del
&arco PQ que subtiende el angulo θ. Entonces, la longitud
Trigonometría existe otra medida de ángulos, del arco PQ es la medida en radianes del ángulo central θ.
-1
equivalente a la mencionada: radianes, en Como la longitud de una circunferencia de radio r = 1 es igual a 2 r , se tiene que
la cual se utiliza constantemente el número 360° = 2 r rad.
r . La medida de ángulos expresada en De donde
180° = r rad
radianes, permitirá el trazado de gráficas de
las funciones trigonométricas. Además, de la igualdad anterior se deduce que
r 180 o
1° = 180 rad 1 rad = r
Estas dos últimas igualdades serán de gran utilidad al momento de convertir medidas de
Puntos esenciales: ángulos.
Brindar una representación gráfica correcta Cuando en la medida del ángulo no se especifique la unidad que se utiliza se considerará
que está expresada en radianes.
de un radián, puesto que este concepto
demanda de otras nociones: ángulo central, Ejemplo 1 Convierta 45° a radianes.
radio, y arco de circunferencia (y longitud de r r
r r
Como 1° = 180 , entonces 45O = ]45gb 180 l = ]45g; ]45g]4g E = 4
este).
r
Por tanto, 45° = 4
Establecer las relaciones entre grados y
radianes que permite la conversión de una a Convierta las siguientes medidas en radianes:
otra unidad de medida: a) 60° b) 120° c) 210° d) 300°
1. Si se desea convertir grados a radianes, Ejemplo 2 r

Convierta 6 a grados.
r
multiplíquese la medida dada por 180
y simplifique la fracción resultante, si es Como 1 rad =
180 O
r , se sigue que
posible. r c r mc 180O m
6 = 6 r = 30 .
O
r
En consecuencia, 6 = 30°.
2. Si se desea convertir radianes a grados,
180 O
multiplíquese la medida dada por r Convierta las siguientes medidas en grados.
2
r 3r 5r 4r
y simplifique. a) 2 b) 4 c) 6 d) 3
115
S4: Gráficas de las funciones trigonométricas

Sección
C1: Radianes 4: Gráficas de lasy1 funciones trigonométricas
Convierta las siguientes medidas en radianes:
P
a) 60° = 60 = 60 =
Un radián es la medida de un 1 180 (60)(3) 3
ángulo central de una θ
circunferencia que interseca un -1 O 1 Q x b) 120° = 120 = 2(60) =
arco de longitud igual al radio de 180 (60)(3) 3
la circunferencia. Se escribe
abreviadamente . -1 c) 210° = 210 = 7(30) =
180 (30)(6) 6
La longitud del arco es la medida en radianes del Convierta a grados.

ángulo central . Si , la longitud de la
circunferencia es , es decir, . Así, 180°
= = 30°
6 6
Convierta las siguientes medidas en grados.

180°
a) = = 90°
Convierta 45° a radianes. 2 2
180°
b) = = 135°
45° = 45 = 45 = 4 4
180 (45)(4) 4
180°
c) =
106 LT 115
Sección 4: Gráfica de las funciones trigonométricas
Contenido
2 Gráfica y propiedades de la función y = sen θ
Contenido 2: Gráfica y propiedades de la función y = sen θ
y
Recuerde que si P(x, y) es el punto de intersección de la circunferencia

1 Traza la gráfica de la función y = sen i y
unitaria y el lado terminal OP del ángulo θ, entonces P(x, y) determina sus propiedades.
y
sen θ = 1 = y. θ
-1 O 1 x
Es decir, la ordenada del punto P se identifica con sen θ. Secuencia:
Para trazar la gráfica de y = sen θ se puede hacer una tabla de valores
-1
Las expresiones de conversión aprendidas
ocupando los ángulos especiales, así
en la clase anterior, más los valores de las
θ -90° 0° 90° 180° 270° 360° 450°
funciones trigonométricas calculados en esta y
r 3r 5r
en la unidad anterior permitan el trazado de las
en radianes r 0 r 2r
-
2 2 2 2
y = sen θ -1 0 1 0 -1 0 1
gráficas correspondientes. En esta clase se da
tratamiento a la gráfica de la función seno.
Al ubicar los puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = sen θ será como sigue:
y y
Puntos esenciales:
1
1
2
3
Insistir en el hecho que la ordenada de un
punto P(x,y) en una circunferencia unitaria
Amplitud
2
θ
corresponde a un valor de la función seno.

x O r θ r 2r 5r r 3r 2r θ
6 2 3 6 2
-1
Recordar que para el trazado de la gráfica
Período
de una función en el plano cartesiano, se
A esta curva se le llama curva senoidal. Las propiedades más esenciales son:
puede construir una tabla con valores para las
• Como 2 r = 360° y sen (θ+360°) = sen θ , entonces sen (θ+2 r ) = sen θ. De aquí se
deduce que la función y = sen θ tiene período 2 r. coordenadas de puntos P(x,y) en la gráfica.
• Para y = sen θ , el rango es -1 ≤ y ≤ 1.
Seleccionar algunos ángulos estudiados tales
• La amplitud es 1.
como los cuadrantales y estos se convierten
a) Indique los valores correspondientes a los espacios en blanco en el trozo de la gráfica de de grados a radianes, puesto que tales núme-
y = sen θ para 0 # i # 2r que se muestra a continuación.
ros se ubicarán sobre el eje i .
y
Explicar que los valores de la función seno
1 asociados a estos ángulos serán valores para
7r 3r
y. Así se forman puntos a ubicarse y unirse en
2
6 2
3r -r O r
-2r -r i
el plano cartesiano mediante una curva suave
- 2 2 r
2
-1
y continua (no unidos mediante regla).
Insistir en la asimilación de las propiedades de
b) Complete la gráfica de y = sen θ para -2 r ≤ θ ≤ 0.
116
la función seno.
C2: Gráfica y propiedades de la función
0° 90° 180° 270° 360° 450° a) Indique los valores correspondientes a los
espacios en blanco en el trozo del gráfico de
en radianes
0 que se muestra a continuación.
2 2 2 2
0 1 0 1
b) Complete la gráfica de para
y y .
1
1 3
2
1
2
Amplitud y
θ 1 11r
1
- 5r 7r 3r
1 r r 6
6 -2 -6 2
x θ 2r 5r 3r 2r
O r
6
r
2 3 6
r
2
θ -2 r r6 2
5r 2r θ
11r 3r 7r-r O r
6 - 2- 6 -12 -1 2 6
-
-1
Período
Curva senoidal
Propiedades
- Período:
- Rango:
- La amplitud es 1
LT 116
107
Contenido
3 Gráfica y propiedades de la función y = cos θ
Contenido 3: Gráfica y propiedades de la función y = cos θ
Traza la gráfica de la función y = cos i y
y
Recuerde que si P(x, y) es el punto de intersección de la 1
determina sus propiedades. circunferencia unitaria y el lado terminal OP del ángulo θ, entonces P(x, y)
x
cos θ = 1 = x. θ
-1 O 1 x
Es decir, la abscisa del punto P se identifica con cos θ.
Secuencia:
En esta clase se traza la gráfica de la Para trazar la gráfica de y = cos θ se puede hacer una tabla de
valores ocupando los ángulos especiales, así -1
función coseno, en similitud al procedimiento

θ -90° 0° 90° 180° 270° 360° 450°
empleado en la clase anterior para la función
r r 3r 5r
seno. en radianes -
2
0
2
r
2
2r
2
Puntos esenciales: y = cos θ 0 1 0 -1 0 1 0
Procurar la comprensión del hecho que la Al ubicar los puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = cos θ será como sigue:
abscisa del punto P(x,y) en una circunferencia x y
1
unitaria corresponde a un valor de la función 1 2

3
Amplitud
coseno. θ 2
y O θ r r 2r 5r r 3r 2r θ
3 2 3 6 2
como los cuadrantales y estos se convierten -1
de grados a radianes, puesto que tales Período
A esta curva se le llama curva cosenoidal. Las propiedades más esenciales son:
números se ubicarán sobre el eje i .
• Como 2 r = 360° y cos (θ+360°) = cos θ , entonces cos (θ+2 r ) = cos θ. De aquí se
deduce que la función y = cos θ tiene período 2 r.
Explicar que los valores de la función coseno
• Para y = cos θ , el rango es -1 ≤ y ≤ 1.
asociados a estos ángulos serán valores para • La amplitud es 1.
el plano cartesiano mediante una curva suave a) Indique los valores correspondientes a los espacios en blanco en el trozo de la gráfica de
y = cos θ para 0 # i # 2r que se muestra a continuación.
y
Insistir en la asimilación de las propiedades
de la función coseno. En particular la noción
de período, que fue establecido para la 3r -r 2r θ
-2r
- 2 -r O r
función seno en la clase anterior, y el rango, 2 2
constituido por los valores de la variable y.

-1
Explicar que en la ejercitación es requerido b) Complete la gráfica de y = cos θ para -2 r ≤ θ ≤ 0.

el uso de ángulos negativos y el uso de la
117
relación cos (- i) = cos i .
C3: Gráfica y propiedades de la función
a) Indique los valores correspondientes a los

espacios en blanco en el trozo de la gráfica de
en radianes que se muestra a continuación.
0
2 2 2 2
b) Complete la gráfica de para
.
x y
( , cos )
1
3 y
1 2
Amplitud 1
θ 2 1 2r 3r
-r
2 2 3 r 2 2r
-r
y O θ r r 2r 5r 3r 2r θ -2r 3r O r r θ
-12
r - 2
3 2 3 6 2 3 2
-1
-1
Período
Curva cosenoidal
Propiedades
- Período:
- Rango:
- La amplitud es 1
108 LT 117
Contenido
4 Gráficas de las funciones y = a sen θ y y = a cos θ
Contenido 4: Gráficas de las funciones y = a sen θ y y = a cos θ
Traza las gráficas de las funciones
Ejemplo 1 Trace la gráfica de y = 2 sen θ. y = a sen θ y y = a cos θ a partir de las
gráficas de las funciones y = sen θ y
Para trazar la gráfica de y = 2 sen θ se puede hacer una tabla de valores ocupando los
ángulos especiales, así
y = cos θ, respectivamente.
θ 0° 90° 180° 270° 360° Secuencia:

en radianes 0 r r 3r 2r En clases anteriores se trazaron las gráficas
2 2
correspondientes de las funciones y = sen θ y
y = sen θ 0 1 0 -1 0
y = cos θ. Podemos derivar a partir de estas,
y = 2 sen θ 0 2 0 -2 0 funciones tales como y = a sen θ y y = a cos θ,
cuyas gráficas se alargan o contraen
verticalmente respecto a las gráficas de las
Nótese que para obtener los valores de y = 2 sen θ se multiplican por 2 los valores
correspondientes a sen θ , por eso se dice que esta nueva función tiene amplitud 2 y por
clases anteriores. El alargamiento o compresión
tanto, está alargada verticalmente en factor 2 respecto a la gráfica de y = sen θ. Así que, al también puede darse horizontalmente, lo cual
ubicar los puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = 2 sen θ será como sigue:
se verá en el contenido siguiente.
y
y = 2 sen i
2 Puntos esenciales:
y = sen i Explicar que para trazar gráficas de funciones
Amplitud
-r
1
3r trigonométricas se utiliza tabla de valores,
2 2
O r r 2r i notando que el factor a multiplica los valores
2
-1
de sen θ o cos θ, según sea el caso.
Indicar que el hecho que el valor 2 para a
-2
sea mayor que 1, justifica que la gráfica se
Período alargue verticalmente respecto a la gráfica de
y = sen θ, en el primer ejemplo, mientras que
Sus propiedades son:
1
• Tiene período 2 r. en el segundo ejemplo, dado que a = 2
• Para y = 2 sen θ, el rango es -2 ≤ y ≤ 2. es positivo y menor que 1, esto indica que la
• La amplitud es 2. gráfica se comprime verticalmente respecto a
la gráfica de y = cos θ.
118
C4: Gráficas de las funciones y
Trace la gráfica de . Trace la gráfica de .
0° 90° 180° 270° 360°

en radianes
0 en radianes
2 2 0
2 2
0 1 0 0 1 0 0 1
0 2 0 0 1 1 1
y y = 2 sen i 0 0
2 2 2 2
y = sen i y
Amplitud y = cos i
1
3r
-r
2 2
1
y=1
2 cos i
Amplitud
O r r 2r i 1
2 -r
2 2 r
-1 O r 3r 2r i
-1 2 2 2
-1
-2
Período
Propiedades: Período:
Período
Propiedades: Rango:
Amplitud:
LT 118
109
Contenido
4 Gráficas de las funciones y = a sen θ y y = a cos θ Sección 4: Gráficas de las funciones trigonométricas
Aprendizajes esperados 1
Ejemplo 2 Trace la gráfica de y = 2 cos θ.
y = a sen θ y y = a cos θ a partir de las Similarmente, se elabora una tabla de valores ocupando los valores de la función trigonométrica
gráficas de las funciones y = sen θ y coseno para los ángulos especiales, así
y = cos θ, respectivamente. θ 0° 90° 180° 270° 360°
en radianes 0 r r 3r 2r
Secuencia: 2 2
En clases anteriores se trazaron las gráficas y = cos θ 1 0 -1 0 1
correspondientes de las funciones y = sen θ y 1 1 0 -1 0 1

y = 2 cos θ
y = cos θ. Podemos derivar a partir de estas, 2 2 2
funciones tales como y = a sen θ y y = a cos θ, 1 1

Nótese que para obtener los valores de y = 2 cos θ se multiplican por 2 los valores
cuyas gráficas se alargan o contraen 1
correspondientes a cos θ , por eso se dice que esta nueva función tiene amplitud 2 y por
verticalmente respecto a las gráficas de las 1
tanto, está comprimida verticalmente en un factor 2 respecto a la gráfica de y = cos θ. En
clases anteriores. El alargamiento o compresión 1
consecuencia, al ubicar los puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = 2 cos θ será como
también puede darse horizontalmente, lo cual
sigue:
se verá en el contenido siguiente. y
y = cos i
y=1
2 cos i
Explicar que para trazar gráficas de funciones
1
trigonométricas se utiliza una tabla de valores, -r
2 2 r Amplitud
-1 O r 3r 2r i
notando que el factor a multiplica los valores de 2 2 2
sen θ o cos θ, según sea el caso. -1
Indicar que el hecho que el valor 2 para a

sea mayor que 1, justifica que la gráfica se Período
alargue verticalmente respecto a la gráfica de
Sus principales propiedades son:
y = sen θ, en el primer ejemplo, mientras que
1 • Tiene período 2 r.
en el segundo ejemplo, dado que a = 2 1 1 1
• Para y = 2 cos θ, el rango es - 2 ≤ y ≤ 2 .
es positivo y menor que 1, esto indica que la 1
• La amplitud es 2 .
gráfica se comprime verticalmente respecto a
la gráfica de y = cos θ. Trace las gráficas de las siguientes funciones y determine sus principales propiedades:
1
a) y = 2 sen θ b) y = 2 cos θ
119
Trace las gráficas de las siguientes funciones y b)

determine sus principales propiedades. y 2
a)
1
y
1
-r 2 3r
-r -r
2
r
2
2r
3 r
4r
3
2 2
2r
-r r r θ -3 -r O r 3r θ
-12
O 3 3
2 2
-1
Período:
-2
Rango:
Período:
Amplitud: Rango:
Amplitud: 2
110 LT 119
Contenido
5 Gráficas de las funciones y = sen (b∙θ) y y = cos (b∙θ)
Contenido 5: Gráficas de las funciones y = sen (b∙θ) y y = cos (b∙θ)
Ejemplo 1 Trace la gráfica de y = sen (2θ). y = sen (b $ i) y y = cos (b $ i) a partir de
Nótese que para y = sen (2θ) la amplitud es 1. Además, el argumento de esta función
las gráficas de las funciones y = sen i y
(expresión a la que se le calcula el seno) es 2θ por lo cual no tendrá período 2 r , sino
y = cos i , respectivamente.
2r r
2 = , este hecho se comprende mejor analizando la tabla de valores para y = sen (2θ) Secuencia:
ocupando los valores de la función trigonométrica seno para los ángulos especiales, así
Los alargamientos o compresiones de las
θ 0 r r 3r r gráficas de las funciones seno o coseno
4 2 4
también pueden ser horizontales, esto ocurre
2θ 0 r 3r 2r
2
r
2 cuando el ángulo θ es multiplicado por un
y = sen (2θ) 0 1 0 -1 0 factor a.
Puntos esenciales:
Se observa que para obtener los valores de y = sen (2θ) se multiplican por 2 los valores
r r 3r
Explicar que características tales como
correspondientes a θ = 0, 4 , 2 , 2 , r , quedando invariantes los valores de los
amplitud, período o rango también se
ángulos especiales conocidos y por tanto, se dice que esta nueva función está comprimida
determinan para las funciones en estudio.
horizontalmente por un factor 2 respecto a la gráfica de y = sen θ. Así que, al ubicar los
Estas se obtienen a partir de la expresión que
puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = sen (2θ) será como sigue:
define a tales funciones y no se debe pensar
que son exactamente las mismas que las
y
y = sen (2i)
1
determinadas para y = sen i o y = cos i .
Amplitud
-r
2 -r
4
3r
4
3r
2
r
4 Hacer ver que el valor 2 para a es mayor que
O r
4
r
2
r 5r
4
2r i 1, esto justifica el hecho que la gráfica se
comprima horizontalmente respecto a la gráfica
-1
y = sen i de y = sen i , en el primer ejemplo, mientras
1
Período
que en el segundo ejemplo, dado que a = 2
es positivo y menor que 1, esto indica que la
gráfica se alarga horizontalmente respecto a la
de y = cos i .
Insistir en que las curvas que se tracen deben
ser suaves y continuas, ubicando en el eje
horizontal los valores correspondientes a θ,
120 medido en radianes.
C5: Gráficas de las funciones

( ) y ( ) Trace la gráfica de .
Trace la gráfica de ( ).
0
1
0
0 2 2 2
4 2 4 1
1 0 0 1
0 2
2 2
( ) 0 1 0 0 y y = cos i y = cos b 1 i l
2
1
y
Amplitud
y = sen (2i)
3r
1 2 2r
-r O r r 3r 4r θ
Amplitud 2 2
-r -r 3r 3r r
2 4 4 2 4
-1
O r r r 5r 2r i
4 2 4
-1
y = sen i Período
Período
Período: Rango:
Amplitud: 1
Período: Rango:
Amplitud: 1
LT 120
111
Contenido
5 Gráficas de las funciones y = sen (b∙θ) y y = cos (b∙θ)
Aprendizajes esperados Ejemplo 2 1

Trace la gráfica de y = cos a 2 i k
y = sen (b $ i) y y = cos (b $ i) a partir de 1
Similarmente, para y = cos b 2 i l la amplitud es 1. Además, el argumento de esta función
las gráficas de las funciones y = sen i y
y = cos i , respectivamente. 1
(expresión a la que se le calcula el coseno) es 2 θ por lo cual no tendrá período 2 r , sino
Secuencia: 2r b1 l
1 = 4 , este hecho se comprende mejor analizando la tabla de valores para y = cos 2 i
r
Los alargamientos o compresiones de las 2
gráficas de las funciones seno o coseno ocupando los valores de la función trigonométrica coseno para los ángulos especiales, así:
también pueden ser horizontales, esto ocurre θ 0 r 2r 3r 4r
cuando el ángulo θ es multiplicado por un 1 0 r r 3r 2r
2θ 2 2
factor a.
1 1 0 -1 0 1
y = cos b 2 i l
Puntos esenciales:
1
Explicar que características tales como Se observa que para obtener los valores de y = cos b 12 i l se multiplican por 2 los valores
correspondientes a θ = 0, r , 2 r , 3 r , 4 r , quedando invariantes los valores de los ángulos
amplitud, período o rango también se
especiales conocidos y por tanto, se dice que esta nueva función está alargada horizontalmente
determinan para las funciones en estudio. 1
por un factor 2 respecto a la gráfica de y = cos θ . Así que, al ubicar los puntos en el plano
Estas se obtienen a partir de la expresión que y unirlos, la gráfica de y = cos b 12 i l será como sigue:
define a tales funciones y no se debe pensar
que son exactamente las mismas que las y y = cos i y = cos b 1 i l
2
determinadas para y = sen i o y = cos i . 1
3r
Hacer ver que el valor 2 para a es mayor que
Amplitud
2 2r
-r O r r 3r 4r θ
1, esto justifica el hecho que la gráfica se 2 2
comprime horizontalmente respecto a la gráfica

-1
de y = sen i , en el primer ejemplo, mientras

1
que en el segundo ejemplo, dado que a = 2 Período
es positivo y menor que 1, esto indica que la

gráfica se alarga horizontalmente respecto a la
Trace las gráficas de las siguientes funciones y determine sus principales propiedades.
de y = cos i .
a) y = sen b 12 i l
Insistir en que las curvas que se tracen deben b) y = cos (2θ)
ser suaves y continuas, ubicando en el eje

horizontal los valores correspondientes a θ,
medido en radianes. 121
Trace las gráficas de las siguientes funciones y

determine sus principales propiedades.
1 b) = cos (2θ)
= sen b i l
2
y y
1
-r 1
O r 2r 3r 4r
-1 1
2 r r 2r 3r
-r
4 3 2 3 4 -r
2
5r r
-r r
O r
6 6 4 6 θ
-12
-1
112 LT 121
Contenido
6 Gráficas y propiedades de la función y = tan θ
Contenido 6: Gráfica y propiedades de la función y = tan θ Aprendizajes esperados

y x=1
Recuerde que dada una circunferencia de radio r = 1, OP el lado Traza la gráfica de la función y = tan i y
terminal del ángulo θ ≠ 90° y T(1, y) un punto sobre OP. Entonces, y T(1, y) determina sus propiedades.
ordenada de T y 1
tan θ = = = y, es decir, y = tan θ. P
abscisa de T 1
Secuencia:
Por tanto, la tan θ coincide con la ordenada del punto T. θ 1 La función trigonométrica que restaba por
-1 O x
graficar es y = tan i . El tratamiento gráfico
de las funciones trigonométricas concluye con
Así que, para trazar la gráfica de y = tan θ se puede hacer una -1
esta función.
tabla de valores, así:
θ -90° -45° 0° 45° 90° 180° 270°

Puntos esenciales:
en radianes r r 0 r r 3r
-
2 -
4 4 2
r
2 como los cuadrantales y convertirlos de grados
y = tan θ NE -1 0 1 NE 0 NE a radianes, puesto que tales números se
ubicarán sobre el eje θ.
r
Para cuando θ es igual a cualquier múltiplo impar de 2 la tangente no existe. Además, Explicar que los valores de la función tangente
cuando θ toma valores muy cercanos por la izquierda o por la derecha de dichos valores,
asociados a estos ángulos serán valores para
tan θ tiende a tomar valores extremadamente grande o pequeños. Se establece entonces
que las rectas verticales descritas por tales valores son asíntotas de la función tangente.
el plano cartesiano mediante una curva suave
Al ubicar los puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = tan θ será como sigue:
y y
Asíntota de la gráfica
de una función es una
Explicar que, a partir de la tabla de valores,
línea recta a la que se en los que se encuentra en algunos casos la
aproxima continuamente
la gráfica de tal función.
no existencia de la tangente, se establece un
concepto que diferencia a esta de las restantes
1
funciones trigonométricas, el de asíntota.
Insistir en la asimilación de las propiedades de
i
r
-2
r
-4 O ir r 3r r 5r 3r i
4 2 4 4 2
-1 la función tangente, que tienen analogía a las

de las funciones seno y coseno.
Explicar que en la ejercitación será requerido
el uso de ángulos negativos y el uso de la
Período
relación tan (- i) = - tan i .
122
C6: Gráfica y propiedades de la función Cualquier múltiplo impar de define una asíntota a la
Trace la gráfica de gráfica de
Propiedades:
0° 45° 90° 180° 270° Período: Rango: el conjunto de los números reales
en
radianes
0 a) Indique los valores correspondientes a los espacios
2 4 4 2 2
en blanco en el trozo del gráfico de que se
muestra a continuación.
y y
Asíntota y
1
3r 5r -r r 3r 3r
- 2 - 4 -r 2 2 4 2
1
Asíntota 3r
- 4 -4
r O r r 5r θ
4 4
i
r
-2
r
-4 O ir
4
r
2
3r r 5r 3r i -1
4 4 2
-1
b) Trace en la gráfica anterior los trozos de la función

Período
para y .
LT 122
113
Nombre: _____________________________ Sección: __________

Prueba de Unidad 6 / 20
Sexo: M/F
1. Determine los valores sen i, cos i y tan i para los valores de i :

(1 punto × 6 = 6)
a) 135° b) 90°
sen i = sen i =
cos i = cos i =
tan i = tan i =
2. Si 0° # i # 360° , determine los valores de i para los cuales: (2 puntos × 3 = 6)
3
a)
sen i = 2
1
b)
cos i = 2
c) tan i = - 1
114
3
3. Si el lado terminal del ángulo i se encuentra en el IV cuadrante y cos i = 4 .
Determine: (2 puntos × 2 = 4)
sen i =
tan i =
4. Grafique la función trigonométrica y = 2 cos i con 0° # i # 360° y determine período,

rango y amplitud. (1 punto × 4 = 4)
y
Período:
2
Rango:
1
x
Amplitud:
r r 3r 2r
2 2
-1
-2
Nombre: ________________________________
115
Unidad 7
Trigonometría Analítica
Sección 1 Ley del seno
Sección 2 Ley del coseno
Unidad 7: Trigonometría Analítica

Contenido
1 Ley del seno (1)
Sección 1: Ley del seno
Aplica la ley del seno en el cálculo de la
medida de uno de los lados de un triángulo Contenido 1: Ley del seno (1)
dado.
Ley del seno
Secuencia: Dado el ∆ABC, con ángulos interiores A, B y C y lados opuestos
C
En la unidad 5 se encontraron las medidas a cada ángulo a, b y c, respectivamente. Entonces

a b c b a
de lados y ángulos de triángulos rectángulos, = =
sen A sen B sen C
.
aplicando funciones trigonométricas. ¿Es Es decir, en un triángulo cualquiera, la longitud de cada lado es
directamente proporcional al seno del ángulo opuesto a dicho A c B
posible calcular estas medidas para cualquier lado.
triángulo? Con el estudio de las funciones Aquí se aplica esta ley conociendo dos ángulos y un lado cualquiera. C
trigonométricas en la unidad anterior y el uso
de las Leyes de seno y coseno podemos dar Ejemplo Dado el ∆ABC, con b = 6 , ∡A = 45o y ∡B = 60o. 6 a
respuesta afirmativa a esta pregunta. Determine la longitud a del lado BC .

45° 60°
A B
Puntos esenciales: Por la ley del seno,

a
=
b
sen A sen B
. Se sustituye b = 6 , ∡A = 45o y ∡B = 60o en la expresión
Identificar en un triángulo, un lado determinado anterior, para obtener
y el ángulo opuesto a dicho lado (y viceversa), a 6
sen 45 o = sen 60 o , de donde
para así formar las razones adecuadas, para la 6 m]
a =c sen 45 og , 3
aplicación de la Ley del seno. sen 60 o sen 60° = 2
1
Enfatizar que la Ley del seno se aplica =
6 1
d
2
n = < 6 ' c 3 mFd
2
1
2
n
sen 45° =
2
3
conociendo dos ángulos y un lado cualquiera. 2
2 1 2
= ^ 6 hd n = ^ 6 hd
Recordar que para determinar el valor de una 3
nd
2 6
n=2
variable en las razones de la Ley del seno: a = 2.
Z]
]a = b $ c, b = a $ d Dados los siguientes triángulos, determine:
a c ]][ d c a) La longitud c b) La longitud b
= &
b d ]]] c = a $ d , d = b $ c C
] b a C
\ 30°
Recordar los valores de las funciones trigo- 60°
2 2 b
nométricas.
45° 45°
A c B A 2 B
126
U7: Trigonometría Analítica C

S1: Ley del seno Dado el siguiente 60°
C1: Ley del seno (1) C triángulo, 2 2
Ley del seno determine:

45°
b a
Dado el : A c B
a) La longitud
= = A c B
sen sen sen
C
sen sen sen sen
Dado el , determine la longitud 6 a
del lado .
sen
6 45° 60° sen
= = A B
sen sen sen sen
3
sen
6 6 1 2
( sen )=
sen 2
1
sen
2 1 2
= 6
3 2
2
= 6 =2
6
118 LT
126
Contenido
2 Ley del seno (2) Sección 1: Ley del seno
Contenido 2: Ley del seno (2)
Aplica la ley del seno en el cálculo de la
En un ∆ABC, con ángulos interiores A, B y C y lados opuestos a
C medida de uno de los ángulos interiores de
cada ángulo a, b y c, respectivamente, se cumple que
a b c un triángulo dado.
= = .
senA senB senC b a
De donde se obtienen las siguientes relaciones: Secuencia:
sen A =
a sen B
b
o bien sen A =
a sen C
c A c B En la clase anterior se estableció que la Ley
b sen A b sen C del seno se aplica en el caso de conocer dos
sen B = o bien sen B =
a c
ángulos y un lado de un triángulo. En esta
c sen B c sen A
sen C =
b
o bien sen C = a clase se aplica cuando se conocen dos lados
Ejemplo Dado el ∆ABC de la figura, con b = 4 3 , ∡A = 30o C y un ángulo opuesto a cualquiera de dichos
y a = 4. Determine la medida del ángulo B opuesto al
lado AC .
lados.
4 3
Al sustituir b = 4 3 , ∡A = 30o y a = 4 en la igualdad 4
Puntos esenciales:
sen B =
b sen A
a , 30° Explicar que nuevamente la aplicación de
B A Z]
se sigue que
]a = b $ c, b = a $ d
^ 4 3 h]sen 30 g o
1 a c ]][ d c
sen 30° = 2 = &
b d ]]] c = a $ d , d = b $ c
sen B = 4
1 ]
sen B = ^ 3 hb 2 l b a
\
permite el despeje del seno de un ángulo en
y
3 sen 60° = 2
3
función de dos lados y el seno de otro de los
ángulos.
2
60o 3 3
O x
sen B = 2 sen 120° = 2
120o
Explicar que cancelaciones en expresiones

De donde ∡B = 60o o ∡B = 120°. Pero, de acuerdo con la figura ab
90° < ∡B < 180°, así que como a son posibles ante la presencia de
∡B = 120°. la multiplicación. Se debe insistir en que en
a+b
Dados los siguientes triángulos, determine: expresiones como a no hay cancelación.
a) La medida del ángulo A b) La medida del ángulo C
C
A Hacer notar que la figura brindada en la
solución del ejemplo, y en las ejercitaciones,
6
60°
8 ayuda a decidir el ángulo a tomar, ya que
4 2
igualdades como senB = c pueden conducir
B 3 A 30°
a dos valores para B.
C B
127
C2: Ley
C ey de
del seno ( )
se o (2) C
De acuerdo a la figura 90° °

b a °
C
= =
sen sen sen
Dados el siguiente
A c B 60°
triángulo determine:
Se obtienen las siguientes relaciones: 6
sen
sen o bien sen
sen
a) La medida del ángulo A
sen 3
sen o bien sen sen
6 sen
B A
sen sen
sen o bien sen sen
3 3
sen
de la derecha, C 6 2
= =
determine la medida . 4 3 3 3 3
4
sen 3 2 1 1
sen 30°
sen
B A 2 3 2
4 3 sen
1
4 sen sen = sen 135
1 3 2
3 sen
2 2
De acuerdo con la figura 0°< ∡A< 90°,
3 3
sen sen así que °.
2 2
LT 127
119
Contenido
3 Aplicación de la ley del seno Unidad 7: Trigonometría Analítica
Contenido 3: Aplicación de la ley del seno
Aplica la ley del seno en situaciones
concretas. Dos observadores A y B, se encuentran a 40 m entre sí, A C
ven un globo, pero con los ángulos que se muestran en
la figura. Determine la altura CD a la que se encuentra 60°
el globo.
Secuencia: m 75° D
Las aplicaciones de las funciones trigonomé-
30°
tricas se han evidenciado en unidades ante- B
riores. Esta vez, la Ley del seno representa

En el ∆ABC, ∡A+∡ABC+∡ACB = 180°, se sustituye
un recurso muy útil para resolver situaciones ∡A = 60° y ∡ABC = 75° para obtener
del entorno, en las cuales se forman triángu- 60°+75°+∡ACB = 180° 45°
C
los y se conocen las condiciones para aplicar ∡ACB = 180°-(60°+ 75°) = 45°. A
60°
dicha ley.
a
Sea a la distancia desde el observador B hasta el globo. m
75°
Aplicando la ley del seno en el ∆ABC, se obtiene
40 B
Puntos esenciales: a
sen 60 o = sen 45 o
Recordar que en todo triángulo, la suma de 40
de donde a = b sen 45 o l ]sen 60 og
las medidas de sus ángulos internos es 180°.
40 c 3 m = d 40 ' 1 nc 3 m
Analizar si la situación a resolver cumple =
f 1 p 2 2 2
C
con las condiciones para aplicarse la Ley del 2

3m 20 6
= ]40g^ 2 hc = 20 6
seno. Es decir,
2
30°
Aplicar la definición de las funciones a = 20 6 . B D
Como el ∆BDC es triángulo rectángulo, entonces la altura CD del globo es

trigonométricas en aquellas situaciones en
1
las que se forman triángulos rectángulos. CD = a (sen 30°) = ( 20 6 ) b 2 l = 10 6 .
Por tanto, la altura CD a la que se encuentra el globo es 10 6 m.

Hacer ver que la aplicación de los valores
de la función seno es indispensable para C
resolver un problema determinado mediante Carlos, un salvavidas de San Juan del Sur, ubicado en el
punto A, observa a un nadador ubicado en el punto C que pide
la Ley del seno. auxilio con un ángulo de 60°, y Rodrigo, un salvavidas ubicado
en el punto B, lo observa con un ángulo de 75°. Si ambos están
separados a una distancia de 50 m, ¿qué distancia tiene que 75° 60°
recorrer Rodrigo para rescatarlo?
B 50 m A
Rodrigo Carlos
128
C3: Aplicación de la ley del seno

C
Determine la altura CD. Sea la distancia
A C
entre Rodrigo y un nadador.
CAB y
60° a
CAB + ABC + ACB = 180°
40 m 75 °
ACB=180°
ACB=180° D
30°
ACB = 180° - . ACB=180°-( ) 75° 60°
B B c = 50 m A
: distancia de B a C ACB=45°
Aplicando la ley del seno en el : C
Aplicando la ley del seno:
40 45°
= A
sen 60° sen 45° 60°
a sen sen
40 40 3 40 m °
= ( sen 60°) =
sen 45° 2 sen
B sen
= 40 ÷ = (40) 2 = 20 6
Como el BDC es triángulo rectángulo

= ( sen 30°) = 20 6 = 10 6.
Así el globo se encuentra a una altura de 10 6 m.
120 LT 128
Contenido
4 El área de un triángulo utilizando trigonometría
Contenido 4: El área de un triángulo utilizando trigonometría Aprendizajes esperados
Dado el triángulo de la figura de la derecha. Exprese su área

C Determina el área de un triángulo utilizando
utilizando trigonometría. trigonometría.
b
Secuencia:
A
c
H B En esta clase se presenta una aplicación de
gran utilidad de la función seno: el cálculo del
De acuerdo con la figura, el ∆ABC tiene base AB y altura CH. Así que su área está dada por área de un triángulo, conociendo dos lados y
1
Área = 2 (AB)(CH).
CH CH
el ángulo comprendido entre estos.
Utilizando la razón trigonométrica seno se sabe que sen A = = , de donde
AC b
CH = b sen A.
Se sustituye AB = c y CH = b sen A en la expresión anterior, para obtener que el área
Puntos esenciales:
de dicho triángulo puede ser expresada como Recordar, de forma intuitiva, que el área de
1
Área = 2 bc sen A. un triángulo corresponde a la medida de la
región triangular determinada (o limitada) por
C
dicho triángulo, y que se mide en unidades
El área del ∆ABC, utilizando trigonometría puede ser expresada
cuadradas de longitud (cm2, m2, km2, etc.)
1
como Área = bc sen A.
2
También es válido expresar el área como b a
Recordar que el área de un triángulo está
1
Área = 2 ca sen B.
dada por
(base) (altura)
1
Área = 2 ab sen C. c Área = 2 .
A B
Ejemplo Dado el ∆ABC con b = 3, c = 4 y ∡A = 60°. Determine su área.

Explicar que la condición de perpendicularidad
de la altura de un triángulo permite la
Se sustituye b = 3, c = 4 y ∡A = 60° en C formación de triángulos rectángulos en los
1
Área = 2 bc sen A, resulta que se aplica la definición de las funciones
1
Área = b 2 l]3g]4g sen 60° 3 trigonométricas.
1 l]3g]4g c 3 m
=b
2 2
=3 3.
60°
Indicar que puede memorizarse la conclusión,
Es decir, el área del ∆ABC es 3 3 . A 4 B redactándola en palabras sencillas: el área
de un triángulo es el semiproducto de dos de
Determine el área del ∆ABC con: sus lados por el seno del ángulo comprendido
a) b = 4, c = 8 y ∡A = 30° b) b = 6, c = 10 y ∡A = 45° por estos.
c) a = 3, c = 8 y ∡B = 60° d) a = 6, b = 2 y ∡C = 120°
129
C4: El área de un triángulo utilizando

Dado con b = 3, c = 4 y = 60°. Determine
trigonometría C
su área.
1 1
Dado el triángulo de Área = sen = (4)(3) sen 60°
la figura de la b 2 2
derecha. Expresa su 1 3
= (4)(3) =3 3
área utilizando 2 2
trigonometría. A
c
H B El área del es Área = 3 3
Base: Altura: Determine el área del con:

Área = ( )( ) a) y ∡
sen = = , = sen Área = 8 8 4
Área = sen , = b) 6 10 y
Área= sen Área = sen Área = 10 6 sen 10 6 =

√ √
Área = sen c) y∡
√
Área = 8 3 sen 8 3 √3
LT 129
121
Contenido
1 Ley del coseno (1) Unidad 7: Trigonometría Analítica
Aprendizajes esperados Sección 2: Ley del coseno

Aplica la ley del coseno en el cálculo de la Contenido 1: Ley del coseno (1)
medida de uno de los lados de un triángulo.
Ley del coseno
C
En un ∆ABC, con ángulos interiores A, B y C y lados opuestos
a cada ángulo a, b y c, respectivamente, se cumple que
Secuencia: b a
a2 = b2+c2-2bc cos A
La ley del seno es un recurso teórico de gran
b = a +c -2ac cos B
2 2 2
aplicación para determinar medidas de la-
c2 = a2+b2-2ab cos C
dos o ángulos de un triángulo, pero sujeta a A c B
condiciones para su uso. Nos preguntamos Es decir, en un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de cada lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos por el
entonces, ¿cómo encontrar alguna de estas coseno del ángulo comprendido entre ellos.
medidas, conociendo solo los tres lados del
Ejemplo
triángulo, o teniendo solamente dos lados y el Dado el ∆ABC, con b = 5, c = 3 3 y ∡A = 30°, determine la longitud a del lado BC .
ángulo comprendido entre dichos lados? La Por la ley del coseno, a2 = b2+c2-2bc cos A. Se sustituye b = 5, c = 3 3 y ∡A = 30° en la
Ley del coseno permite dar respuesta a esta expresión anterior, para obtener
pregunta. a2 = 52+( 3 3 )2-(2)(5)( 3 3 ) cos 30°
3m
= 25+27-(2)(5)( 3 3 ) c
cos 30° = 2
3
= 25+27-45
Recalcar la diferencia en las condiciones para
=7
aplicar la Ley del seno o del coseno, para
Por tanto, a2 = 7. Como a>0, entonces a = 7 .
comprender por qué en la solución del ejemplo
propuesto no se aplica la Ley del seno.
Dados los siguientes triángulos, determine:
Hacer notar que las situaciones planteadas a) La longitud b b) La longitud c
en esta clase inducen a que una de las C B
condiciones para aplicar la Ley del coseno 3 c
A
es conocer dos de los lados del triángulo y el
b 60°
ángulo determinado por dichos lados. B
3
2
4
Justificar en la solución de los ejercicios por 45°
qué la toma de la raíz cuadrada positiva A C

solamente (las medidas de lados de un
triángulo son números positivos).
132
S2: Ley del coseno

Sección 2: Ley del coseno
C1: Ley del coseno (1)C C
3
Ley del coseno Dados los siguientes
b a triángulos, determine: b 60°
Dado el ABC : B
a) La longitud
4
,∡
A c B
A
C
=3 +4 (3)(4) cos 60°
Dado el ABC, determine 5 1
a (3)(4) cos
la longitud del lado . 2
30° B
√3 , ∡ A
3 3
= 13
Como
=5 + 3 3 (5) 3 3 cos 30°
(5) 3 3 3
cos 30°
2
=7
Como 7
122 LT 132
Sección 2: Ley del coseno
Contenido
2 Ley del coseno (2) Sección 2: Ley del coseno
Contenido 2: Ley del coseno (2)

Aplica la ley del coseno en el cálculo de la
En un ∆ABC, con ángulos interiores A, B y C y lados
C medida de uno de los ángulos interiores de
opuestos a cada ángulo a, b y c, respectivamente, se cumple
un triángulo dado.
a2 = b2+c2-2bc cos A b a
b2 = a2+c2-2ac cos B Secuencia:
c2 = a2+b2-2ab cos C A c B
La Ley del coseno, establecida en la clase
De donde se obtienen las siguientes relaciones:
anterior, puede aplicarse cuando se conocen
los tres lados de un triángulo. De modo que,
cos A = , cos B = , cos C = .
al igual que para la Ley del seno, esta otra ley
Ejemplo Dado el ∆ABC, con a = 5, b = 3 y c = 7. Determine la B se utiliza a partir de dos condiciones en un
medida del ángulo C opuesto al lado AB .
triángulo: conocer los tres lados o teniendo
Al sustituir a= 5, b = 3 y c = 7 en la igualdad 7 dos lados y el ángulo determinado por estos.
5
cos C =
a2 + b2 - c2
,
Puntos esenciales:
2ab C 3 A
Para obtener la expresión
52 + 32 - 72
se sigue que cos C = ] g] g] g b2 + c2 - a2
2 5 3
cos A =
25 + 9 - 49 2bc
=
30
a partir de a = b + c 2 - 2bc cos A debe
2 2
- 15 1
cos 120° = - 2
y
=
30 1
cos C = - 2
tenerse en cuenta:
=
1
-2
1
cos 240° = - 2 1. Transposición de términos.
2. Despeje de una expresión.
240° 120°
x
b2 + c2 - a2
-1
Explicar que cos A = se utiliza
2bc
2
De donde ∡C = 120° o ∡C = 240°. Pero ∡C = 240° es imposible,

porque la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo
cuando se conocen las longitudes de los tres
es igual a 180°. Así que ∡C = 120°. lados del triángulo, dando lugar a calcular
el valor de una expresión numérica, cuya
a) La medida del ángulo A b) La medida del ángulo C reducción es el valor de cos A .
B
C
Recordar el procedimiento aprendido en las
5 7
7
secciones de la unidad anterior para resolver
3 3
igualdades de la forma cos B = p .
A 8 B C 2 A
133
C2: Ley del coseno (2) C

C
b a a) La medida del ángulo A
5 7
cos
A c B
, se cumple: 8
1
cos
2
1
cos cos 3
2
Dado el ABC , determine la medida del ángulo . De acuerdo con la figura, ∡
B
Sustituyendo en b) La medida del ángulo C
B
cos 7
5 7
cos
3 3
C 3 A
3 3 +2
=
2 3 3 (2) C 2 A
1
cos
2 3 3
1 cos = = =
cos cos 12 3 12 3 2 3 2 2
2
De acuerdo a la figura ∡ De acuerdo con la figura,
LT 133
123
Contenido
3 Aplicación de la ley del cosenoUnidad 7: Trigonometría Analítica
Contenido 3: Aplicación de la ley del coseno
Aplica la ley del coseno en la resolución de
situaciones concretas. Rodrigo sostiene dos globos con dos cuerdas, una de
longitud 5 metros y la otra de 3 metros. Si el ángulo que se C
A
forma entre ambas cuerdas es de 60°.
Secuencia:
m
¿A qué distancia se encuentra un globo respecto al otro? m
Al igual que la Ley del seno se aplicó para B

resolver situaciones del entorno, la Ley del
coseno puede usarse para determinar valores
desconocidos en aquellas situaciones en
las que se formen triángulos y se conozcan
datos para poder aplicar dicha ley. Se aplica la ley del coseno al triángulo ∆ABC para el lado b, se tiene que
Puntos esenciales: b2 = a2+c2-2ac cos B

A b
b2 = 32+52-(2)(3)(5) cos 60° C
Representar gráficamente la situación
1
planteada. b2 = 9+25-(30) b 2 l
5 3
b = 19
2
Analizar en el triángulo formado que se 60°

Como b > 0,
cuente con datos que permitan aplicar la Ley
b = 19 . B
del coseno, y percibir el por qué no puede
emplearse la Ley del seno. Por tanto, los globos se encuentran, entre sí, a una distancia de 19 metros.
Justificar en la ejercitación por qué la toma

de la raíz cuadrada positiva solamente:
las medidas de lados de un triángulo son Desde el suelo de un cañón se necesitan
5 m de soga para alcanzar la cima de la
números positivos. pared del cañón y 10 m para alcanzar la
cima de la pared opuesta (ver figura). Si
Recordar el orden de las operaciones a apli- las dos sogas forman un ángulo de 120°,
carse en la simplificación de expresiones ¿cuál es la distancia d desde la cima de
una pared del cañón a la otra?
numéricas: primero potencias, luego multipli- A C
caciones o divisiones y finalmente sumas o 5m
120
10 m
restas (de izquierda a derecha). B
134
C3: Aplicación de la ley del coseno

Globo Globo
A b d
C A C
5 3 5m 120° 10 m
60° B
B
Rodrigo
= 10 + 5 (10)(5) cos 120°

=3 +5 (3)(5) cos 60°
(10)(5)
(30)
= 100 + 25 + 50 = 175
Como d > 0, 7
Como b > 0, 19
Por tanto, los globos se encuentran entre sí, a La distancia entre las dos cimas es de metros.
una distancia de metros.
124 LT 134
Nombre:de
Prueba _____________________________
Unidad 7 Sección: __________
/ 20
Sexo: M / F
1. Dados los siguientes triángulos, determine: (4 puntos × 2 = 8)

a) La longitud c
60°
2 2
45°
A c B
b) La medida del ángulo A
60°
B 3 A
Determine el área del ∆ABC con b = 4, c = 8 y A = 30°. (4 puntos)
125
3. Dados los siguientes triángulos, determine: (4 puntos × 2 = 8)
a) La longitud b
C
3
b 60°
B
b) La medida del ángulo A
5 7
A 8 B
Nombre: ________________________________
126
Unidad 8
7
Estadística
Sección 1 Medidas de tendencia central
y representación gráfica de
datos
Sección 2 Medidas de posición y

dispersión
Unidad 8: Estadística
Contenido
1 Definición de la media aritmética, moda, mediana
Aprendizajes esperados Sección 1: Medidas de tendencia central y representación

Calcula el valor de la media aritmética, gráfica de datos
mediana y moda de un conjunto de datos. Contenido 1: Definición de la media aritmética, moda, mediana
A 7 estudiantes se les preguntó el total de horas semanales que dedican a ver televisión
Secuencia: obteniéndose los siguientes resultados:
4, 7, 10, 8, 9, 9, 9
En el grado anterior se estudiaron algunos a) Calcule el promedio de los datos dados.
conceptos básicos de Estadística, realizando b) Encuentre el valor más frecuente en este conjunto de datos.
varios gráficos estadísticos que facilitan c) Ordene los datos de menor a mayor y ubique el número que se encuentra en el centro de
los datos.
la interpretación de información. En este
libro de texto se analizan valores que se
a) El promedio está dado por:
caracterizan por ocupar una posición central 4 + 7 + 10 + 8 + 9 + 9 + 9 56
= 7 =8
en un conjunto de datos, conocidos como 7
Esto significa que los estudiantes ven la televisión en promedio, 8 horas a la semana.
medidas de tendencia central y otros valores
que indican posición y dispersión. b) El dato más frecuente es 9.
c) Se ordenan los datos de menor a mayor:

4, 7, 8, 9, 9, 9,10.
Puntos esenciales: Se observa que en la sucesión de datos hay un número impar de elementos y que el
Inducir a la noción de media aritmética me- primer 9 de izquierda a derecha se encuentra en el centro de los datos.
5 , 7, 8, 9, 9, 9, 10
diante el cálculo de promedios de califica-
Otra forma de determinar la ubicación de este dato es calculando
ciones, lo cual no es desconocido para los
7+1 8
estudiantes. 2 = 2 =4
donde n = 7 es el número de datos.
Caracterizar el concepto de mediana como El número calculado en a) se llama media aritmética o promedio, el valor encontrado en b) se
el valor para el cual el 50% de los datos es conoce como moda y el dato de c) es la mediana.
inferior (o igual) a este y el restante 50% es
superior (o igual) al mismo. Debe insistirse en Media aritmética x o promedio, es la suma de todos los datos dividida entre el número de
estos.
la diferenciación entre el valor de la mediana Moda Mo es el dato que más se repite.
y su posición. Mediana Me es el número que se encuentra en la posición central de un conjunto de datos.
La palabra moda se utiliza con mucha Para determinar la mediana se lleva a cabo lo siguiente:
1. Se ordenan los datos.
frecuencia en situaciones del entorno. 2. • Si la cantidad de datos es impar, Me es el valor central.
Recúrrase a esta noción de moda para • Si la cantidad de datos es par, Me es el promedio de los datos del centro.
inducir a la definición formal. La media aritmética, la moda y la mediana son conocidos como medidas de tendencia central.
138
U8: Estadística
S1: Medidas de tendencia central y representación Encuentre la media aritmética, moda y mediana.
gráfica de datos a)
Sección 1: Medidas de tendencia central y representación
C1: Definición de la media aritmética, moda y mediana
Se ordenan los datos: gráfica
deHoras
datossemanales que dedican a ver TV:
a) Promedio de los datos
Mediana Como es par, entonces

b) El dato más frecuente: 9. Moda
c) Primero se ordenan los datos
Para determinar la ubicación del centro de los datos: d)
Se ordenan los datos:
Calcule la mediana del siguiente conjunto de datos:
1. Se ordenan los datos:
2. Como es par:
128 LT
138
Sección 1: Medidas de tendencia central y representación gráfica de datos
Contenido
2 Aplicación de la media aritmética, moda y mediana
Contenido 2: Aplicación de la media aritmética, moda y mediana Compara los valores respectivos de las
Dados los grupos de datos A: 2, 4, 3, 4, 1, 4 y B: 2, 1, 3, 3, 4, 5; medidas de tendencia central de dos
a) Encuentre la media aritmética de cada grupo. conjuntos de datos.
b) Encuentre la moda de cada grupo.
c) Encuentre la mediana de cada grupo. Secuencia:
d) Compare los valores encontrados en los incisos anteriores para A y B. En la clase anterior se definieron los concep-
tos de media, mediana y moda, y la mane-
ra de calcularlas, para datos no agrupados.
a) Se calcula la media aritmética de cada grupo:
2 + 4 + 3 + 4 + 1 + 4 18 2 + 1 + 3 + 3 + 4 + 5 18
Cuando se cuenta con dos o más conjuntos
= 6 =3 = 6 =3
xA = 6 xB = 6 de datos, se puede calcular, para cada uno,
b) Se encuentra que la moda en A es 4 y en B es 3.
las correspondientes medidas de tendencia
c) Para encontrar la mediana de cada grupo se ordenan los datos de A y B de menor a central y compararlas, con el propósito de
mayor.
A: 1, 2, 3, 4, 4, 4 B: 1, 2, 3, 3, 4, 5 caracterizar el “centro” de cada conjunto de
Como el total de datos en cada grupo es 6, entonces la mediana se datos.
encuentra entre el tercer y el cuarto elemento de cada sucesión de datos
A: 1, 2, 3, 4, 4, 4 B: 1, 2, 3, 3, 4, 5 Puntos esenciales:
3+4 7 3+3 6 Recordar el procedimiento para calcular la
Luego, la mediana de A es 2 = 2 = 3,5 y la de B es 2 = 2 = 3.
media aritmética, mediana y moda.
d) Comparando los valores anteriores se observa que la media de los dos grupos es la
misma; sin embargo en la moda difieren (4 en A y 3 en B) lo mismo ocurre con la mediana. Hacer notar que el cálculo de la moda está
asociado a uno ya conocido en el grado
Las características de las medidas de tendencia central de 2 conjuntos de datos se analizan
anterior: frecuencia absoluta.
comparando los respectivos valores de la media, la moda y la mediana de ellos.
Insistir que, si los datos corresponden a
una situación, debe interpretarse cada valor
calculado.
a) Dados los grupos de datos A: 4, 2, 2, 1, 3, 1, 1 y B: 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, encuentre la media,
moda y mediana de cada grupo y compare los valores respectivos encontrados.
b) En un salón de clases se preguntó a dos grupos de 6 estudiantes cada uno, el total
de horas semanales que dedican al estudio de matemática, obteniéndose los siguientes
resultados:
Grupo A: 2, 2, 1, 5, 1, 1 Grupo B: 1, 4, 1, 1, 1, 4
Encuentre la media, moda y mediana de cada grupo y compare los resultados.
140
C2: Aplicación de la media aritmética, moda y mediana d) La media de los dos grupos es la misma.
Dados los grupos de datos: La moda y la mediana son diferentes.
: 2, 4, 3, 4, 1, 4 y : 2, 1, 3, 3, 4, 5 Leer en el libro de texto.
a) Encuentre la media aritmética de cada grupo. a) Dados los grupos de datos:
2 + 4 + 3 + 4 + 1 + 4 18 : 4, 2, 2, 1, 3, 1, 1 : 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2
= = =3
6 6 Encuentre la media, moda y mediana de cada grupo.
2 + 1 + 3 + 3 + 4 + 5 18 4 + 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 14
= = =3 = = =2
6 6 7 7
b) Encuentre la moda de cada grupo: 2 + 2 + 1 + 1 + 3 + 3 + 2 14
= = =2
Moda en A: 4 Moda en B: 3 7 7
Moda en A: 1 Moda en B: 2
c) Encuentre la mediana de cada grupo:
Se ordenan los datos: Se ordenan los datos:
: 1, 2, 3, 4, 4, 4 : 1, 2, 3, 3, 4, 5
: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 : 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3
La posición de la mediana en ambos grupos es:
+1 6+1 7 En ambos grupos = 7, la posición de la mediana es:
= = = 3,5
2 2 2 +1 7+1 8
3+4 7
= = =4
Mediana de A: 2 2 2
= = 3,5
2 2 Mediana de A: Los valores de la media aritmética,
Mediana de B: Mediana de B: La mediana coinciden. Los de la
moda difieren
LT 140
129
Contenido
3 Organización de datos mediante agrupación Sección 1: Medidas de tendencia central y representación gráfica de datos
Aprendizajes esperados Contenido 3: Organización de datos mediante agrupación
Organiza datos mediante la agrupación en Las edades de 30 pacientes con problemas

respiratorios que visitaron el centro de salud
11 5 8 6 14 15
clases o intervalos. aparecen en la tabla contigua.
5 3 13 9 9 6
7 10 14 17 11 9
a) Clasifique los datos en 4 grupos (de 4 en 4,
inicie el conteo en 2 y termine en 18). 7 4 7 15 2 10
Secuencia: b) Organice los datos por intervalos en una tabla. 14 8 13 6 13 14
En clases anteriores, los conjuntos de datos

a) Se agrupan los datos en intervalos: como se tomarán de 4 en 4, el primero lo forman los
abordados no estaban agrupados. El estudio datos mayores o iguales que 2 y menores que 6, se escribe 2 - 6 (2 es el límite inferior y 6
de estos puede efectuarse con más simplici- el límite superior), el segundo intervalo 6 - 10 lo forman los datos mayores o iguales que
6 y menores que 10, se continúa de esta manera hasta llegar a 18:
dad si se disponen de manera agrupada en
2-6 6 - 10 10 - 14 14 - 18
intervalos también denominados clases.
b) Datos ordenados:
2 3 4 5 5 6
Puntos esenciales: 6 6 7 7 7 8
Explicar que la agrupación de un conjunto 8 9 9 9 10 10
de datos mediante intervalo o clases requie- 11 11 13 13 13 14
14 14 14 15 15 17
re de la concepción de intervalos como un
conjunto de números en los cuales estarán Tabla con datos organizados por intervalos:
Grupo (intervalo)
contenidos los datos en cuestión.
2-6 2, 3, 4, 5, 5
Destacar que cada intervalo debe tener el 6 - 10 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9
10 - 14 10, 10, 11, 11, 13, 13, 13
mismo ancho y no debe haber separación 14 - 18 14, 14, 14, 14, 15, 15, 17
entre un intervalo y el siguiente; esto es, el
límite superior de un intervalo es el límite
Para organizar datos mediante clases o intervalos:
inferior del siguiente, y así sucesivamente, 1. Se definen los intervalos considerando el número de ellos a crear y los límites a considerar.
hasta el último intervalo, que ha de contener 2. Se colocan los datos uno a uno en el grupo al que pertenecen. En cada grupo deben
quedar los datos, cuyo valor es mayor o igual que el límite inferior, pero menor que el
al mayor de los datos. límite superior.
Explicar con detalle la formación de los inter-

valos del problema central de la clase. A continuación, se muestra el registro de edades de 30 20 22 24 22 30
pacientes atendidos en el centro de Salud “Sinforoso 27 34 35 29 28
Bravo”. 24 21 20 23 26
a) Clasifique los datos en 5 grupos de 4 en 4, inicie en 23 26 20 29 36
20 y termine en 40 y defina los intervalos.
28 29 24 23 34
b) Organice los datos en una tabla.
24 21 20 36 24
141
C3: Organización de datos mediante agrupación

Los datos representan las edades de 30 pacientes. Leer en libro de texto.
11 5 8 6 14 15 5 3 13 9
9 6 7 10 14 17 11 9 7 4 Resolver el ejercicio del libro de texto.
7 15 2 10 14 8 13 6 13 14
a) Clasifique los datos en 5 grupos de 4, inicie
a) Clasifique los datos en 4 grupos (de 4 en 4, inicie en 20 y termine en 40 y defina los intervalos.
el conteo en 2 y termine en 18).
, , b) Organice los datos en una tabla.
Intervalo
b) Organice los datos por intervalos en una tabla.
Intervalo
130 LT 141
Contenido
4 Tabla de distribución de frecuencias
Contenido 4: Tabla de distribución de frecuencias

Diseña tablas de distribución de frecuencias
Conceptos básicos y calcula la marca de clase para cada
La tabla en que se organizan los grupos de datos se llama tabla de distribución de frecuencia.
intervalo.
Se agrupan los datos con intervalos que tengan el mismo ancho o amplitud, entendiendo a
estas como la diferencia entre el límite superior e inferior de cada clase.
Frecuencia absoluta fi es el número de datos que corresponde a cada clase. Secuencia:
Marca de clase Mi es el promedio del límite inferior y el límite superior de la clase i. En la clase anterior se presentó una nueva
Límite inferior + Límite superior organización para un conjunto de datos en
Mi = 2
una tabla mediante agrupación de los mis-
Utilizando la tabla del contenido anterior (las edad de 30 pacientes con problemas respiratorios
mos en intervalos o clases. Aquí se nombra a
que visitaron el centro de salud): dicha tabla como tabla de distribución de fre-
a) Complete la tabla de distribución de Diagrama de edades de 30 pacientes cuencia. El estudio que se presenta se hace
frecuencia.
b) Encuentre el ancho de cada clase.
9 de manera similar al hecho para las tablas de
9
9
categorías estudiadas en 9no grado.
Tabla de edades de 30 Pacientes
8
Edades
Número de
pacientes
Marca de
clase
8 13 17 Puntos esenciales:
(fi) (Mi) 7 13 15 Recordar que al agrupar los datos en interva-
5 7 13 15
2-6 5
5 7 11 14
los, estos tienen el mismo ancho o amplitud
6 - 10
10 - 14
4 6 11 14 y no existe separación entre un intervalo y el
14 - 18 7
3 6 10 14 siguiente.
2 6 10 14
Total 30
2-6 6 - 10 10 - 14 14 - 18 Resaltar que como los datos están agrupa-
dos en intervalos o clases, el número de da-
a) La columna del número de pacientes por clase se puede completar rápidamente a partir
tos que corresponde a cada clase es llamado
del diagrama dado. frecuencia absoluta.
Se calcula ahora la marca de cada clase: Tabla de edades de 30 Pacientes
2+6 6 + 10 Explicar que la marca de clase corresponde
Número de Marca de
M1 = 2 = 4, M2 = 2 =8
al punto medio de cada intervalo, el cual se
Edades pacientes clase
10 + 14 14 + 18
M3 = 2 = 12, M4 = 2 = 16 (fi) (Mi) calcula como un promedio entre los corres-
2-6 5 4
b) El ancho de cada clase se determina así: 6 - 10 11 8
pondientes límites inferiores y límites supe-
6 - 2 = 4, 10 - 6 = 4, 10 - 14 7 12 riores.
14 - 10 = 4, 18 - 14 = 4 14 - 18 7 16
Es decir, el ancho de cada clase es 4. Total 30
142
C4: Tabla de distribución de frecuencias En la tabla siguiente aparecen las calificaciones

de 30 estudiantes.
Tabla de frecuencias: en ella se organizan los grupos de datos 7
Frecuencia absoluta: : número de datos de cada clase 5 17
í + í 4 11 16
Marca de clase: = 7 8 13 17
2 7 11 14 18
4 9 14 17
Las edades de 30 pacientes que visitaron el centro de
5 9 13 19
salud aparecen en la siguiente tabla: 7 8 12 16
Haciendo uso del diagrama que aparece en el LT 5 11 15 19
a) No. de Marca de
Edades
pacientes ( ) clase ( ) a) El ancho de la clase es 8 4 = 4.
+
2 6 5 = b) Complete la tabla:
+ Calificaciones
6 10 = +
4 8 =
+
10 14 = +
8 12 =
+
14 18 7 = +
12 16 =
Total 30 +
b) Encuentre el ancho de la clase. 16 20 =
El ancho de la clase es 4. ( Total
LT 142
131
Contenido
5 Histograma y polígonos de frecuencias
Aprendizajes esperados Contenido 5: Histograma y polígonos de frecuencias

Construye histograma y polígono de
frecuencia asociados a un conjunto de Con la información de la tabla de la derecha: Tabla de edades de 30 pacientes
datos agrupados en intervalos. a) Construya en un eje horizontal 4 Número de Marca de
rectángulos contiguos cuya base esté Edades pacientes clase
Secuencia: formada por los intervalos de edades y la
altura por las frecuencias. 2-6
(fi)
5
(Mi)
4
En noveno grado se estudiaron las denomi- 6 - 10 11 8
b) Marque los puntos medios de los lados
nadas gráficas de barra, constituidas por rec- superiores de los rectángulos y únalos con 10 - 14 7 12
14 - 18 7 16
tángulos. En esta clase se aborda un gráfico segmentos iniciando y terminando en el
eje horizontal. Total 30
similar denominado histograma obtenido a
partir de la agrupación de datos en intervalos.
Las marcas de clases definidas permitirán tra- a) Para construir los rectángulos pedidos se colocan en el eje horizontal los límites de las
clases y en el eje vertical la frecuencia de cada una de estas.
zar el polígono de frecuencia asociado. A la reunión de los cuatro rectángulos o barras que aparecen a la derecha se le llama
histograma.
Puntos esenciales:
Edades de 30 pacientes
Recordar que un rectángulo consta de cuatro
lados y está determinado por la longitud de su
12 11
Número de pacientes
10
base y la de su altura. 8 7 7
6 5
Explicar que las bases de los rectángulos de- 4
ben trazarse en el denominado “eje horizon- 2
tal” que corresponde a la agrupación de los 0

2 6 10 14 18 Edades
datos. El “eje vertical” siempre corresponde a b) En el lado superior de cada rectángulo del histograma se ubica su punto medio.
las frecuencias absolutas. Mediante segmentos se unen los puntos anteriores. La línea poligonal formada debe
iniciar y finalizar sobre el eje horizontal, tal como se puede reconocer en el diagrama
Hacer notar que el polígono de frecuencia anexo.
debe partir y culminar sobre el eje horizontal y Al gráfico obtenido se le denomina polígono de frecuencia.
unir los valores de las marcas de clase, en la Edades de 30 pacientes
parte superior de cada rectángulo. 12
Insistir en el orden: primero histograma, luego 10

8
Mi
el polígono de frecuencia. 6
4
2
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18
Edades
144
C5: Histograma y polígonos de frecuencias

Un histograma es un conjunto de barras verticales
Con la información de la tabla:
consecutivas y contiguas cuyas alturas corresponden
No. de Marca de
Edades a la frecuencia absoluta de cada clase.
pacientes clase
Un polígono de frecuencias es un polígono que se
forma uniendo los puntos medios de las barras del
histograma.
Resuelva el ejercicio del libro de texto.

Calificación de 30 estudiantes
Total
10
Número de estudiantes
a) y b) Construya un histograma
8
12 6
10
4
8
Histograma
6 2
4
Polígono de 0
4 8 12 16 20
frecuencia Calificaciones
0 2 6 10 14 18 Edades
132 LT 144
Contenido Media aritmética, moda y mediana para datos organizados en tablas de
6 distribución
de frecuencias
Contenido 6: Media aritmética, moda y mediana para datos organizados Aprendizajes esperados
en tablas de distribución de frecuencias Calcula el valor de la media, mediana y
Dada la tabla de las edades de 30 pacientes con problemas respiratorios, que visitaron un
moda de un conjunto de datos organizados
centro de salud, mostradas en la tabla siguiente. Determine: en tablas de distribución de frecuencia.
a) El valor de la media aritmética.
b) El valor de la moda. Secuencia:
c) El valor de la mediana. Se dio inicio a esta sección con el concepto
y cálculo de medidas de tendencia central
Número de Frecuencia
Edades pacientes
Marca de
clase fi∙Mi acumulada para datos no agrupados. En vista de que
(fi) (Mi) (Fi) podemos agruparlos mediante intervalos de
2-6 5 4 clase, el cálculo de las medidas de tendencia
6 - 10 11 8
10 - 14 7 12
central requiere ahora de las marcas de clase.
14 - 18 7 16 Puntos esenciales:
Total 30
Identificar en la tabla de frecuencias, la
frecuencia absoluta y la marca de clase
Retomando los datos del contenido 4 donde se conocía el número de pacientes y las marcas correspondiente a cada intervalo.
de clase, se añade dos columnas más para encontrar la media aritmética, la moda y la
mediana. Edades de 30 pacientes Hacer notar que en comparación con lo
a) Para obtener la media Número de Marca de Frecuencia aprendido al inicio de esta sección, el
aritmética se completa la pacientes acumulada
cuarta columna multiplicando
Edades
(fi)
clase
(Mi)
fi∙Mi
(Fi) cálculo de la media aritmética requiere de
el número de pacientes fi 2-6 5 4 20 5 una operación más: multiplicación, suma y
por la marca de clase Mi,
obteniendo
6 - 10 11 8 88 16 división.
f1 M1 = ^5h^4h = 20 10 - 14 7 12 84 23
f2 M2 = ^11h^8h = 88
14 - 18 7 16 112 30 Recurrir nuevamente a la identificación para
f3 M3 = ^7h^12h = 84
Total 30 304 poder determinar la clase modal que tenga
f4 M4 = ^7h^16h = 112 la mayor frecuencia absoluta. De haber, por
Se suman los resultados y se divide entre el número total de datos. ejemplo, dos clases con iguales frecuencias
x=
20 + 88 + 84 + 112 304
= 30 . 10, 13 , donde . significa aproximado.
absolutas, siendo estas a su vez las mayores,
30
en comparación con las restantes, el conjunto
Por lo tanto, la media aritmética es x . 10,13.
de datos será bimodal.
b) Se observa en la tabla que la clase con mayor frecuencia (11) es 6 - 10, y su marca de
clase es
6 + 10
= 8. Así, la moda es Mo = 8.
Recordar la forma de calcular la frecuencia
2
acumulada en la tabla de frecuencia aprendida
en noveno grado.
146
C6: Media aritmética, moda y mediana para datos

c) El valor de la mediana.
organizados en tablas de distribución de frecuencias
La posición central es:
La tabla contiene las edades de 30 pacientes con problemas
Este valor se encuentra en la segunda clase.
respiratorios. Determine:
No. de Marca de Entonces
Edades
pacientes clase
Media aritmética:
Moda:
-Se identifica la clase modal.
-El valor aproximado es la marca de clase
Total
Mediana:
a) El valor de la media aritmética. 1. Se identifica la posición central:

2. Se busca el resultado en
3. El valor aproximado será el punto medio de
b) El valor de la moda. la clase donde se encuentre la posición
La clase con mayor frecuencia es y central.
Por lo tanto, la moda es:
LT 146
133
Contenido Media aritmética, moda y mediana para datos organizados en tablas de
6 distribución de frecuencias Sección 1: Medidas de tendencia central y representación gráfica de datos
Aprendizajes esperados c) Se completa la columna de las frecuencias acumuladas. Luego se determina la posición
30 + 1
Calcula el valor de la media, mediana y central calculando el número 2 = 15, 5 . Este valor central se ubica en la tabla; se ve
moda de un conjunto de datos organizados que se encuentra en la segunda clase. Entonces Me = 8.
en tablas de distribución de frecuencia.

La media aritmética de un conjunto de datos agrupados es:
Secuencia: x=
suma de todos los productos fi $ Mi
número total de datos
Se dio inicio a esta sección con el concepto Para calcular la moda:
y cálculo de medidas de tendencia central • Se identifica la clase cuya frecuencia sea mayor (clase modal).
• El valor aproximado de la moda es la marca de clase Mi de la clase modal.
para datos no agrupados. En vista de que
Para calcular la mediana:
podemos agruparlos mediante intervalos de • Se identifica donde se encuentra la posición central
n+1
2 . Esto se da con la frecuencia
clase, el cálculo de las medidas de tendencia acumulada. Frecuencia acumulada Fi es la suma (o total acumulado) de todas las
central requiere ahora de las marcas de clase. frecuencias hasta llegar al dato de interés.
Puntos esenciales: • El valor aproximado de la mediana será el punto medio de la clase donde se encuentre
la posición central.
Identificar en la tabla de frecuencias, la

frecuencia absoluta y la marca de clase
correspondiente a cada intervalo. Las calificaciones de 30 estudiantes que realizaron una prueba de matemática valorada en
20 puntos se representa en la siguiente tabla:
Hacer notar que en comparación con lo Calificaciones de 30 estudiantes
aprendido al inicio de esta sección, el Número de
cálculo de la media aritmética requiere de Calificaciones estudiantes
(fi)
una operación más: multiplicación, suma y
4-8 9
división. 8 - 12 7
12 - 16 6
Recurrir nuevamente a la identificación para 16 - 20 8
poder determinar la clase modal que tenga Total 30
la mayor frecuencia absoluta. De haber, por
ejemplo, dos clases con iguales frecuencias Encuentre la media aritmética, moda y mediana.
absolutas, siendo estas a su vez las mayores,
en comparación con las restantes, el conjunto
de datos será bimodal.
Recordar la forma de calcular la frecuencia
acumulada en la tabla de frecuencia aprendida
en noveno grado. 147
Calificaciones de 30 estudiantes a) El valor de la media aritmética.

Marca de 54 + 70 + 84 + 144 352
Calificaciones F = = 11,73
clase ( ) 30 30
+ b) El valor de la moda.
4 8 9 = ( )( ) =
La clase con mayor frecuencia es 4 8y
+ =6
8 12 7 = ( )( )=
Por lo tanto, la moda es: =6
+
12 16 6 = ( )( )=
+ c) El valor de la mediana.
16 20 8 = ( )( )=
La posición central es: = 15,5
Total 30 Este valor se encuentra en la segunda clase.
Entonces = 10
134 LT 147
Comparación de media y mediana para datos organizados en tablas de
Contenido
7 distribución de frecuencia, y de sus modas a partir del polígono de frecuencia
Contenido 7: Comparación de media aritmética y mediana para datos Aprendizajes esperados

organizados en tablas de distribución de frecuencias, y de
sus modas a partir del polígono de frecuencias
Compara los valores respectivos de media
y mediana de dos conjuntos de datos
Edades de 30 pacientes organizados en tablas de distribución de
Dada la tabla de las edades
de 30 pacientes con Edades
del centro A
del centro B
frecuencia, y sus modas a partir de los
problemas respiratorios (fi) (fi) polígonos de frecuencia.
que visitaron dos centros
2-6 5 6
de salud A y B, compare
los resultados de la 6 - 10 11 8 Secuencia:
media aritmética, moda y 10 - 14 7 9 En clases anteriores se compararon los va-
mediana a partir de sus 14 - 18 7 7
polígonos de frecuencias. Total 30 30
lores de las medidas de tendencia central
para dos conjuntos de datos no agrupados.
Podemos comparar dichos valores para datos
En el contenido anterior se encontró la media aritmética, moda y mediana de los datos de agrupados mediante intervalos de clases, uti-
pacientes de un centro de salud que se rotula con A. En este caso lizando los polígonos de frecuencias corres-
x = 10,13 , Mo = 8 , Me = 8. pondientes.
Se calcula ahora x , Mo y Me del centro de salud B. Para ello se determinan los productos
fi ∙ Mi y los valores de Fi: Puntos esenciales:
Número de
pacientes
Marca de Frecuencia Aplicar los cálculos aprendidos en la clase
Edades clase fi∙Mi acumulada
del centro B
(Mi) (Fi) anterior, recordando que en la tabla de
(fi)
2-6 6 4 6
frecuencias deben incluirse la frecuencia
f1 M1 = ^6h^4h = 24
6 - 10 8 8 f2 M 2 = ^8h^8h = 64 14 acumulada para determinar la mediana, la
10 - 14 9 12 f3 M3 = ^9h^12h = 108 23 marca de clase y los productos necesarios
14 - 18 7 16 f4 M 4 = ^7h^16h = 112 30 para el cálculo de la media aritmética.
Total 30 308
308
Trazar los polígonos de frecuencia en un
Luego, x = 30 . 10, 26 .
mismo plano, de modo que los intervalos de
La moda se encuentra en el punto medio de la clase de mayor frecuencia que es 10 - 14, clase para cada conjunto de datos serán los
10 + 14
entonces esta es Mo = 2 = 12. mismos.
Señalar que el análisis de los polígonos de
frecuencia se aplica en muchas situaciones del
entorno: economía, crecimiento empresarial,
preferencias por determinadas compañías,
etc.
148
C7: Comparación de media aritmética y mediana para datos Se puede afirmar que la media aritmética, la
organizados moda y la mediana de A son menores que las
Edades de 30 pacientes con que visitaron los centros de B.
de salud A y B. Compare , M y M a partir de sus Leer en el libro de texto.
polígonos de frecuencias.
En cada una de las calificaciones de 30
Edades de 30 pacientes que visitaron B. estudiantes en dos secciones A y B:
Edades M M F Resuelva los problemas de LT.
2+6 a) Calificaciones de 30 estudiantes de la
2 6 6 =4 (6)(4) = 24 6 sección A.
2
6 + 10 Califi. M M F
6 10 8 =8 (8)(8) = 64 6 + 8 = 14
2 4+8
4 8 9 =6 (9)(6) = 54 9
10 + 14 2
10 14 9 = 12 (9)(12) = 108 14 + 9 = 23 8 + 12
2 8 12 7 = 10 (7)(10) = 70 9 + 7 = 16
2
14 + 18 12 + 16
14 18 7 = 16 (7)(16) = 112 23 + 7 = 30 12 16 6 = 14 (6)(14) = 84 16 + 6 = 22
2 2
Total 30 308 16 + 20
16 20 8 = 18 (8)(18) = 144 22 + 8 = 30
2
En los centros de salud A y B, se tiene que:
Total 30 352
En A:
LT 148
135
Contenido
Comparación de media y mediana para datos organizados en tablas de
7 distribución de frecuencia, y de sus modas a partir del
Sección 1: polígono
Medidas de tendencia central y de frecuencia
representación gráfica de datos
Aprendizajes esperados En la gráfica aparece la línea vertical desde el punto más alto de cada polígono de frecuencia
hacia la recta horizontal de las edades, el punto donde se corta el eje horizontal es el valor
Compara los valores respectivos de media aproximado de la moda para los dos centros de salud.
y mediana de dos conjuntos de datos y
organizados en tablas de distribución de 12
A
frecuencia, y sus modas a partir de los 10

B
polígonos de frecuencia. 8
Secuencia: 6
En clases anteriores se compararon los va- 4
lores de las medidas de tendencia central

para dos conjuntos de datos no agrupados.
2
Podemos comparar dichos valores para datos 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x
agrupados mediante intervalos de clases, uti- x = 10,26 Edades
lizando los polígonos de frecuencias corres- n + 1 31

La posición central es 2 = 2 = 15,5. Con la frecuencia acumulada se percibe que la
pondientes. 10 + 14 24
mediana se encuentra en la tercera clase (10 - 14), luego 2 = 2 = 12, por lo tanto
Puntos esenciales: Me = 12.
Aplicar los cálculos aprendidos en la clase Comparando los datos de los 2 centros de salud se puede afirmar que la media aritmética, la
moda y mediana de A son menores que las de B.
anterior, recordando que en la tabla de
frecuencias deben incluirse la frecuencia
acumulada para determinar la mediana, la Los polígonos de frecuencias provenientes de dos tablas de distribución de frecuencias
marca de clase y los productos necesarios permiten comparar los valores de las modas respectivas.
para el cálculo de la media aritmética.

Trazar los polígonos de frecuencia en un Las calificaciones de 30 estudiantes que realizaron una prueba de matemática en dos
secciones de clase A y B de un determinado grado se representan en la tabla siguiente:
mismo plano, de modo que los intervalos de Calificaciones de 30 estudiantes
clase para cada conjunto de datos serán los a) Encuentre la media aritmé- Número de Número de
tica, moda y mediana de la
mismos. sección de clase A. Calificaciones
estudiantes de la estudiantes de la
sección A sección B
(fi) (fi)
Señalar que el análisis de los polígonos de b) Encuentre la media aritmé-
4-8 9 6
tica, moda y mediana de la
frecuencia se aplica en muchas situaciones del sección de clase B. 8 - 12 7 7
entorno: economía, crecimiento empresarial, c) Construya el polígono de 12 - 16 6 9
16 - 20 8 8
preferencias por determinadas compañías, frecuencias y compare los
resultados de a) y b). Total 30 30
etc.
149
En la sección A:
352 4+8 4+8
= = 11,73 M = =6 M = = 10
30 2 2
En la sección B:
376 12 + 16 12 + 16
= = 12,53 M = = 14 M = = 14
30 2 2
b) c) Dirigir a los estudiantes para que trabajen

independientemente, refiriéndose a las
respuestas anteriores.
136 LT 149
Sección 2: Medidas de posición y dispersión
Contenido
1 Definición
de cuartiles
Sección 2: Medidas de posición y dispersión Aprendizajes esperados

Define y calcula cuartiles para un conjunto
Contenido 1: Definición de cuartiles
de datos, cuando el número total de datos
Las calificaciones de 15 estudiantes en una prueba de Estadística con un valor de 10 puntos es impar.
son:
10, 3, 8, 4, 4, 7, 5, 6, 7, 5, 8, 4, 9, 9, 3
Encuentre la mediana de todos los datos, la mediana de la primera mitad y la mediana de la
Secuencia:
segunda mitad. Además de las medidas de tendencia central,
existen otros valores estadísticos de singular
1. Se ordenan los datos de menor a mayor: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10. importancia. Entre estos figuran los cuartiles.
2. Se averigua la posición de la mediana para los datos anteriores. Uno de ellos ya fue conocido: la mediana, que
15 + 1
2 =8 es el segundo cuartil. Existen otros dos que
La mediana se encuentra en la posición 8 permiten dividir la primera y segunda mitad
3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10
y es igual a 6. de los datos en dos partes porcentualmente
3. Se encuentran las medianas de la primera y la segunda mitad de los datos: iguales. Se abordará el cálculo de los
3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10 cuartiles en el caso de datos no agrupados,
diferenciando dos casos para su respectivo
Me
cálculo: el total de datos es par o impar.
Se observa que 4, 6 y 8 dividen la lista ordenada de datos en 4 partes, estos valores se
llaman primer, segundo y tercer cuartil respectivamente.
Puntos esenciales:
Recordar el procedimiento para calcular la
Para determinar los cuartiles de un conjunto de datos: mediana de un conjunto de datos, cuando
1. Se ordenan los datos de menor a mayor.
2. Se encuentra la mediana de los datos, denominada de aquí en adelante el segundo
el total de estos es un número impar. Debe
cuartil, se denota por Q2. quedar claro que este hecho también permite
3. Se encuentra la mediana de la primera mitad de los datos, denominada primer cuartil y la división del conjunto de datos en un conjunto
denotada por Q1, y la mediana de la segunda mitad de los datos que recibe el nombre de
tercer cuartil y se denota por Q3. de datos a la izquierda de la mediana y otro
a la derecha de esta, ambos con un número
impar de datos.
1. Dadas las edades de 7 niños que recibieron consulta con el pediatra: 5, 7, 3, 2, 7, 4 y 5,
encuentre Q1, Q2 y Q3.
Hacer notar que el cálculo de Q1 y Q3 es
2. Se le preguntó a 11 estudiantes sobre las horas de estudio que dedican en la semana
idéntico al de la mediana para un conjunto
para matemática, obteniéndose los datos 1, 2, 4, 3, 3, 5, 3, 1, 5, 3, 4. con un número impar de datos.
Encuentre Q1, Q2 y Q3.
Procurar la interpretación de los cuartiles,
puesto que hay una división de los datos en
cuatro partes porcentualmente iguales.
150
S2: Medidas de posición y dispersión

C1: Definición de cuartiles 1. Edades de 7 niños que recibieron consulta
con el pediatra: y
Sección
Calificaciones2: Medidas
de 15 de posición y dispersión
estudiantes son:
Encuentre
Encuentre la mediana de todos los datos, la mediana

de la primera mitad y la mediana de la segunda mitad.
Se ordenan los datos de menor a mayor:
Posición de la mediana:
y
2. Horas que dedican 11 estudiantes para
La posición de la Mediana de todos los datos: estudiar Matemática:
La mediana es: Encuentre
Las medianas de la primera y segunda mitad son:
y respectivamente.
Para determinar los cuartiles de un conjunto de datos:
1. Se ordenan los datos de mayor a menor.
2. Se calcula el segundo cuartil: Posición de la mediana:
3. Se calcula el primer cuartil:
4. Se calcula el tercer cuartil: y
LT 150
137
Contenido
2 Cálculo de cuartiles Sección 2: Medidas de posición y dispersión
Aprendizajes esperados Contenido 2: Cálculo de cuartiles

Calcula cuartiles para un conjunto de datos, Ejemplo Los siguientes datos son calificaciones de 16 estudiantes obtenidas en una prueba de
matemática valorada en 10 puntos:
cuando el número total de datos es par.
8, 7, 4, 4, 2, 4, 3, 5, 7, 3, 6, 1, 2, 3, 1, 4.
Encuentre Q1, Q2 y Q3.
Secuencia: 1. Se ordenan los datos:
El cálculo de los cuartiles abordado en 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8
el contenido anterior estaba referido a la 2. Se determina la mediana de los datos. Como n = 16, el cociente
16 + 1
condición que el total de datos es impar. 2 = 8,5
¿Qué ocurre si el total de datos es par? El indica que se deben tomar los datos de las posiciones 8 y 9 y luego promediarlos.
cálculo también se corresponde al de la 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8
mediana para un número de datos par. De modo que,
4+4
Me = 2 = 4.
Puntos esenciales: 3. Se encuentran las medianas de la primera (Q1) y segunda mitad de los datos (Q3).
Recordar que cuando el total de datos es par, 8+1
La primera mitad consta de 8 elementos , luego el cociente 2 = 4, 5 indica que se
la mediana se calcula mediante el promedio deben promediar los datos de la cuarta y quinta posición.
de los dos datos que ocupan la posición
central. Este valor es el segundo cuartil. 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8
Estos dos datos forman parte de las dos
mitades que conforman el total de datos, de De manera que,
Q1 Me=Q2 Q3
modo respectivo. 2+3

Q1 = 2 = 2,5
Explicar que cada una de estas mitades Se procede similarmente para encontrar Q3, como los datos de esta parte son 8, el cociente
8+1
tiene un número par de datos. El cálculo del 2 = 4, 5 dice que se promedien los elementos 5 y 6 de la segunda lista.
primer cuartil se hace promediando los dos 5+6
Q3 = 2 = 5,5.
datos que se ubican en la posición central Q2= 4 se había calculado anteriormente.
de la primera mitad. El segundo cuartil se
Entonces, Q1 = 2,5, Q2 = 4, Q3 = 5,5.
determina promediando los dos datos que se
ubican en la posición central de la segunda 1. Los siguientes datos son calificaciones de 14 estudiantes obtenidas en una prueba de
mitad. matemática valorada en 10 puntos: 9, 8, 8, 1, 9, 5, 2, 6, 3, 3, 4, 4, 4, 5. Encuentre Q1, Q2
y Q 3.
2. Las calificaciones obtenidas en una prueba valorada en 20 puntos por un grupo de 16
estudiantes son: 20, 16, 16, 19, 17, 14, 14, 18, 20, 17, 10, 11, 12, 13, 19, 20. Encuentre
Q1, Q2 y Q3.
151
C2: Cálculo de cuartiles 2. Calificaciones obtenidas en una prueba por un grupo de

Calificaciones de 16 estudiantes obtenidas en una 16 estudiantes:
prueba de matemática:
Encuentre
Encuentre y .
1. Se ordenan los datos:
Posición de la :
2 Posición de la
Los datos de las posiciones y y luego promediarlos.
Así, Se encuentran y .
3. Posición de : Posición de :
Posición de : Posición de
Entonces, Entonces,
138 LT 151
Contenido
3 Definición de la varianza y la desviación estándar
Contenido 3: Definición de la varianza y la desviación estándar
Define y determina el valor de la varianza
y la desviación estándar de un conjunto de
La varianza S2 de un conjunto de datos x1, x2, f xn , cuya media aritmética es x , se calcula datos.
mediante la fórmula
]x1 - x g2 + ]x2 - x g2 + ]x3 - x g2 + g + ]xn - x g2
S2 = n-1 Secuencia:
La desviación estándar o típica S es la raíz cuadrada de la varianza. Representa la variabilidad En clases anteriores se estudiaron las me-
de datos con respecto a la media aritmética. Así:
didas de tendencia central y las de posición
S = varianza = S 2 (cuartiles). Se concluye el estudio de las me-
didas estadísticas de interés con las de dis-
Con los datos 3, 3, 5, 5, 9 y su media aritmética x = 5.
a) Calcule la varianza de estos. persión: varianza, desviación estándar y coe-
b) Calcule la desviación estándar. ficiente de variación.
c) Determine la variabilidad con respecto a la media.
Las medidas de dispersión, al igual que las
estudiadas anteriormente, son de gran utili-
a) La varianza de estos datos es: dad para el análisis de datos estadísticos en
S2 =
]3 - 5g2 + ]3 - 5g2 + ]5 - 5g2 + ]5 - 5g2 + ]9 - 5g2 4 + 4 + 0 + 0 + 16 24
= = 4 =6
situaciones del entorno.
5-1 4
b) La desviación estándar es la raíz cuadrada de 6: S = 6 ≈ 2,4.

Puntos esenciales:
Mostrar que las medidas de dispersión
:
corresponden a la lejanía o cercanía (distan-

c) La varianza y la desviación estándar indican que 2,4 es el grado de variabilidad de los
datos alrededor de x = 5: 5+2,4 = 7,4 por encima y 5-2,4 = 2,6 por debajo. cia) de los datos respecto a la media aritméti-
ca, así que, para calcular el valor de cada una
de estas, primero se debe conocer el valor de
1. Con los datos 2, 2, 4, 5, 2 y su media aritmética, x = 3.
a) Encuentre la varianza.
la media aritmética, en este caso, siendo un
b) Encuentre la desviación estándar. conjunto de datos no agrupados.
c) Encuentre la variabilidad con respecto a la media aritmética.
Explicar que la desviación estándar se defi-
2. Con los datos 5, 4, 4, 7 y su media aritmética, x = 5. ne como la raíz cuadrada de la varianza, sin
a) Encuentre la varianza.
b) Encuentre la desviación estándar. embargo, solo se toma la raíz cuadrada po-
c) Encuentre la variabilidad con respecto a la media aritmética. sitiva, dado que esta representa la distancia
promedio de los datos respecto a la media
aritmética.
Utilizar calculadora para aproximar las raíces
152 cuadradas inexactas.
C3: Definición de la varianza y la desviación estándar 1. Con los datos 2, 2, 4, 5, 2 y = 3.

Varianza: de un conjunto de datos cuya media a) Encuentre la varianza.
aritmética es , se calcula mediante la fórmula: (2 3) + (2
3) + (4 3) + (5 3) + (2 3)
=
( ) +( ) +( ) + +( ) 5 1
= 1+1+1+4+1 8
1 = = =2
5 1 4
Desviación estándar o típica :
b) Encuentre la desviación estándar: = 2 = 1,41
= =
c) Encuentre la variabilidad con respecto a .
Con los datos 3, 3, 5, 5, 9 y =5
El grado de variabilidad es 1,41.
a) Calcule la varianza: 3 + 1,41 = 4,41 por encima y 3 1,41 = 1,59
(3 5) + (3
5) + (5 5) + (5 5) + (9 5) por debajo.
=
5 1 2. Con los datos 5, 4, 4, 7 y =5
4 + 4 + 0 + 0 + 16 24
= = =6 a) La varianza.
5 1 4
(5 5) + (4 5) + (4 5) + (7 5) 6
b) Calcule la desviación estándar: = 6 2,4 =
4 1
=
3
=2
c) Determine la variabilidad con respecto a la media: b) La desviación estándar. = 2 1,41

La varianza y la desviación estándar indican que
2,4 es el grado de variabilidad de los datos c) La variabilidad con respecto a .
alrededor de 5 + 1,41 = 6,41 por encima y 5 1,41 = 3,59
por encima y por por debajo.
debajo
LT 152
139
Contenido
4 Coeficiente de variación
Aprendizajes esperados Contenido 4: Coeficiente de variación

Define y calcula el valor del coeficiente de Dos grupos de niños que realizaron una prueba en estadística obtuvieron el siguiente
variación de un conjunto de datos. promedio en sus calificaciones: x = 9
Grupo A: 10, 10, 7, 12, 6 Grupo B: 11, 12, 10, 6, 6
S
a) Encuentre el cociente para cada grupo.
Secuencia: x
b) Determine el grupo que tiene menor variación en sus calificaciones.
El coeficiente de variación es una medida de
dispersión que, por su definición, requiere del a) En el caso del Grupo A
cálculo de la media aritmética y la desviación ^10 - 9h2 + ^10 - 9h2 + ^7 - 9h2 + ^12 - 9h2 + ^6 - 9h2
S2 = =6
estándar. Con esta medida de dispersión se 5-1
Entonces la desviación estándar es S = 6 . 2, 45
concluye la unidad de Estadística.
S 2, 45
Luego, = 9 . 0, 27
x
Puntos esenciales: Para el Grupo B, su varianza es
Obtener el coeficiente de variación teniendo ^11 - 9h2 + ^12 - 9h2 + ^10 - 9h2 + ^6 - 9h2 + ^6 - 9h2 :
S2 = 5-1 =8
en cuenta el siguiente orden: En este caso la desviación estándar es S = 8 . 2, 83
1. Cálculo de la media aritmética. Por lo tanto,
S 2, 83
= 9 . 0, 31
2. Cálculo de la varianza. x
Los valores encontrados 0,27 y 0,31 se llaman coeficientes de variación.
3. Determinación de la desviación estándar
b) El grupo A tiene menor variación en sus calificaciones, porque su coeficiente de variación
(raíz cuadrada positiva de la varianza). es menor que el de B.
4. División de la desviación estándar entre
la media aritmética. El cociente
S
entre la desviación estándar y la media aritmética se denomina coeficiente de
x
variación del conjunto de datos y se denota por CV, es decir,
Procurar que se brinde la interpretación S
CV = .
oportuna de los resultados obtenidos en la x
El coeficiente de variación CV determina el grado de dispersión o variación de un conjunto
ejercitación, diciendo cuál conjunto de datos de datos respecto a su media aritmética.
presenta mayor variación.
1. Dos grupos A y B de niños que realizaron una prueba de matemática obtuvieron en sus
Explicar que, al igual que en la clase anterior, calificaciones el promedio general x = 8. Las notas individuales son:
grupo A: 7, 8, 7, 11, 7 ; grupo B: 9, 7, 11, 7, 6.
puede utilizarse calculadora para las raíces
a) Encuentre el CV de cada grupo.
cuadradas y divisiones inexactas.
b) ¿Cuál de los dos grupos tiene menor variación en sus calificaciones?
2. En dos pulperías se venden bolsas de caramelos, de las cuales se conoce los siguientes
datos:
Pulpería A: x = 100 y S = 2, Pulpería B: x = 500 y S = 4
Determine la pulpería que presenta la menor variación en sus ventas.
153
C4: Coeficiente de variación Para determinar el grado de dispersión de un

conjunto de datos se utiliza:
Promedio de puntos obtenidos por dos grupos de
niños en una prueba ̅ : Coeficiente de variación ̅
Grupo A: 10, 10, 7, 12, 6 Grupo B: 11, 12, 10, 6, 6 1. Calificaciones en una prueba de matemática de dos
grupos A y B de niños con promedio general ̅
a) Encuentre el cociente para cada grupo.
̅ a) Encuentre el de cada grupo.
Para el grupo A:
Grupo A: 7, 8, 7, 11, 7
entonces la desviación estándar es:

2,45
√6 1,73
̅ 9
Para el grupo B: √3
̅ 8
Grupo B: 9, 7, 11, 7, 6
entonces la desviación estándar es:
2,83
√8
̅ 9 2
Los valores encontrados 0,27 y 0,31 se llaman √4
̅ 8
coeficientes de variación (CV)
b) El grupo A tiene menor variación en sus
b) El grupo A tiene menor variación, porque su calificaciones, a pesar de tener la misma media
coeficiente de variación es menor que el de B. aritmética que B.
140 LT 153
Prueba
Nombre: de Unidad 8
_____________________________ Sección: __________
/ 20
Sexo: M / F
:
1. Dadas las calificaciones de 30 estudiantes de una prueba de matemática

representadas en la tabla.
a) Complete la tabla (2 puntos × 3 = 6)
Número de Marca de Frecuencia
Edades estudiantes clase fi∙Mi acumulada
(fi) (Mi) (Fi)
4-8 9
8 - 12 7
12 - 16 6
16 - 20 8
Total 30
2. Construya un histograma y un polígono de frecuencia. (2 puntos × 2 = 4)
10
4 8 12 16 20
141
c) Encuentre la media aritmética, moda y mediana. (1 punto × 3 = 3)
x =
Mo =
Me =
2. Dadas las edades de 7 niños que recibieron consulta con el pediatra: 5, 7, 3, 2, 7, 4

y 5, encuentre Q1, Q 2 y Q 3 . (1 punto × 3 = 3)
Q1 = Q 2 = Q 3 =
3. Con los datos 3, 3, 5, 9 y su media aritmética x = 5 . (2 puntos × 2 = 4)
a) Calcule la varianza de estos.
S 2 =
b) Calcule la desviación estándar.
S =
Nombre: ________________________________
142
Anexos
Anexo 1 Solucionarios de las pruebas de
cada unidad
Anexo 2 Solucionarios del Libro de Texto
Anexo 3 Diferencias del LT entre la

versión para docentes y para
estudiantes
ANEXOS
Anexo 2: Solucionarios de libro de texto
Páginas del LT: 2 ~ 11
Solucionarios
Anexo 2: Solucionarios
del libro de del libro de texto
texto
a)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x
a) b) b)
0 1 2 3 4 5 6 7 x
c)
0 1 2 3 4 5 6 7 x
c) d)
a) b)
d)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
e) f)
a)
c) d) 0 1 2 3 4 5 6 7 x
b)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
g) h)
c)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
d)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
e)
a) b)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
f)
a) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
c) d) x
1 2 3 4 5 6 7 8
b)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x
a)
c) -1 0 1 2 3 4 5 6 x
b)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
e) d) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 x
c)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
e) -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x d)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 x
148
e)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 x
f)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
a)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
b)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
c)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
d)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
e)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
a)
f) -3 -2 -1 0 1 2 3 x
b)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
c)
a)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
d)
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
b)
e)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
f)
c)
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
g)
d)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
h)
e) -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x i)
x
f) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
j)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
149
y
y
y
-5 -1 O x
-3 O x
-2 O 1 x
-2
-1 O 1 x
-1
150
151
152
son factores de
y
son factores de
153
co ca co
hip hip ca
a)
b)
a)
b)
c)
154
a) b) c)
La altura aproximada del asta

es 5,7 .
Como
Estos valores son iguales respec-

to a los calculados en la solución
del problema. Por que los lados de
los triángulos involucrados son
proporcionales.
a)
b)
La altura del árbol es

aproximadamente
155
P X
O
70o
pies O X P
720o
P
135 o P
Sección 1 Contenido 1 (S1C1) O X
O X
P X
O
60o
O 30o
IC IV C
X
P
II C IV C
210 o
X
420o 60o
P O
O X
y y
y 1
y 3 1 1
P ( 3, 1) P (-1, 1) 2 2
2 2
1 1
θ x x
θ
O 3 x 1 O x -1 O 1 -1 O 1
-1 -1
y y
1 1
1 3
2 x 2
-1 O 1 -1 O 1 x
P (-1, 3 ) y
-1 -1
2
3
θ
1 O x
(-1, 3 ) y
y
1
(-1, 1) 1
-1 O 1 x
-1 O 1 x
-1
-1
156
157
y 2
y
1 1
3r
-r
2
3
2
-r -r
2
r
2
2r
3 r
4r
3 -r O r r θ
2
2r
-3 -r O r 3r θ -13
3 3 2
-1
-2
y3
3
2
1
y
-r - 2r
3 -3
r r 2r 4r
-r 2 3 r 3
O r 2r 3r 4r
-1 r O r 3r
θ
2 3 2
- 32
-3
y
1
1
2 r r 2r 3r
-r
4 3 2 3 4 -r
2
5r r
-r r
O r
6 6 4 6 θ y
1
-5r -3r -r 1
-12 2 2 2 2 θ
-3r - 12
O r 3r 5r 3r
2 2 2
-1 -1
y
1
1
y 2
r r
-r
6
r 2r
6 9 3 2 r
y
-r
9
O r
9
2r
3
5r
6
θ
1
-12
11r
1
- 5r r r
6 -2 -6 2
7r 3r 6
-2 r r6 2
5r 2r
11r 3r 7r-r O r θ 1
-
6 - 2- 6 -12 2 6
-1 3r 5r -r r 3r 3r -1
- 2 - 4 -r 2 2 4 2
3r - r
-4 4
O r r 5r θ
4 4
-1
y
1
1 2r 3r
-r
2 2 3 r 2 2r
-r
-2r 3r O r r θ
- 2 -12 3 2 y
-1
y
1 1
3r
-r 2 9r
2 2 - 4 -2r -2
3r
-r -r
2
-r
4
r
2
-r r r θ
-12
O 5r 7r 5r 3r O r θ
2 -2 -4 -4 -4 4
-1
158
Área
Área
Área Área
de la figura,
Área
de la figura,
a) b) c) d)
Media ( ):
Moda ( ):
Mediana ( ):
Área
Área
Área Área
Área
Como el número de datos es par,
entonces
a) Grupo A Grupo B
Media ( ):
Moda ( ):
Mediana ( ):
La media y la mediana de los dos
grupos tienen el mismo valor, sin
embargo, la moda de los grupos no
es igual.
de la figura,
159
b) Grupo A Grupo B E2
Media ( ): La clase con mayor frecuencia es
Moda ( ): , entonces, la moda es
Mediana ( ):
La media y la mediana de los dos
grupos tienen el mismo valor, sin Mediana:
embargo, la mediana del grupo A es La posición de es
menor que la de B.
entonces, la mediana está en la
clase de
La mediana es
Grupo (intervalo)
No. de Marca de
Edades estudiantes clase
Frecuencia E1
acumulada
El ancho de cada clase es
Califica- Número de Marca de

ciones estudiantes clase
E2
La clase de mayor frecuencia es

, entonces, la moda es
Total
S1C5
10
9
9
8
La posición de es
Número de estudiantes
8
7
7
6 entonces, la mediana está en la
6
clase de .
5
4 La mediana es
3
2
1
c)
10 A B
0
6 10 14 18 Calificaciones
No Estudiantes
8
Histograma de frecuencia
6
polígono de frecuencia
4
2
El grupo A tiene menos variabili-
No. de Marca de Frecuencia
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 dad en sus calificaciones a pesar
Edades estudiantes clase - - Calificaciones
acumulada xA xB de tener el mismo promedio que
el grupo B.
E1 E2
La pulpería B tiene menor

variabilidad.
160
Anexo 3: Diferencias del LT entre la versión para docentes y para estudiantes
D
Anexo 3: Diferencias
iferencias del la
del LT entre LT versión
entre lapara
versión para docentes
docentes y para estudiantes
y para estudiantes
No. Página Unidad Sección Contenido Versión para docentes Versión para estudiantes
"... que al sustituirlos por la variable cumplen la
1 15 2 1 2 Conclusión Cambiar "desigualdad" por "inecuación".
desigualdad."
2 16 2 1 3 Conclusión "... seguimos de la forma siguiente:" Cambiar "seguimos" por " se prosigue".
"Una inecuación simultánea es aquella formada
3 21 2 1 8 Conclusión Eliminar esta oración.
por dos inecuaciones que tienen igual un lado."
Definición y Cambiar "del" por "de". Queda así:
4 24 2 2 1 Definición del valor absoluto
propiedades "Definición de valor absoluto"
Problema y "Resuelva las siguientes inecuaciones con Quitar: "valor absoluto". Queda:
5 26 2 2 3
Ejercicio valor absoluto:" "Resuelva las siguientes inecuaciones:"
Agregar "-3" al final de la ecuación de la
Problema función. Queda así:
6 30 2 3 2 b) y = x2+2x
inciso b)
b) y = x2+2x-3
"... corresponden a puntos de la parábola con Quitar ":" (dos puntos) y colocar "." (punto y
7 36 2 3 8 Solución
y 1 0 : Es... " seguido)
x 2 2x 2 ' 2x 3 x 2 2x 2 9y x 2 2x 2 ' 2x 3
3y $ y 9y = 3y $ y $ 2x3 3y $ y 9y
3
x 2 2 x 2 9y
x$ x 2$ x$x 9$y =
3 y $ y $ 2x 3
3$ y $ y$y $ 2$ x$ x$ x
8 46 3 2 7 Solución 3
3x x$ x 2$ x$x 9$y
y$y
=
3$y $ y $ 2$x$x$x
3x
=
y
"... los términos de la fracción en división, Quitar "en división", en su lugar escribir: "que
9 46 3 2 7 Conclusión
luego..." divide".
Quitar paréntesis de los primeros (2) y (3)
10 52 3 2 5 Solución
"3. Se efectúa la operación indicada obtenida Quitar: "indicada". Queda así:

en el paso 2..." "3. Se efectúa la operación obtenida..."
Solución
12 55 3 2 8
inciso b)
"3. Se efectúa la sustracción indicada obtenida Quitar: "indicada". Queda así:

en el paso 2..." "3. Se efectúa la sustracción obtenida..."
Quitar: "indicadas". Queda así:
"3. Se efectúan las adiciones y sustracciones
14 56 3 2 9 Conclusión "3. Se efectúa las adiciones y sustracciones
indicadas obtenidas en el paso 2..."
obtenidas..."
Añadir: "de forma descendente".
"La división de un polinomio ordenado entre un Queda así: "La división de un polinomio
binomio de la forma... " ordenado de forma descendente entre un
binomio de la forma..."
Añadir: "efectuar", en vez de "se efectúan".
"... dicha variable por un número dado y se Queda así:
efectúan las operaciones..." "... dicha variable por un número dado y
efectuar las operaciones..."
17 72 4 3 3 Solución 1
Quitar: "Como el" y añadir "así que".
"Como el cociente es
18 74 4 3 3 Solución 2 Queda así: "El cociente es x 2 + 2x - 2 , así
x 2 + 2x - 2 y x 3 + x 2 - 4x + 2 ..."
que..."
Añadir: "Teorema de Pitágoras" en el título del
3 ABC es un triángulo rectángulo recuadro.
Problema Teorema de Pitágoras
19 78 5 1 1
B
Hipotenusa
(recuadro) 3 ABC es un triángulo rectángulo
c a B
Hipotenusa
Quitar la palabra "así". Queda de la siguiente

"Los catetos tienen longitudes de 3 cm y forma:
Solución
20 78 5 1 1 4 cm, así como el 3 ABC es un triángulo "Los catetos tienen longitudes de 3 cm y 4 cm
inciso a)
rectángulo, así por el Teorema de Pitágoras..." y como el 3 ABC es un triángulo rectángulo,
por el Teorema de Pitágoras"
161
Quitar la palabra "así". Queda de la siguiente
21 89 5 4 4 Ejemplo "Dado AC = 5 así se tiene" forma:
"Dado AC = 5 , se tiene"
Título de la
22 90 5 4 1 Relaciones entre seno y coseno Relaciones entre seno, coseno y tangente
Sección 4
Cambiar de lugar la letra del inciso a) a la
23 91 5 4 2 Solución sen A oración inicial. Queda así:
a)
cos A "a) Sea un triángulo rectángulo como..."
Alinear verticalmente los iguales del ejercicio
2 2 b).
sen A+cos A = b a
2 2 l bbl
c + c
Solución
24 91 5 4 2
2 2
inciso b) 2 2 sen2A+cos2A = b a l bbl

c + c
a b
= c2 + c2
2 2
a b
= c2 + c2
Cambiar el signo - por +. Queda así:

25 102 6 1 7 Solución
Añadir: "y" después de la palabra

"Se aplica la definición de la funciones "trigonométricas". Queda así:
26 105 6 2 1 Solución
trigonométricas se sigue que" "Se aplica la definición de las funciones
trigonométricas y se sigue que"
27 116 6 4 2 Propiedades período 2r Cambiar a: período 2r
31 121 6 4 5 Ejemplo 2 período 4r Cambiar a: período 4r
Cambiar letra del ándulo de 60 grados a B.

b = 6 , A = 45o y A= 60o
32 126 7 1 1 Ejemplo Queda así:
b = 6 , A = 45o y B = 60o
Añadir: "de la figura". Queda así:

33 127 7 1 2 Ejemplo "Dado el 3 ABC, con..."
"Dado el 3 ABC de la figura, con..."
"... medida del ángulo C opuesto al del lado Quitar: "del". Queda así:
34 133 7 2 2 Ejemplo
AB." "... opuesto al del lado AB ."
La mediana se encuentra entre el cuarto y el Como el total de datos es 8, entonces la
quinto elemento en la sucesión de datos: mediana se encuentra entre el cuarto y el
quinto elemento en la sucesión de datos:
9, 10, 11, 11, 13, 13, 13, 15
35 139 8 1 1 Ejemplo 9, 10, 11, 11, 13, 13, 13, 15
que se confirma con el cálculo
8+1 9
= = 4, 5
2 2
Como el total de datos en cada grupo es 6, Como el total de datos en cada grupo es 6,
entonces la posición de le mediana es entonces la mediana se encuentra entre el
Solución n+1 6+1 7 tercer y el cuarto elemento de cada sucesión
36 139 8 1 2 = = = 3, 5
inciso c) 2 2 2 de datos
lo que indica que el valor buscado está entre la
tercera y la cuerta posición:
Solucionario, Unidad 1, sección 1, contenido 6,

37 154
inciso h)

38 155
ejercicio 2, inciso f) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Solucionario, Unidad 2, sección 1, contenido 7, Cambiar el signo de mayor que: 2 al de menor

39 155
inciso a) x 2- 7 que: 1 .Queda así:
x 1- 7

40 155
inciso l) x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

41 155
inciso f)
f)
S1C2
42 155 Solucionario, Unidad 2, sección 1, contenido 2 No aparece a) > 1 b) ≥2 c) > −1
d) ≥ −3
162

43 155 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
ejercicio 3, inciso f)

44 156 f)
inciso f)
Solucionario, Unidad 3, sección 2, contenido 10, i)

45 156
inciso i)
Solucionario, Unidad 3, sección 2, contenido 10, l)

46 156
inciso l)
Solucionario, Unidad 4, sección 2, contenido 3, b) Los binomios no son el factor de b) Los binomios no son factores de
47 156
inciso b) P (x) . P (x) .

48 157 e)
ejercicio 2, inciso e)
Solucionario, Unidad 4, sección 2, contenido 4, El factor de P (x) es x + 1 y x - 2 x + 1 y x - 2 son factores de P (x)
49 157
ejercicio 4
Solucionario, Unidad 4, sección 3, contenido 5, b) b)
50 157
ejercicio 1, inciso b)
51 157 a) b)
incisos a) y b)
Solucionario, Unidad 5, sección 4, contenido 4, Añadir "pies" a la respuesta. Queda así:
52 157 E4 7,7136
ejercicio 4 E4 7,7136 pies
53 157 Solucionario, Unidad 6, sección 1, contenido 1, Añadir flecha indicando dirección. Queda así:
incisos a), b) y c) a) P b) O X
70o
O X P
c)
P
135o
O X
54 158 Solucionario, Unidad 6, sección 1, contenido 2, Cambiar gráficas.

incisos b) y c)
b) c) P (-1, 3 ) y
b) y
c) P (-1, 3 ) y y
P (-1, 1)
P (-1, 1) 2
2 2 3
2 3
1 1 θ θ
θ θ
1 O x 1 O x 1 O x 1 O x
55 158 Solucionario, Unidad 6, sección 1, contenido 9,

c)
ejercicio 2
1
y
Solucionario, Unidad 6, sección 4, contenido 9, -r
56 159 2r 3r 4r
inciso a) -1
O r
En la columna "Marca de Clase",

cambiar M k por M i . Queda así:
Califica- Número de Marca de

ciones estudiantes clase
57 159
inciso b)
Total
163

10mo Guía para Docente Sin Solucionario de Pruebas

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10mo Guía para Docente Sin Solucionario de Pruebas

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Décimo grado

Guía para Docentes

Profesora Melba López Montenegro

INSTITUTOS QUE PARTICIPARON EN LA VALIDACIÓN

Primera Edición, 2019.

Estructura del Libro de Texto para estudiantes......................................................... II

Estructura de la Guía para Docentes......................................................................... III

Orientaciones metodológicas para el mejoramiento de los

Recomendaciones para el desarrollo de una clase según los momentos

Puntos importantes a considerar en la facilitación del aprendizaje.....................VIII

Uso de las Pruebas de Unidad.....................................................................................X

Unidad 1: Conjuntos e intervalos numéricos............................................................. 1

Unidad 2: Inecuaciones de Primer y Segundo Grado.............................................. 13

Unidad 3: Fracciones Algebraicas............................................................................. 37

Unidad 5: Introducción a la Trigonometría............................................................... 73

Prueba de Unidad 5..................................................................................................... 88

Prueba de Unidad 6................................................................................................... 114

Unidad 8: Estadística................................................................................................ 127

paso. ( x+ )- (x- ) (x- )- (- x- )

( x+ )- (x- ) = ( )( x)+( )( )-( )(x)-( )(- )

presentan conceptos (x+ )- ( x+ ) ( x- )- (x- ) (x- )- (- x+ )

En Comprobemos lo aprendido se presentan una serie de ejercicios representativos de contenidos

En algunos grados hay un contenido denominado Desafío en el que se presentan casos

1. Inecuaciones de primer grado

Abril 1. Simplificación, multiplicación y división

Mayo 1. División sintética

Agosto 1. Funciones trigonométricas de un

Octubre 7. Trigonometría 1. Ley del seno

que se espera que logren los algebraicas en la solución de ejercicios.

estudiantes en cada clase, Secuencia:

expresado en forma concreta,

Secuencia: Puntos esenciales:

Se indican los conocimientos

posee para la comprensión Tener presente la ley de los signos para la

relación con contenidos

a) 4(6x+3)+5(2x-1) b) 6(x+4)+2(5x-7) c) 3(2x-7)+5(x-4)

Puntos esenciales: d) 6(x+4)-2(5x+7) e) 2(8x-6)-4(x-2) f) 3(x-1)-7(-2x+3)

Tiene como propósito ubicar a) 4(3 + 5) − 2( − 8)

aprendizaje con el proceso b) 4( − 6) − 3(−5 − 7)

(1) Leer y analizar los enunciados del problema.

(2) Pensar por sí mismos la solución al problema.

(3) Expresar sus soluciones.

(4) Comparar sus ideas unos con otros.

(5) Comprender las ideas de los demás.

(6) Aprender unos de otros.

Indicar que lean el problema. Leer el problema.

Escribir el problema en la pizarra,

Indicar a los estudiantes que copien el Escribir el problema en su cuaderno.

Explicar el problema de forma clara, si Comprender el problema.

Orientar que resuelvan el problema en Intentar dar solución al problema,

Monitorear el avance de los

Indicar a los estudiantes que atiendan

Explicar la solución del texto en la Hacer silencio y poner atención al

Indicar a los estudiantes que copien la Observar la explicación del docente y

Escribir la solución en su cuaderno.

Orientar lectura de la conclusión. Leer la conclusión planteada en el

Explicar la conclusión a partir del Relacionar la conclusión con el

Anotar la conclusión en su cuaderno.

Indicar que lean el ejemplo. Analizar la solución del ejemplo, de

(En el Indicar que copien el ejemplo en su

Orientar el o los ejercicios a ser Resolver de forma individual cada

Asignar tiempo prudencial para que los Aplicar la conclusión aprendida.

pertenecientes a estos. a) C ___ A b) A _ B c) B ___ A

Notar que con al menos un elemento de d) C ___ U e) C _ C f) U ___ A

Nombre: ___________________ Sección: